Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность, вписанная в многоугольник или угол

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник/угол, если она касается всех сторон этого многоугольника/угла.
Тогда многоугольник/угол называется описанным около окружности.

 

\(\blacktriangleright\) В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника (рис. 1).

 

Площадь описанного треугольника ищется по формуле \[{\Large{S_{\triangle}=p\cdot r}},\]

где \(p\) – полупериметр.


 

\(\blacktriangleright\) Если в прямоугольный треугольник вписана окружность, \(a, b\) – катеты, \(c\) – гипотенуза, \(r\) – радиус этой окружности, то верна формула: \[{\large{r=\dfrac{a+b-c}2}}\]

 

\(\blacktriangleright\) Если в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
И наоборот: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (рис. 2).
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов.
Площадь описанного четырехугольника ищется по формуле

\[{\large{S_{\text{опис.4-к}}=p\cdot r}},\]

где \(p\) – полупериметр.


 

\(\blacktriangleright\) Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 3).

 

\(\blacktriangleright\) Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 4).

 

\(\blacktriangleright\) Если в угол вписана окружность, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла (рис. 5).

Задание 1 #3106
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как \(2:3:6\). Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен \(54\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 30.01.2020 в 12:00

Задание 2 #2375
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольник \(ABC\) вписана окружность с центром в точке \(O\), причем \(\angle AOB=110^\circ\). Найдите \(\angle C\) треугольника \(ABC\). Ответ дайте в градусах.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 30.01.2020 в 12:00

Задание 3 #652
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, \(AB = 3,5\), \(AD = 4\), \(BC = 6,5\). Найдите длину \(CD\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 30.01.2020 в 12:00

Задание 4 #3569
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны \(5\), основание равно \(6\). Найдите радиус вписанной окружности.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 30.01.2020 в 12:00

Задание 5 #3560
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Около окружности, радиус которой равен \(3\), описан многоугольник, периметр которого равен \(20\). Найдите его площадь.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 30.01.2020 в 12:00

Задание 6 #3561
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt3\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 30.01.2020 в 12:00

Задание 7 #3562
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен \(\dfrac{\sqrt3}6\). Найдите сторону этого треугольника.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 30.01.2020 в 12:00

На этапе подготовки к ЕГЭ старшеклассники повторяют базовые определения и формулы, в том числе и по теме «Окружность, вписанная в многоугольник или угол». Достаточно подробное изучение данного раздела планиметрии осуществляется, как правило, в средней школе. В связи с этим необходимость повторения основных формул и понятий по теме «Окружность, вписанная в угол или многоугольник» на этапе подготовки к ЕГЭ возникает у многих выпускников. Поняв принцип решения подобных заданий, старшеклассники смогут рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед прохождением аттестационного испытания, многие старшеклассники сталкиваются с проблемой поиска базовых понятий и формул для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, и других параметров. Далеко не всегда их легко найти в Интернете, как и, например, задачи на правильный шестиугольник. А школьного учебника может просто не оказаться под рукой в нужное время. Для того чтобы ликвидировать пробелы в знаниях по этому и другим математическим разделам, обратитесь к образовательному проекту «Школково». На нашем сайте представлен весь необходимый материал, изложенный доступно и понятно. Какими свойствами обладает окружность, вписанная в угол и многоугольник, и какие формулы необходимо знать для успешного решения задач по данной теме? Ответы на эти и другие вопросы вы найдете на сайте «Школково» в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы подготовка к единому госэкзамену была действительно эффективной, рекомендуем также попрактиковаться в решении соответствующих задач. Большая база заданий представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Перечень задач на сайте постоянно дополняется и обновляется.