Математика
Русский язык

14. Задачи по стереометрии

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение расстояний от точки до прямой/плоскости

\(\blacktriangleright\) Расстояние от точки до прямой/плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую/плоскость.

 

\(\blacktriangleright\) Т.к. все точки одной из параллельных прямых находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой, то расстояние между параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой ко второй прямой.

 

Таким образом, иногда бывает удобно искать расстояние между точкой \(A\) и прямой \(b\) как расстояние между прямой \(a \ (a\parallel b, a\subset A)\) и прямой \(b\) (то есть опускать перпендикуляр не из точки \(A\), а из какой-нибудь другой “более удобной” точки на прямой \(a\)).

 

\(\blacktriangleright\) Т.к. все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости, то расстояние между параллельными плоскостями — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости к другой плоскости.

 

\(\blacktriangleright\) Т.к. все точки прямой, параллельной плоскости, находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости, то расстояние между параллельными прямой и плоскостью — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой к плоскости.

 

Таким образом, иногда бывает удобно искать расстояние между точкой \(A\) и плоскостью \(\phi\) как расстояние между прямой \(a \ (a\parallel \phi, a\subset A)\) и плоскостью \(\phi\) (то есть опускать перпендикуляр не из точки \(A\), а из какой-нибудь другой “более удобной” точки на прямой \(a\)).

 

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Дана треугольная пирамида \(SABC\), причем грани \(SAB\) и \(SAC\) представляют собой равные равнобедренные треугольники с прямыми углами при вершине \(A\). Найдите расстояние от точки \(A\) до грани \(SBC\), если высота пирамиды равна \(h\) и равна \(BC\).

Добавить задание в избранное

Из условия задачи следует, что:
1) \(SA\perp AB, AC \Rightarrow SA\perp (ABC)\);
2) \(SA=AB=AC=h=BC\);
3) \(SB=SC=h\sqrt2\).

 


 

Т.к. \(\triangle BAC\) равнобедренный, то \(AK\perp BC, K\) – середина \(BC\). Аналогично, \(SK\perp BC\). Таким образом, перпендикуляр \(AH\) на плоскость \(SBC\) упадет на прямую \(SK\) (удовлетворяет теореме о трех перпендикулярах: \(HK\) – проекция, \(AK\) – наклонная, обе перпендикулярны \(BC\)).

 

По теореме Пифагора \(AK=\dfrac{h\sqrt3}{2}\).

 

Следовательно, \(\mathrm{tg}\, \angle SKA=\dfrac{SA}{AK}=\dfrac{2\sqrt3}{3}=\dfrac{AH}{HK}\).
Значит, \(AH=2\sqrt3x, HK=3x\).
По теореме Пифагора из \(\triangle AHK\) находим \(x=\dfrac{1}{2\sqrt7} \Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{3}{7}}\)

Ответ:

\(\sqrt{\dfrac{3}{7}}\)

Задание 2
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основании четырехугольной пирамиды \(SABCD\) лежит равнобедренная трапеция \(ABCD\), причем \(AD=BC=6\), \(CD>AB\). Угол между прямыми \(AD\) и \(BC\) равен \(60^\circ\). Известно, что \(SD=12\) – высота пирамиды.
Найдите расстояние от точки \(C\) до грани \(SAB\).

Добавить задание в избранное

Так как \(CD\parallel AB\) – основания трапеции, то \(CD\) параллельна плоскости \(SAB\), в которой находится прямая \(AB\). Следовательно, расстояние от любой точки прямой \(CD\) до плоскости \(SAB\) будет одинаковым. Найдем расстояние до плоскости \(SAB\) от точки \(D\).
Так как \(SD\) – высота пирамиды, то \(SD\perp (ABC)\). Проведем \(DK\perp AB\) (точка \(K\) упадет на продолжение отрезка \(AB\) за точку \(A\)).
Если \(E\) – точка пересечения прямых \(AD\) и \(BC\), то \(\angle AEB=60^\circ\). Так как также \(\angle BAE=\angle ABE\) (так как трапеция равнобедренная), то \(\triangle AEB\) равносторонний и \(\angle BAE=60^\circ\). Следовательно, и \(\angle ADC=\angle BCD=60^\circ\).



По теореме о трех перпендикулярах \(SK\perp AB\) (заметим, что \(SK\in (SAB)\)). Тогда перпендикуляр \(DH\) из точки \(D\) на плоскость \(SAB\) упадет на \(SK\) (в противном случае по теореме о трех перпендикулярах проекция \(HK\) наклонной \(DK\) будет перпендикулярна \(AB\) и тогда будут существовать в одной плоскости два перпендикуляра \(SK\) и \(HK\) к прямой \(AB\), что невозможно).
Таким образом, необходимо найти \(DH\).
Из прямоугольного треугольника \(DAK\) \[\cos \angle ADK=\cos 30^\circ=\dfrac{DK}{DA} \quad\Rightarrow\quad DK=3\sqrt3.\] Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle SDK\): \[SK=\sqrt{SD^2+DK^2}=\sqrt{144+27}=3\sqrt{19}\] Тогда из этого же треугольника \[DK\cdot SD=DH\cdot SK \quad\Rightarrow\quad DH=\dfrac{12\sqrt3}{\sqrt{19}}.\]

Ответ:

\(\dfrac{12\sqrt3}{\sqrt{19}}\)

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\) с вершиной \(S\). Через точку пересечения диагоналей основания провели плоскость \(\alpha\) перпендикулярно ребру \(SA\). Найдите расстояние от точки \(N\) до плоскости \(\alpha\), если \(N\) – середина \(AD=2\sqrt2\), а высота пирамиды равна \(11\).

