Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2017

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Резервная волна. 28 июня 2017. Вторая часть. Вариант 2

Задание 1

а) Решите уравнение \[\log^2_2x^2-16\log_2(2x)+31=0\]

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку \([3;6].\)

а) ОДЗ уравнения: \(x^2>0\) и \(2x>0\), то есть \(x>0\).
Решим на ОДЗ.
Заметим, что \(\log_2(2x)=1+\log_2x\), \(\log^2_2(x^2)=(\log_2x^2)^2=(2\log_2|x|)^2\), что равно \(4(\log_2x)^2\) на ОДЗ. Следовательно, после замены \(\log_2x=t\) уравнение примет вид \[4t^2-16(1+t)+31=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4t^2-16t+15=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4t^2-16t+16=1\quad\Leftrightarrow\quad 4(t-2)^2=1\] Следовательно, \[t-2=\pm \dfrac12\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=\dfrac52\\[2ex] &t=\dfrac32 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_2x=\dfrac52\\[2ex] &\log_2x=\dfrac32 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=2^{\frac52}=2^{2+\frac12}=4\sqrt2\\[1ex] &x=2^{\frac32}=2\sqrt2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad\] Заметим, что оба корня подходят по ОДЗ.

 

б) Так как \(1,4<\sqrt2<1,5\), то \(5,6<4\sqrt2<6\) и \(2\sqrt2<3\), следовательно, в отрезок \([3;6]\) входит только корень \(x=4\sqrt2\).

Ответ:

а) \(2\sqrt2; 4\sqrt2\)

б) \(4\sqrt2\)

Задание 2

В правильной четырехугольной пирамиде \(SABCD\) с вершиной \(S\) все ребра равны \(5\). На ребрах \(SA\), \(AB\), \(BC\) взяты точки \(K, M, N\) соответственно, причем \(KA=AM=NC=2\).

а) Докажите, что плоскость \(KNM\) перпендикулярна ребру \(SD\).

б) Найдите расстояние от вершины \(D\) до плоскости \(KNM\).

а) Построим сечение пирамиды плоскостью \(KMN\).
Так как \(AM=CN\) и \(AB=BC\), то \(MN\parallel AC\).
Так как плоскость \(ASC\) пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(AC\) и \(AC\parallel MN\) (\(MN\) – линия пересечения \(ABC\) и \(KMN\)), то плоскость \(KMN\) пересечет плоскость \(ASC\) по прямой, параллельной \(AC\). Следовательно, проведем \(KP\parallel AC\) (\(P\in SC\)).



Пусть \(KP\cap SO=T\) (где \(SO\) – высота пирамиды).
Так как \(KP\parallel AC\), то \(AK:KS=CP:PS\) по теореме Фалеса, следовательно, \(CP=2=CN\).
Пусть \(MN\cap BD=R\). Тогда пусть прямая \(RT\) (которая принадлежит плоскости \(KMN\)) пересечет \(SD\) в точке \(Q\). Получили \(KMNPQ\) – сечение пирамиды плоскостью \(KMN\).
Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах \(SD\perp MN\) (действительно, \(DO\perp AC, AC\parallel MN\), следовательно, \(DO\perp MN\); значит, наклонная \(SD\perp MN\)).
Докажем, что \(SD\perp RQ\). Тогда \(SD\) будет перпендикулярна двух пересекающимся прямым плоскости \(KMN\), то есть перпендикулярна плоскости \(KMN\).
Так как все ребра равны \(5\), то \(BD=5\sqrt2\). Следовательно, \(\triangle SDB\) – прямоугольный (\(\angle BSD=90^\circ\)). По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция \(OR\perp MN\), то и наклонная \(TR\perp MN\). Так как \(SB\perp MN\) (по той же теореме о трех перпендикулярах), и \(TR\) с \(SB\) лежат в одной плоскости, то \(TR\parallel SB\). Следовательно, раз \(SB\perp SD\), то и \(TR\perp SD\), то есть \(QR\perp SD\). Чтд.

