Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

 

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.

 

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы поиска производной (\(f=f(x), g=g(x)\) – функции):

 

1. Умножение функции на число: \[(c\cdot f)'=c\cdot f'\]

 

2. Сумма или разность двух функций: \[(f\pm g)'=f'\pm g'\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = x^3 - 6x^2 + 32\) на отрезке \([-2; 5]\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = 3x^2 - 12x\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 - 12x = 0,\] откуда находим корни \(x_1 = 4,\ x_2 = 0\). Таким образом, \[y' = 3x(x-4).\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-2; 5]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([-2; 5]\):



Таким образом, \(x = 0\) – точка локального максимума функции \(y\) и наибольшее значение на \([-2; 5]\) функция достигает в \(x = 0\) или в \(x = 5\). Сравним эти значения:

\(y(0) = 32\),

\(y(5) = 125 - 150 + 32 = 7\).

Итого: наибольшее значение функции \(y\) на \([-2; 5]\) равно \(32\).

Ответ: 32

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(f(x)=x^3-x^2-5x-3\) на отрезке \([-2;4]\).

Добавить задание в избранное

Найдем производную: \[y'=3x^2-2x-5\]Найдем критические точки: \[y'=0 \quad\Leftrightarrow\quad 3x^2-3x-5=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=-1\quad \text{и}\quad x_2=\dfrac53\] Определим, какие из данных точек являются точками максимума/минимума, для этого найдем знаки производной на промежутках, образованных этими точками:



Таким образом, \(x=-1\) – точка максимума, \(x=\frac53\) – точка минимума.

Следовательно, на отрезке \([-2;4]\) функция схематично выглядит так:



Следовательно, наибольшее значение она принимает либо в точке \(x=-1\), либо в точке \(x=4\). Сравним: \[\begin{aligned} & f(-1)=0\\ &f(4)=25 \end{aligned}\] Таким образом, наибольшее значение функции на данном отрезке равно \(25\).

Ответ: 25

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \[y=59x-56\sin x+42\]

на отрезке \(\left[-\dfrac{\pi}2;0\right]\).

Добавить задание в избранное

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, определим, как схематично выглядит ее график.
Для этого найдем ее производную: \[y'=59-56\cos x\] Заметим, что \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), следовательно, \(-56\leqslant -56\cos x\leqslant 56\). Следовательно, \(3\leqslant y'\leqslant 115\), то есть производная всегда положительна. Значит, функция всегда возрастает, в том числе на отрезке \(\left[-\dfrac{\pi}2;0\right]\). Значит, ее график выглядит так:


 

Отсюда видно, что наибольшее значение на этом отрезке функция принимает в точке \(x=0\) и оно равно \(y(0)=42\).

Ответ: 42

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = 0,05x^{2,5} - x + 3\) на отрезке \([0; 4]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \(y' = 0,125x^{1,5} - 1\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[0,125x^{1,5} - 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^{1,5} = 8.\] Возводя левую и правую части последнего уравнения в степень \(\dfrac{2}{3}\), находим \(x = 4\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на ОДЗ:



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 4]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([0; 4]\):



Таким образом, наименьшее значение на \([0; 4]\) функция достигает в \(x = 4\).

\(y(4) = 1,6 - 4 + 3 = 0,6\).

Итого: наименьшее значение функции \(y\) на \([0; 4]\) равно \(0,6\).

Ответ: 0,6

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = 9x^{1,5} - 9x + 1\) на отрезке \([0; 9]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \(y' = 9(1,5x^{0,5} - 1)\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[9(1,5x^{0,5} - 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^{0,5} = \dfrac{2}{3}.\] Возводя левую и правую части последнего уравнения во вторую степень, получим \(x = \dfrac{4}{9}\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на ОДЗ:



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 9]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([0; 9]\):



Таким образом, \(x = \dfrac{4}{9}\) – точка локального минимума функции \(y\) и наибольшее значение на \([0; 9]\) функция достигает в \(x = 0\) или в \(x = 9\). Сравним эти значения:

\(y(0) = 1\),

\(y(9) = 163\).

Итого: наибольшее значение функции \(y\) на \([0; 9]\) равно \(163\).

Ответ: 163

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \[y=x+\dfrac4{x^2}\]

на отрезке \([-4;3]\).

Добавить задание в избранное

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, необходимо схематично изобразить ее график.
Найдем производную: \[y'=1-\dfrac8{x^3}\] Нули производной: \[1-\dfrac8{x^3}=0 \quad\Rightarrow\quad x=2\] Заметим также, что производная не существует в точке \(x=0\).
Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых она принимает значения одного знака:



Таким образом, схематично график функции выглядит так:



Из графика видно, что наименьшее значение функция будет принимать либо в точке \(x=-4\) (левый конец отрезка \([-4;3]\)), либо в точке минимума \(x=2\). Проверим: \[\begin{aligned} &y(-4)=-3,75\\ &y(2)=3 \end{aligned}\] Таким образом, наименьшее значение функция принимает в точке \(x=-4\) и оно равно \(-3,75\).

Ответ: -3,75

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \[y=6\cos x+3\sqrt3x-\pi\sqrt3+\ln e\] на промежутке \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\).

Добавить задание в избранное

Изобразим схематично график функции, для этого найдем промежутки возрастания и убывания функции на отрезке \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\). Также заметим, что \(\ln e=\log_ee=1\).
Найдем производную: \(y'=-6\sin x+3\sqrt3\). Значит:

\[y'=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{\pi}3+2\pi n \quad \text{или}\quad x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Найдем знаки производной на промежутке \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\):


 

Таким образом, схематично функция \(y\) выглядит на промежутке \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) так:


 

То есть функция возрастает от \(x=0\) до \(x=\dfrac{\pi}3\) и убывает от \(x=\dfrac{\pi}3\) до \(x=\dfrac{\pi}2\). Следовательно, свое наибольшее значение на этом промежутке она принимает в точке \(x=\dfrac{\pi}3\):

\[y\left(\dfrac{\pi}3\right)=4.\]

Ответ: 4

1 2 3