Добавить задание в избранное

1) Построим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\). Т.к. \(\alpha\perp SA\), то \(SA\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в \(\alpha\). Обозначим \(AC\cap BD=O\). Проведем \(OK\perp SA\).

По теореме о трех перпендикулярах \(SA\perp BD\) как наклонная (\(SO\perp (ABC), OA\perp BD\) – проекция).

 


 

Таким образом, имеем две пересекающиеся прямые \(OK\) и \(BD\) из плоскости \(\alpha\). Значит, сечением является треугольник \(BKD\).

2)Проведем \(MN\parallel BD\), следовательно, \(MN\parallel \alpha\). Т.к. расстояние от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одинаково, то \(\rho(N, \alpha)=\rho(Q, \alpha)\) (\(\rho\) — расстояние).

Т.к. по условию \(SA\perp \alpha\), то проведем \(QH\parallel SA \Rightarrow QH\perp \alpha\).

По построению \(MN\) – средняя линия \(\triangle BAD\), следовательно, \(AQ=QO \Rightarrow QH\) – средняя линия \(\triangle KAO \Rightarrow QH=\dfrac{1}{2}AK\).

 

Рассмотрим \(\triangle SAO\):
\(AO=2\).
Из \(\triangle AKO \sim \triangle ASO \Rightarrow \dfrac{AK}{AO}=\dfrac{AO}{AS} \Rightarrow AK=\dfrac{4\sqrt5}{25} \Rightarrow QH=\dfrac{2\sqrt5}{25}\).

Ответ:

\(\dfrac{2\sqrt5}{25}\)

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) стороны основания равны \(6\), боковые ребра равны \(8\), точка \(D\) – середина \(CC_1\). Найдите расстояние от вершины \(B\) до плоскости \(AB_1D\).

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Найдем расстояние от точки \(B\) до плоскости \(AB_1D\) через объем пирамиды \(BAB_1D\).


 

Так как призма правильная, то боковые грани – равные прямоугольники. Следовательно, так как \(CD=DC_1\), то \(\triangle ACD=\triangle B_1C_1D\), откуда \(AD=DB_1\). Следовательно, если \(O\) – точка пересечения диагоналей \(AB_1\) и \(A_1B\), то \(DO\perp AB_1\) (медиана и высота в равнобедренном треугольнике).
Пусть \(K\) – середина \(AB\). Тогда \(CK\parallel DO\). Значит, так как \(CK\perp AB\), то \(DO\perp AB\). Отсюда \(DO\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB_1\) и \(AB\) в плоскости \(ABB_1\), следовательно, \(DO\perp(ABB_1)\). Значит, \(DO\) – высота пирамиды \(BAB_1D\) к основанию \(ABB_1\).
Следовательно, \[\dfrac 13\cdot DO\cdot S_{ABB_1}=V_{BAB_1D}=\dfrac 13\cdot h\cdot S_{AB_1D},\] где \(h\) – расстояние от точки \(B\) до \((AB_1D)\).   1) \(S_{ABB_1}=0,5\cdot AB\cdot BB_1=0,5\cdot 6\cdot 8\).   2) \(DO=CK\) как противоположные стороны параллелограмма \(DOKC\) (\(DO\parallel CK\), \(DC\parallel OK\)).   3) \(CK=0,5\sqrt3AB=3\sqrt3\).   4) \(AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=10\).   5) \(S_{AB_1D}=0,5\cdot DO\cdot AB_1=0,5\cdot 3\sqrt3\cdot 10\).   Следовательно: \[h=\dfrac{3\sqrt3\cdot 0,5\cdot 6\cdot 8}{0,5\cdot 3\sqrt3\cdot 10}=4,8\]

Ответ:

4,8

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В цилиндре параллельно диаметру \(AB=10\) в нижнем основании проведена прямая, пересекающая окружность нижнего основания в точках \(M\) и \(N\), причем \(MN=6\). Через отрезок \(MN\) проведена плоскость \(\alpha\) под углом \(15^o\) к плоскости осевого сечения \(ABCD\). Найдите расстояние от центра нижнего основания до плоскости \(\alpha\).

