а) Заметим, что среди красных чисел также могут встречаться числа, кратные \(3\). Например, число \(24\) может встретиться в списке два раза: один раз как красное, второй – как зеленое.
Так как \(1395=3+6+\dots+90\), и чисел \(3, 6, \dots, 90\) – ровно тридцать штук, и они все кратны \(3\), то уберем из них, например, число \(90\), а вместо него возьмем число \(24\) (которое будет красным). Тогда мы получим 29 зеленых чисел: \(3, 6, \dots, 87\) и одно красное \(24\) (кратное \(3\)), причем очевидно, что сумма всех чисел будет строго меньше \(1395\).
Ответ: да.
б) Упорядочим зеленые числа по возрастанию. Тогда наименьшее возможное значение первого числа – это \(3\), второго – это \(6\) и т.д. Наименьшее значение последнего, тридцатого числа, это \(87\). Сумма всех этих чисел равна \(1305\) – и это наименьшее возможное значение суммы 29-ти зеленых чисел. Следовательно, если сумма всех чисел равна \(1066\), то красное число должно быть отрицательным, что невозможно. Ответ: нет.
в) Докажем, что наименьшее возможное количество красных чисел – это 7.
Рассмотрим минимальное значение для суммы всех чисел для всех случаев, когда красных чисел от 2 до 6 (то, что на доске не может быть написано одно красное число, мы рассмотрели в пункте б)). Оформим это в таблице: \[\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{зеленые} & \text{красные}
& \text{минимальная сумма}\\
\hline 28 \ \text{чисел} & 2 \ \text{числа}
& 1242\\
3, 6, \dots, 84 & 8, 16
& \\
\hline 27 \ \text{чисел} & 3 \ \text{числа}
& 1182\\
3, 6, \dots, 81 & 8, 16, 24
&\\
\hline 26 \ \text{чисел} & 4 \ \text{числа}
& 1133\\
3, 6, \dots, 78 & 8, 16, 24, 32
&\\
\hline 25 \ \text{чисел} & 5 \ \text{чисел}
& 1095\\
3, 6, \dots, 75 & 8, 16, 24, 32, 40
&\\
\hline 24 \ \text{числа} & 6 \ \text{чисел}
& 1068\\
3, 6, \dots, 72 & 8, 16, 24, 32, 40, 48
&\\
\hline \end{array}\] То есть мы брали самые маленькие зеленые числа и самые маленькие красные числа и общая сумма чисел получалась больше \(1066\). Следовательно, для любых наборов красных и зеленых чисел, где красных чисел от 2 до 6, общая сумма чисел будет больше, чем \(1066\).
Итак, мы имеем пример для 6 красных чисел, когда сумма всех чисел (зеленых и красных) равна \(1068\). Нужно добавить одно красное число и убрать одно зеленое так, чтобы общая сумма чисел стала равна \(1066\). Для этого нужно убрать одно зеленое число, которое больше добавленного красного числа на \(2\). Теперь смотрим: если мы добавим красное \(56\), то нам нужно убрать зеленое \(58\). Но такого числа среди зеленых нет.
Перебираем дальше: если добавить красное \(64\), то убрать нужно зеленое \(66\), которое как раз у нас имеется! Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано 7 красных чисел: \[\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{зеленые} & \text{красные}
& \text{сумма}\\
\hline 23 \ \text{числа} & 7 \ \text{чисел}
& 1066\\
3, 6, \dots ,63, 69, 72 & 8, 16, 24, 32, 40, 48, 64
& \\
\hline \end{array}\]
Ответ:
а) да
б) нет
в) 7