 

б) Так как \(SD\perp(KMN)\), то \(DQ\) – расстояние от точки \(D\) до плоскости \(KMN\).
Так как \(AM:MB=2:3\) и \(MN\parallel AC\), то по теореме Фалеса \(OR:RB=2:3\). Так как \(DO=OB\), то \(DR:RB=7:3\). Так как \(QR\parallel SB\), то \(DQ:QS=7:3\). Следовательно, \[DQ=\dfrac7{10}DS=\dfrac72=3,5.\]

Ответ:

б) \(3,5\)

Задание 3

Решите неравенство \[{\large{4^{-x^2+6x-4}-34\cdot 2^{-x^2+6x-4}+64\geqslant 0}}\]

ОДЗ неравенства: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену: \(2^{-x^2+6x-4}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-34t+64\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-32)(t-2)\geqslant0 \quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;2]\cup[32;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^{-x^2+6x-4}\leqslant 2\\ &2^{-x^2+6x-4}\geqslant 32 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &-x^2+6x-4\leqslant 1\\[2ex] &-x^2+6x-4\geqslant 5 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-6x+5\geqslant 0\\ &x^2-6x+9\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), то получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(x-1)(x-5)\geqslant 0\\ &(x-3)^2\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in (-\infty;1]\cup[5;+\infty)\\ &x=3\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-\infty;1]\cup\{3\}\cup[5;+\infty)\)

Задание 4

В трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) вписана окружность с центром в \(O\).

а) Докажите, что \(\sin \angle AOD=\sin\angle BOC\).

б) Найдите площадь трапеции, если \(\angle BAD=90^\circ\), а основания равны \(5\) и \(7\).

а) Так как окружность вписана в трапецию, то ее центр лежит на пересечении биссектрис углов трапеции.



Так как \(\angle A+\angle B=180^\circ\), то \(\frac12\cdot (\angle A+\angle B)=90^\circ\). Следовательно, \(\angle AOB=180^\circ-90^\circ=90^\circ\).
Аналогично доказывается, что \(\angle COD=90^\circ\).
Следовательно, \(\angle BOC+\angle AOD=360^\circ-90^\circ-90^\circ=180^\circ\). Следовательно, \(\sin \angle BOC=\sin \angle AOD\).

 

б) Так как в трапеции \(\angle A=\angle B=90^\circ\), то \(\angle BAO=\angle ABO=45^\circ\), следовательно, \(\triangle AOB\) – прямоугольный и равнобедренный.
Пусть \(M, N, K, L\) – точки касания окружности со сторонами \(AB, BC, CD, AD\) соответственно.
Следовательно, \(OM\perp AB\) как радиус, проведенный в точку касания. Так как \(\triangle AOB\) равнобедренный, то \(OM\) – медиана, следовательно, \(AM=MB\). Как отрезки касательных \(AM=AL, BM=BN\). Следовательно, \(AL=AM=BM=BN=x\). Пусть также \(NC=CK=y\), \(DL=DK=z\). Тогда \(x+y=5\), \(x+z=7\).



Тогда \(AB=2x\) – высота трапеции. Следовательно, нужно найти \(x\).
Проведем \(CH\perp AD\). Тогда \(HD=AD-BC=2\), а \(CH=AB=2x\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle GHD\): \[(2x)^2+2^2=(y+z)^2\] Так как \(y=5-x\), \(z=7-x\), то получаем уравнение \[4x^2+4=(12-2x)^2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{35}{12}\] Следовательно, площадь трапеции равна \[S=\dfrac{5+7}2\cdot 2x=35.\]

Ответ:

б) 35

Задание 5

На двух заводах производят одинаковый товар. Если на заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(t\) товаров. Заработная плата рабочего за час работы на первом заводе составляет \(500\) рублей, а на втором – \(200\) рублей. Найдите наименьшую сумму, которую нужно потратить на зарплаты рабочим в неделю, чтобы оба завода произвели \(70\) единиц товара.

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(p\) товаров. Тогда \(70=t+p\). Так как заработная плата в час составляет \(500\) и \(200\) рублей (на первом и втором заводах соответственно), то сумма, которую нужно потратить в неделю на зарплату рабочим, равна \[A=100(5t^2+2p^2)\] Выразим \(t=70-p\) и подставим: \[A=A(p)=100\cdot 7(p^2-100\cdot p+3500)\] Рассмотрим функцию \(F(p)=p^2-100\cdot p+3500\). Для того, чтобы найти наименьшее значение \(A(p)\), нужно найти наименьшее значение \(F(p)\), если \(p\) – целое неотрицательное число (потому что это количество товаров), причем не превышающее \(70\) (так как иначе \(t\) будет отрицательным, что невозможно, так как это тоже количество товаров).
Заметим, что функция \(F(p)\) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \(p_0=\dfrac{100}{2}=50.\)

Следовательно, \(p_0\) и есть точка минимума (причем \(p_0\in [0;70]\) – подходит), следовательно, при \(p=50\) значение функции \(F(p)\) будет наименьшим.
Тогда \(t=70-p=70-50=20\) – также целое неотрицательное число (так как количество товаров), то есть противоречий с условием задачи нет. Таким образом, \[A_{min}=700\cdot F(50)=700\,000.\]

Ответ:

700000

Задание 6

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;1]\).

Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{(x-a)(x+a)}=\sqrt{(3x-1)(x-a)}\] Таким образом, заметим, что \(x=a\) является корнем уравнения при любых \(a\), так как уравнение принимает вид \(0=0\). Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку \([0;1]\), нужно, чтобы \(0\leqslant a\leqslant 1\).
Второй корень уравнения находится из \(x+a=3x-1\), то есть \(x=\frac{a+1}2\). Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: \[\left(\dfrac{a+1}2-a\right)\cdot \left(\dfrac{a+1}2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку \([0;1]\), нужно, чтобы \[0\leqslant \dfrac{a+1}2\leqslant 1 \quad\Rightarrow\quad -1\leqslant a\leqslant 1\] Таким образом, чтобы корень \(x=\frac{a+1}2\) существовал и принадлежал отрезку \([0;1]\), нужно, чтобы \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
Заметим, что тогда при \(0\leqslant a\leqslant 1\) оба корня \(x=a\) и \(x=\frac{a+1}2\) принадлежат отрезку \([0;1]\) (то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: \[a=\dfrac{a+1}2\quad\Rightarrow\quad a=1\] Таким образом, нам подходят \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\) и \(a=1\).

Ответ:

\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\{1\}\)

Задание 7

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа \(194\) получается число \(1109134\)).

а) Приведите пример числа, из которого получается число \(411781109\).

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число \(210811495\)?

в) Какое наибольшее число, кратное \(9\), может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

а) Так как \(4+7=11\), то первая цифра искомого числа \(4\), вторая \(7\): \(47...\)
Так как \(7+1=8\), то третья цифра – это \(1\): \(471...\)
Аналогично четвертая, последняя, цифра числа – это \(9\).
Таким образом, число \(4719\).

 

б) Предположим, что такое число существует. Начнем так же, как в пункте а), определять цифры этого числа слева направо. Очевидно, что первые две цифры – это \(2\) и \(8\), то есть число \(28...\)
Третья цифра не может быть \(1\), так как \(8+1\ne 1\), также третья цифра не может быть \(4\), так как \(8+4\ne 11\). Также она не может быть равна \(9\) или \(5\), так как в этом случае сумма двух цифр уже должна быть равна трех- или четырехзначному числу.
Следовательно, ответ: нет.

 

в) Пусть дано трехзначное число \(\overline{abc}\). Тогда из него получится число \(N=\overline{a\,(a+b)\,b\,(b+c)\,c}\).
Заметим, что при \(a+b\geqslant 10\) и \(b+c\geqslant 10\) данное число будет семизначным, а во всех остальных случаях — шести- или пятизначным. Таким образом, так как мы ищем наибольшее возможное число, то найдем его среди семизначных чисел.
Пусть \(a+b=10+x, b+c=10+y\), где \(0\leqslant x,y\leqslant 6\) (так как \(a, b, c\ne 9\)).
Тогда число имеет вид: \(N=\overline{a1xb1yc}\).
По признаку делимости число делится на \(9\) тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна \(9\). То есть: \[a+1+x+b+1+y+c \ \vdots \ 9\] Так как \(x=a+b-10\), \(y=b+c-10\), то получаем: \[a+1+a+b-10+b+1+b+c-10+c \ \vdots \ 9\quad\Rightarrow\quad 2a+3b+2c-2\cdot 9 \ \vdots \ 9 \quad\Rightarrow\quad 2a+3b+2c \ \vdots \ 9\] Для того, чтобы число \(N\) было наибольшим, его первая цифра должна быть наибольшей. Следовательно, если возьмем наибольшее возможное \(a=8\), тогда можно взять наибольшее возможное \(b=8\). Следовательно, для того, чтобы \(2a+3b+2c \ \vdots \ 9\), нужно взять \(c=7\).
Таким образом, наибольшее число получится из числа \(887\) и равно \(N=8168157\).

Ответ:

а) 4719

б) нет

в) 8168157