Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

 

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.

 

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы поиска производной (\(f=f(x), g=g(x)\) – функции):

 

1. Умножение функции на число: \[(c\cdot f)'=c\cdot f'\]

 

2. Сумма или разность двух функций: \[(f\pm g)'=f'\pm g'\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее на полуинтервале I значение суммы функций \(f(x)\) и \(g(f(x))\), если I \(= (-4; 2]\), \(f(t) = t + 1\), \(g(z) = z^3 - 4z + 1\).

Добавить задание в избранное

\(y = f(x) + g(f(x)) = x + 1 + g(x + 1) = x + 1 + (x + 1)^3 - 4(x + 1) + 1 = (x + 1)^3 - 3(x + 1) + 1\).

1) \(y' = 3(x + 1)^2 - 3\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3(x + 1)^2 - 3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2x = 0,\] откуда \(x_1 = 0\), \(x_2 = -2\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом полуинтервале \((-4; 2]\):



4) Эскиз графика на I:



Таким образом, \(x = -2\) – точка локального максимума функции \(y\) и наибольшее на I значение \(y\) достигает в ней или в \(x = 2\). Сравним эти значения:
\(y(-2) = (-1)^3 - 3\cdot(-1) + 1 = 3\),
\(y(2) = 3^3 - 3\cdot 3 + 1 = 19\).
Итого: наибольшее на I значение суммы \(f(x)\) и \(g(f(x))\) равно \(19\).

Ответ: 19

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(f(x)=2x^4-2x^3-x^2+2\) на отрезке \([-1;1]\).

Добавить задание в избранное

Найдем производную: \[y'=8x^3-6x^2-2x\]Найдем критические точки: \[y'=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x^3-6x^2-2x=0 \quad\Leftrightarrow\quad x_1=0, \ x_2=-\frac14\ \text{и}\ x_3=1\] Определим, какие из данных точек являются точками максимума/минимума, для этого найдем знаки производной на промежутках, образованных этими точками:



Таким образом, \(x=0\) – точка максимума, \(x=-\frac14\) и \(x=1\) – точки минимума.

Следовательно, на отрезке \([-1;1]\) функция схематично выглядит так:



Следовательно, наименьшее значение она принимает либо в точке \(x=-\frac14\), либо в точке \(x=1\). Сравним: \[\begin{aligned} & f\left(-\frac14\right)=1\frac{125}{128}\\[1ex] &f(1)=1 \end{aligned}\] Таким образом, наименьшее значение функции на данном отрезке равно \(1\).

Ответ: 1

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьшее на отрезке I значение разности функций \(f(x)\) и \(g(x)\), если I \(= [-5; 5]\), \(f(t) = t^3 + 12t\), \(g(z) = 12z - 2\).

Добавить задание в избранное

\(y = f(x) - g(x) = (x^3 + 12x) - (12x - 2) = x^3 + 2\)

1) \(y' = 3x^2\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-5; 5]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([-5; 5]\):



Таким образом, у функции \(y\) на отрезке I нет точек экстремума и наименьшее значение на I функция достигает в \(x = -5\) (так как \(y\) возрастает на I).
\(y(-5) = -125 + 2 = -123\).
Итого: наименьшее значение разности \(f(x)\) и \(g(x)\) на I равно \(-123\).

Ответ: -123