Добавить задание в избранное

1) Т.к. \(MN\parallel AB\), то плоскость \(\alpha\) пересечет плоскость \(ABCD\) по прямой \(p\), параллельной \(AB\) (если это не так, то \(p\cap AB = K \Rightarrow K\in \text{нижнему основанию и } K\in \alpha \Rightarrow K \in MN \Rightarrow AB\cap MN \ne \varnothing\), что противоречит условию).

 


 

Обозначим за \(OQ\) – ось цилиндра. Тогда \(OQ\perp AB \Rightarrow OQ\perp p\) (\(OQ\cap p =L\)). Проведем \(OR\perp MN \Rightarrow \) по теореме о трех перпендикулярах \(RL\perp MN \Rightarrow RL\perp p \Rightarrow \angle RLO\) – угол между плоскостями \(ABCD\) и \(\alpha\).

2) Т.к. \(OR\perp MN \text{ и } LR\perp MN\), то перпендикуляр из точки \(O\) на плоскость \(\alpha\) упадет на прямую \(LR\).

Рассмотрим \(\triangle OMR: \ OM=5, MR=3, \angle ORM=90^\circ \Rightarrow OR=4\).

Рассмотрим \(\triangle LOR: \ \angle HOR=\angle RLO=15^\circ \Rightarrow OH=OR\cdot \cos15^\circ=4\cdot \cos{(45^\circ-30^\circ)}=\sqrt6+\sqrt2\).

Ответ:

\(\sqrt6+\sqrt2\).

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCD\) – правильный тетраэдр с ребром \(6\). \(M, N, K\) – такие точки на ребрах \(AB, AD, CD\) соответственно, что \(AM=MB, DN=2NA=CK\). Плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(P\). Найдите расстояние от точки \(P\) до плоскости \(ACD\).

Добавить задание в избранное

1) По условию \(ABCD\) представляет собой правильную треугольную пирамиду, все ребра которой равны \(6\). Найдем, в каком отношении точка\(P\) делит отрезок \(BC\). Для этого построим сечение пирамиды плоскостью \(MNK\). Продлим прямую \(NK\) до пересечения с прямой \(AC\) – получим точку \(Q\). Соединив точки \(Q\) и \(M\), получим линию пересечения основания – отрезок \(MP\) (сечением является четырехугольник \(MNKP\)).


 

По теореме Менелая для \(\triangle ADC\) и прямой \(QK\) имеем:

 

\(\dfrac{AN}{ND}\cdot \dfrac{DK}{KC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}=1 \Rightarrow QA=2\).

 

Аналогично для \(\triangle ABC\) и прямой \(QP\):

 

\(\dfrac{BM}{MA}\cdot \dfrac{AQ}{QC}\cdot \dfrac{CP}{PB}=1 \Rightarrow BP=\dfrac{6}{5}\).

 

2) Проведем \(PH\perp ADC\) и \(PF\perp AC\). Тогда по теореме о трех перпендикулярах \(HF\perp AC\), следовательно, \(\angle HFP=\angle (ABC, ACD)=\angle \alpha\). Найдем \(PH\) из треугольника \(PHF\). Для этого найдем \(PF\) и \(\angle \alpha\).

Проведем \(BL\perp AC\), тогда \(\angle BLD=\angle \alpha\). Треугольник \(BLD\) – равнобедренный (\(BL=LD=3\sqrt3, BD=6\)). По теореме косинусов найдем \(\cos \angle \alpha=\dfrac{1}{3}\)

 

Тогда \(\sin \angle \alpha = \dfrac{2\sqrt2}{3}=\dfrac{PH}{PF}\).

\(\triangle BLC \sim \triangle PFC \Rightarrow PF=\dfrac{12\sqrt3}{5}\)

Таким образом, \(PH=\dfrac{8\sqrt{6}}{5}\).

Ответ:

\(\dfrac{8\sqrt{6}}{5}\).

Задания, предлагающие школьнику найти расстояние от точки до прямой, в ЕГЭ встречаются ежегодно. При этом умение выполнять подобные задачи требуется выпускникам, сдающим как базовый уровень экзамена по математике, так и профильный. Научившись находить расстояние от точки до плоскости, в ЕГЭ школьник сможет правильно выполнить задание и получить заветные баллы.

«Прокачать» навыки и улучшить знания в таком непростом разделе геометрии, как стереометрия, вам поможет наш образовательный проект. «Школково» предлагает учащимся и их преподавателям по-новому выстроить процесс подготовки к сдаче единого госэкзамена.

Для того чтобы вы могли во время ЕГЭ правильно и с минимальными временными затратами решать задачи, где требуется найти расстояние от точки до прямой, мы предлагаем прежде всего повторить определения и основные правила. Для этого достаточно посетить раздел «Теоретическая справка». Здесь мы разместили материал, составленный нашими специалистами специально для учащихся с различным уровнем подготовки.

Затем для закрепления полученных знаний и отработки навыков выполните задания на нахождение расстояния от точки до плоскости в ЕГЭ; вы можете это сделать вне зависимости от того, где вы находитесь: в Москве или другом городе. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог».