Найдите наибольшее на полуинтервале I значение суммы функций \(f(x)\) и \(g(f(x))\), если I \(= (-4; 2]\), \(f(t) = t + 1\), \(g(z) = z^3 - 4z + 1\).
\(y = f(x) + g(f(x)) = x + 1 + g(x + 1) = x + 1 + (x + 1)^3 - 4(x + 1) + 1 = (x + 1)^3 - 3(x + 1) + 1\).
1) \(y' = 3(x + 1)^2 - 3\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3(x + 1)^2 - 3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2x = 0,\] откуда \(x_1 = 0\), \(x_2 = -2\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом полуинтервале \((-4; 2]\):
4) Эскиз графика на I:
Таким образом, \(x = -2\) – точка локального максимума функции \(y\) и наибольшее на I значение \(y\) достигает в ней или в \(x = 2\). Сравним эти значения:
\(y(-2) = (-1)^3 - 3\cdot(-1) + 1 = 3\),
\(y(2) = 3^3 - 3\cdot 3 + 1 = 19\).
Итого: наибольшее на I значение суммы \(f(x)\) и \(g(f(x))\) равно \(19\).
Ответ: 19