Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратному или кубическому уравнению

\(\blacktriangleright\) Пример квадратного тригонометрического уравнения: \[a\sin^2x+b\sin x+c=0, \ \ \ a\ne 0\] Для решения данного уравнения нужно сделать замену \(\sin x=t\) и решить полученное квадратное уравнение.

 

\(\blacktriangleright\) Пример кубического тригонометрического уравнения: \[a\sin^3x+b\sin^2x+c\sin x+d=0, \ \ \ a\ne 0\] Для решения данного уравнения нужно сделать замену \(\sin x=t\) и решить полученное кубическое уравнение.

 

Часто использующиеся формулы:

 

\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\,\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} && 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы двойного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\,\alpha} && & \mathrm{ctg}\,2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\,\alpha-1}{2\mathrm{ctg}\,\alpha}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы понижения степени: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos{2\alpha}}2 &&& \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos{2\alpha}}2\\&&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\sin^2x+\sqrt2\sin x-2=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((-\pi;\pi).\)

Добавить задание в избранное

а) Сделаем замену \(\sin x=t\), тогда уравнение примет вид: \[2t^2+\sqrt2t-2=0\] Дискриминант уравнения \(D=18=(3\sqrt2)^2\). Следовательно, корнями будут \[t_1=\dfrac{\sqrt2}2\quad {\small{\text{и}}}\quad t_2=-\sqrt2.\]

Заметим, что так как \(t=\sin x\in [-1;1]\), то \(t_2\) не подходит. Следовательно, \[\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\quad \Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4+2\pi n \quad {\small{\text{и}}}\quad x=\dfrac{3\pi}4+2\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\pi<\dfrac{\pi}4+2\pi n<\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac58<n<\dfrac38 \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad \Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4.\)

 

\(-\pi<\dfrac{3\pi}4+2\pi m<\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac78<m<\dfrac18 \quad\Rightarrow\quad m=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n; \quad \dfrac{3\pi}4+2\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(\dfrac{\pi}4; \ \dfrac{3\pi}4\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\sin^2 x + 2 = 5\sin x. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; \pi)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево

\[\begin{aligned} 2\sin^2 x + 2 - 5\sin x = 0. \end{aligned}\]

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\sin x\).

Сделаем замену \(\sin x = t\), тогда уравнение примет вид \[2t^2 - 5 t + 2 = 0.\] Его дискриминант \(D = 25 - 16 = 9\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{5\pm 3}{4}\), откуда \(t_1 = 2\), \(t_2 = 0,5\), следовательно,
\(\sin x = 2\) или \(\sin x = 0,5\).

Так как \(\sin x\leq 1\), то \(\sin x = 2\) быть не может, следовательно, \(\sin x = 0,5\).

 

Уравнение \(\sin x = a\) имеет решения \(x = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), \(x = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   уравнение \(\sin x = 0,5\) имеет решения \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[0 < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{5\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{12} < k < \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\).

\[0 < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5}{12} < k < \dfrac{1}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\).

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \cos^3{x} + 3\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; 2\pi)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно \(\cos{x}\). Сделаем замену \(\cos x = t\): \[t^3 + 3t^2 + 3t + 1 = 0.\] Полученное уравнение равносильно \[(t + 1)^3 = 0,\] откуда \(t = -1\), следовательно, \[\cos x = -1.\] Решения этого уравнения имеют вид \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[< \pi + 2\pi k < 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\pi < 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \pi\).

Ответ:

а) \(\pi + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\pi\).

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\mathrm{ctg}^2\,x +\dfrac 1{\cos \left(x-\frac{11\pi}2\right)}-1=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([\pi;3\pi).\)

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\cos \left(x-\dfrac{11\pi}2\right)=-\sin x\). Применив также формулу \(\mathrm{ctg}^2\,x+1=\dfrac1{\sin^2x}\), получим: \[\dfrac1{\sin^2x}-1-\dfrac1{\sin x}-1=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{\sin^2x}-\dfrac1{\sin x}-2=0\] Сделаем замену \(\dfrac1{\sin x}=t\), тогда уравнение примет вид \[t^2-t-2=0 \quad\Rightarrow\quad t_1=-1 \quad {\small{\text{или}}}\quad t_2=2\] Сделаем обратную замену:   \(\sin x=-1 \quad\Leftrightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)   \(\sin x=\dfrac12 \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}6+2\pi k; x=\dfrac{5\pi}6+2\pi m, k,m\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.

