Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратному или кубическому уравнению

\(\blacktriangleright\) Пример квадратного тригонометрического уравнения: \[a\sin^2x+b\sin x+c=0, \ \ \ a\ne 0\] Для решения данного уравнения нужно сделать замену \(\sin x=t\) и решить полученное квадратное уравнение.

 

\(\blacktriangleright\) Пример кубического тригонометрического уравнения: \[a\sin^3x+b\sin^2x+c\sin x+d=0, \ \ \ a\ne 0\] Для решения данного уравнения нужно сделать замену \(\sin x=t\) и решить полученное кубическое уравнение.

 

Часто использующиеся формулы:

 

\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\,\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} && 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы двойного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\,\alpha} && & \mathrm{ctg}\,2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\,\alpha-1}{2\mathrm{ctg}\,\alpha}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы понижения степени: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos{2\alpha}}2 &&& \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos{2\alpha}}2\\&&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 1 #2809
Уровень задания: Легче ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\sin^2x+\sqrt2\sin x-2=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((-\pi;\pi).\)

а) Сделаем замену \(\sin x=t\), тогда уравнение примет вид: \[2t^2+\sqrt2t-2=0\] Дискриминант уравнения \(D=18=(3\sqrt2)^2\). Следовательно, корнями будут \[t_1=\dfrac{\sqrt2}2\quad {\small{\text{и}}}\quad t_2=-\sqrt2.\]

Заметим, что так как \(t=\sin x\in [-1;1]\), то \(t_2\) не подходит. Следовательно, \[\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\quad \Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4+2\pi n \quad {\small{\text{и}}}\quad x=\dfrac{3\pi}4+2\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\pi<\dfrac{\pi}4+2\pi n<\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac58<n<\dfrac38 \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad \Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4.\)

 

\(-\pi<\dfrac{3\pi}4+2\pi m<\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac78<m<\dfrac18 \quad\Rightarrow\quad m=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n; \quad \dfrac{3\pi}4+2\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(\dfrac{\pi}4; \ \dfrac{3\pi}4\)

Задание 2 #1279
Уровень задания: Легче ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\sin^2 x + 2 = 5\sin x. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; \pi)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево

\[\begin{aligned} 2\sin^2 x + 2 - 5\sin x = 0. \end{aligned}\]

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\sin x\).

Сделаем замену \(\sin x = t\), тогда уравнение примет вид \[2t^2 - 5 t + 2 = 0.\] Его дискриминант \(D = 25 - 16 = 9\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{5\pm 3}{4}\), откуда \(t_1 = 2\), \(t_2 = 0,5\), следовательно,
\(\sin x = 2\) или \(\sin x = 0,5\).

Так как \(\sin x\leq 1\), то \(\sin x = 2\) быть не может, следовательно, \(\sin x = 0,5\).

 

Уравнение \(\sin x = a\) имеет решения \(x = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), \(x = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   уравнение \(\sin x = 0,5\) имеет решения \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[0 < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{5\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{12} < k < \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\).

\[0 < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5}{12} < k < \dfrac{1}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\).

Задание 3 #1283
Уровень задания: Легче ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \cos^3{x} + 3\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; 2\pi)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно \(\cos{x}\). Сделаем замену \(\cos x = t\): \[t^3 + 3t^2 + 3t + 1 = 0.\] Полученное уравнение равносильно \[(t + 1)^3 = 0,\] откуда \(t = -1\), следовательно, \[\cos x = -1.\] Решения этого уравнения имеют вид \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[< \pi + 2\pi k < 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\pi < 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \pi\).

Ответ:

а) \(\pi + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\pi\).

Задание 4 #3133
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\mathrm{ctg}^2\,x +\dfrac 1{\cos \left(x-\frac{11\pi}2\right)}-1=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([\pi;3\pi).\)

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 25.11.2019 в 23:00

Задание 5 #1280
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \cos (2x) + 3\sqrt{2}\sin x = 3 \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((\pi; 2\pi)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и перенесём всё влево:

\[\begin{aligned} 1 - 2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x - 3 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad 2\sin^2 x - 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0. \end{aligned}\]

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\sin x\).

Сделаем замену \(\sin x = t\), тогда уравнение примет вид \[2t^2 - 3\sqrt{2} t + 2 = 0.\] Его дискриминант \(D = 18 - 16 = 2\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{3\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{4}\), откуда \(t_1 = \sqrt{2}\), \(t_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), следовательно,
\(\sin x = \sqrt{2}\) или \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Так как \(\sin x\leq 1\), то \(\sin x = \sqrt{2}\) быть не может, следовательно, \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

 

Уравнение \(\sin x = a\) имеет решения \(x = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), \(x = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно   уравнение \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) имеет решения \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[\pi < \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k < 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{3\pi}{4} < 2\pi k < \dfrac{7\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{3}{8} < k < \dfrac{7}{8},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений нет принадлежащих промежутку \((\pi; 2\pi)\).

\[\pi < \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k < 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{4} < 2\pi k < \dfrac{5\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{8} < k < \dfrac{5}{8},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений нет принадлежащих промежутку \((\pi; 2\pi)\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\varnothing\).

Задание 6 #3040
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[3\mathrm{tg}^4\,2x-10\mathrm{tg}^2\,2x+3=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}4; \dfrac{\pi}4\right)\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 25.11.2019 в 23:00

Задание 7 #2811
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^2x-5\cos\left(x-\dfrac{\pi}2\right)-6=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((-\pi;3\pi).\)

а) Так как косинус – четная функция, то есть \(\cos(-x)=\cos x\), то \(\cos\left(x-\dfrac{\pi}2\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}2-x\right)\).

 

Следовательно, по формуле приведения \(\cos \left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\sin x\). Тогда получим уравнение \[\sin^2x-5\sin x-6=0\] Сделав замену \(\sin x=f\), получим квадратное уравнение \(f^2-f-6=0\), корнями которого являются \(f=6\) и \(f=-1\). Так как \(f=\sin x\in [-1;1]\), то корень \(f=6\) не подходит. Следовательно, \[\sin x=-1 \quad\Leftrightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\pi<-\dfrac{\pi}2+2\pi n<3\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac14<n<\dfrac74 \quad\Rightarrow\quad n=0; \ 1 \quad \Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{3\pi}2.\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{3\pi}2\)