Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций (страница 2)

1) \(y' = 3x^2 - 12x\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 - 12x = 0,\] откуда находим корни \(x_1 = 4,\ x_2 = 0\). Таким образом, \[y' = 3x(x-4).\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-2; 5]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([-2; 5]\):



Таким образом, \(x = 0\) – точка локального максимума функции \(y\) и наибольшее значение на \([-2; 5]\) функция достигает в \(x = 0\) или в \(x = 5\). Сравним эти значения:

\(y(0) = 32\),

\(y(5) = 125 - 150 + 32 = 7\).

Итого: наибольшее значение функции \(y\) на \([-2; 5]\) равно \(32\).

Ответ: 32

Найдем производную: \[y'=3x^2-2x-5\]Найдем критические точки: \[y'=0 \quad\Leftrightarrow\quad 3x^2-3x-5=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=-1\quad \text{и}\quad x_2=\dfrac53\] Определим, какие из данных точек являются точками максимума/минимума, для этого найдем знаки производной на промежутках, образованных этими точками:



Таким образом, \(x=-1\) – точка максимума, \(x=\frac53\) – точка минимума.

Следовательно, на отрезке \([-2;4]\) функция схематично выглядит так:



Следовательно, наибольшее значение она принимает либо в точке \(x=-1\), либо в точке \(x=4\). Сравним: \[\begin{aligned} & f(-1)=0\\ &f(4)=25 \end{aligned}\] Таким образом, наибольшее значение функции на данном отрезке равно \(25\).

Ответ: 25

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, определим, как схематично выглядит ее график.
Для этого найдем ее производную: \[y'=59-56\cos x\] Заметим, что \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), следовательно, \(-56\leqslant -56\cos x\leqslant 56\). Следовательно, \(3\leqslant y'\leqslant 115\), то есть производная всегда положительна. Значит, функция всегда возрастает, в том числе на отрезке \(\left[-\dfrac{\pi}2;0\right]\). Значит, ее график выглядит так:

Отсюда видно, что наибольшее значение на этом отрезке функция принимает в точке \(x=0\) и оно равно \(y(0)=42\).

Ответ: 42

ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \(y' = 0,125x^{1,5} - 1\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[0,125x^{1,5} - 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^{1,5} = 8.\] Возводя левую и правую части последнего уравнения в степень \(\dfrac{2}{3}\), находим \(x = 4\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на ОДЗ:



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 4]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([0; 4]\):



Таким образом, наименьшее значение на \([0; 4]\) функция достигает в \(x = 4\).

\(y(4) = 1,6 - 4 + 3 = 0,6\).

Итого: наименьшее значение функции \(y\) на \([0; 4]\) равно \(0,6\).

Ответ: 0,6

ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \(y' = 9(1,5x^{0,5} - 1)\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[9(1,5x^{0,5} - 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^{0,5} = \dfrac{2}{3}.\] Возводя левую и правую части последнего уравнения во вторую степень, получим \(x = \dfrac{4}{9}\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на ОДЗ:



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 9]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([0; 9]\):



Таким образом, \(x = \dfrac{4}{9}\) – точка локального минимума функции \(y\) и наибольшее значение на \([0; 9]\) функция достигает в \(x = 0\) или в \(x = 9\). Сравним эти значения:

\(y(0) = 1\),

\(y(9) = 163\).

Итого: наибольшее значение функции \(y\) на \([0; 9]\) равно \(163\).

Ответ: 163

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, необходимо схематично изобразить ее график.
Найдем производную: \[y'=1-\dfrac8{x^3}\] Нули производной: \[1-\dfrac8{x^3}=0 \quad\Rightarrow\quad x=2\] Заметим также, что производная не существует в точке \(x=0\).
Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых она принимает значения одного знака:



Таким образом, схематично график функции выглядит так:



Из графика видно, что наименьшее значение функция будет принимать либо в точке \(x=-4\) (левый конец отрезка \([-4;3]\)), либо в точке минимума \(x=2\). Проверим: \[\begin{aligned} &y(-4)=-3,75\\ &y(2)=3 \end{aligned}\] Таким образом, наименьшее значение функция принимает в точке \(x=-4\) и оно равно \(-3,75\).

Ответ: -3,75

Изобразим схематично график функции, для этого найдем промежутки возрастания и убывания функции на отрезке \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\). Также заметим, что \(\ln e=\log_ee=1\).
Найдем производную: \(y'=-6\sin x+3\sqrt3\). Значит:

\[y'=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{\pi}3+2\pi n \quad \text{или}\quad x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Найдем знаки производной на промежутке \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\):

Таким образом, схематично функция \(y\) выглядит на промежутке \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) так:

То есть функция возрастает от \(x=0\) до \(x=\dfrac{\pi}3\) и убывает от \(x=\dfrac{\pi}3\) до \(x=\dfrac{\pi}2\). Следовательно, свое наибольшее значение на этом промежутке она принимает в точке \(x=\dfrac{\pi}3\):

\[y\left(\dfrac{\pi}3\right)=4.\]

Ответ: 4