а) Решите уравнение \[2\sin^2x+\sqrt2\sin x-2=0\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((-\pi;\pi).\)
а) Сделаем замену \(\sin x=t\), тогда уравнение примет вид: \[2t^2+\sqrt2t-2=0\] Дискриминант уравнения \(D=18=(3\sqrt2)^2\). Следовательно, корнями будут \[t_1=\dfrac{\sqrt2}2\quad {\small{\text{и}}}\quad t_2=-\sqrt2.\]
Заметим, что так как \(t=\sin x\in [-1;1]\), то \(t_2\) не подходит. Следовательно, \[\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\quad \Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4+2\pi n \quad {\small{\text{и}}}\quad x=\dfrac{3\pi}4+2\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\]
б) Отберем корни.
\(-\pi<\dfrac{\pi}4+2\pi n<\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac58<n<\dfrac38 \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad \Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4.\)
\(-\pi<\dfrac{3\pi}4+2\pi m<\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac78<m<\dfrac18 \quad\Rightarrow\quad m=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4.\)
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n; \quad \dfrac{3\pi}4+2\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)
б) \(\dfrac{\pi}4; \ \dfrac{3\pi}4\)