а) Решите уравнение \[\log^2_2x^2-16\log_2(2x)+31=0\]
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку \([3;6].\)
а) ОДЗ уравнения: \(x^2>0\) и \(2x>0\), то есть \(x>0\).
Решим на ОДЗ.
Заметим, что \(\log_2(2x)=1+\log_2x\), \(\log^2_2(x^2)=(\log_2x^2)^2=(2\log_2|x|)^2\), что равно \(4(\log_2x)^2\) на ОДЗ. Следовательно, после замены \(\log_2x=t\) уравнение примет вид \[4t^2-16(1+t)+31=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4t^2-16t+15=0
\quad\Leftrightarrow\quad 4t^2-16t+16=1\quad\Leftrightarrow\quad
4(t-2)^2=1\] Следовательно, \[t-2=\pm \dfrac12\quad\Rightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=\dfrac52\\[2ex]
&t=\dfrac32 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_2x=\dfrac52\\[2ex]
&\log_2x=\dfrac32 \end{aligned}\end{gathered}\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=2^{\frac52}=2^{2+\frac12}=4\sqrt2\\[1ex]
&x=2^{\frac32}=2\sqrt2 \end{aligned}\end{gathered}\right.
\quad\Leftrightarrow\quad\] Заметим, что оба корня подходят по ОДЗ.
б) Так как \(1,4<\sqrt2<1,5\), то \(5,6<4\sqrt2<6\) и \(2\sqrt2<3\), следовательно, в отрезок \([3;6]\) входит только корень \(x=4\sqrt2\).
Ответ:
а) \(2\sqrt2; 4\sqrt2\)
б) \(4\sqrt2\)