\(\begin{aligned} &\pi\leqslant -\dfrac{\pi}2+2\pi n<3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac34\leqslant n<\dfrac74 \quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}2\\[2ex] &\pi\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi k<3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac5{12}\leqslant k<\dfrac{17}{12} \quad\Rightarrow\quad k=1 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{13\pi}6\\[2ex] &\pi\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi m<3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{12}\leqslant m<\dfrac{13}{12} \quad\Rightarrow\quad m=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{17\pi}6 \end{aligned}\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n ; \dfrac{\pi}6+2\pi k; \dfrac{5\pi}6+2\pi m; \ n,k,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(\dfrac{3\pi}2; \dfrac{13\pi}6;\dfrac{17\pi}6\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \cos (2x) + 3\sqrt{2}\sin x = 3 \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((\pi; 2\pi)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и перенесём всё влево:

\[\begin{aligned} 1 - 2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x - 3 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad 2\sin^2 x - 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0. \end{aligned}\]

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\sin x\).

Сделаем замену \(\sin x = t\), тогда уравнение примет вид \[2t^2 - 3\sqrt{2} t + 2 = 0.\] Его дискриминант \(D = 18 - 16 = 2\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{3\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{4}\), откуда \(t_1 = \sqrt{2}\), \(t_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), следовательно,
\(\sin x = \sqrt{2}\) или \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Так как \(\sin x\leq 1\), то \(\sin x = \sqrt{2}\) быть не может, следовательно, \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

 

Уравнение \(\sin x = a\) имеет решения \(x = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), \(x = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно   уравнение \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) имеет решения \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[\pi < \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k < 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{3\pi}{4} < 2\pi k < \dfrac{7\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{3}{8} < k < \dfrac{7}{8},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений нет принадлежащих промежутку \((\pi; 2\pi)\).

\[\pi < \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k < 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{4} < 2\pi k < \dfrac{5\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{8} < k < \dfrac{5}{8},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений нет принадлежащих промежутку \((\pi; 2\pi)\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\varnothing\).

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[3\mathrm{tg}^4\,2x-10\mathrm{tg}^2\,2x+3=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}4; \dfrac{\pi}4\right)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(\cos 2x\ne 0\). Решим на ОДЗ.

Сделаем замену: \(\mathrm{tg}^2\,2x=t, t\geqslant 0\). Тогда уравнение примет вид:

\[3t^2-10t+3=0 \Rightarrow t_1=3; \ t_2=\dfrac13\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}^2\,2x=3\\ &\mathrm{tg}^2\,2x=\dfrac13 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,2x=\pm\sqrt3\\ &\mathrm{tg}\,2x=\pm\dfrac{\sqrt3}3\\ \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &2x=\pm\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &2x=\pm\dfrac{\pi}6+\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pm\dfrac{\pi}6+\dfrac{\pi}2 n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=\pm\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}2 m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Заметим, что для данных значений \(x\) выполнено ОДЗ, следовательно, это и есть окончательный ответ.

 

б) Отберем корни:

 

\(-\dfrac{\pi}4<\dfrac{\pi}6+\dfrac{\pi}2 n_1<\dfrac{\pi}4 \Rightarrow -\dfrac56<n_1<\dfrac16 \Rightarrow n_1=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}6\)

 

Аналогичным образом находим еще три корня, попадающие в промежуток: \(x=-\dfrac{\pi}{12}; -\dfrac{\pi}6; \dfrac{\pi}{12}\).

Ответ:

а) \(\pm\dfrac{\pi}6+\dfrac{\pi}2 n, \pm\dfrac{\pi}{12}+ \dfrac{\pi}2 m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}6; -\dfrac{\pi}{12};\dfrac{\pi}{12};\dfrac{\pi}6\)

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^2x-5\cos\left(x-\dfrac{\pi}2\right)-6=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((-\pi;3\pi).\)

Добавить задание в избранное

а) Так как косинус – четная функция, то есть \(\cos(-x)=\cos x\), то \(\cos\left(x-\dfrac{\pi}2\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}2-x\right)\).

 

Следовательно, по формуле приведения \(\cos \left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\sin x\). Тогда получим уравнение \[\sin^2x-5\sin x-6=0\] Сделав замену \(\sin x=f\), получим квадратное уравнение \(f^2-f-6=0\), корнями которого являются \(f=6\) и \(f=-1\). Так как \(f=\sin x\in [-1;1]\), то корень \(f=6\) не подходит. Следовательно, \[\sin x=-1 \quad\Leftrightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\pi<-\dfrac{\pi}2+2\pi n<3\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac14<n<\dfrac74 \quad\Rightarrow\quad n=0; \ 1 \quad \Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{3\pi}2.\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{3\pi}2\)