Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые тригонометрические выражения

\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:

 

Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin \longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти тригонометрической окружности находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm \alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

 

\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(2\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ\).

Добавить задание в избранное

Используя основное тригонометрическое тождество, исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[2\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = \sin^2 30^\circ + (\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ) = \sin^2 30^\circ + 1.\] Так как \(\sin 30^\circ = 0,5\), то значение исходного выражения равно \(0,5^2 + 1 = 1,25\).

Ответ: 1,25

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \[\dfrac{24}{\sin^2127^\circ+1+\sin^2217^\circ}\]

Добавить задание в избранное

Заметим, что \(217^\circ=90^\circ+127^\circ\). Так как по формуле приведения \(\sin(90^\circ+\alpha)=\cos \alpha\), то \[\sin 217^\circ=\sin (90^\circ+127^\circ)=\cos 127^\circ\] Следовательно, выражение можно переписать в виде: \[\dfrac{24}{\sin^2127^\circ+\cos^2127^\circ+1}=\dfrac{24}{1+1}=12,\] так как по основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) для любого угла \(\alpha\).

Ответ: 12

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[\sqrt{48}-\sqrt{192}\sin^2\dfrac{19\pi}{12}\]

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное

Заметим, что \(192=48\cdot 4\), следовательно, \(\sqrt{192}=2\sqrt{48}\). Таким образом, выражение примет вид (по формуле косинуса двойного угла \(\cos2x=1-2\sin^2x\)):

\[\sqrt{48}\left(1-2\sin^2\dfrac{19\pi}{12}\right)= \sqrt{48}\cdot \cos\dfrac{19\pi}6\]

Т.к. \(\dfrac{19\pi}6=\dfrac{18\pi+\pi}6=3\pi+\dfrac{\pi}6\), то по формуле приведения:

\[\sqrt{48}\cos\left(3\pi+\dfrac{\pi}6\right)= \sqrt{48}\cdot \left(-\cos\dfrac{\pi}6\right)=-\sqrt{48}\cdot \dfrac{\sqrt3}2=-4\sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=-6.\]

Ответ: -6

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[8\left(\sin\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}-1\right)\]

Добавить задание в избранное

По формуле синуса двойного угла \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) имеем: \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\sin2\alpha\). Следовательно,

\[8\left(\dfrac12\sin2\cdot\dfrac{\pi}{12}-1\right)=8\left(\dfrac12\sin\dfrac{\pi}6-1\right)= 8\left(\dfrac12\cdot \dfrac12-1\right)=-6.\]

Ответ: -6

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[\dfrac{32}{\sin\left(-\dfrac{35\pi}4\right)\cdot \cos \dfrac{25\pi}4}\]

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное

Т.к. синус — нечетная функция, то есть \(\sin (-\alpha)=-\sin \alpha\), то \(\sin\left(-\frac{35\pi}4\right)=-\sin \frac{35\pi}4\).

 

Заметим, что :

 

\(\dfrac{35\pi}4=\dfrac{36\pi -\pi}4=9\pi-\dfrac{\pi}4\);

 

\(\dfrac{25\pi}4=\dfrac{24\pi+\pi}4=6\pi+\dfrac{\pi}4\).

 

Таким образом, по формулам приведения:

 

\(\sin \dfrac{35\pi}4=\sin\left(9\pi-\dfrac{\pi}4\right)=\sin\dfrac{\pi}4\);

 

\(\cos \dfrac{25\pi}4=\cos\left(6\pi+\dfrac{\pi}4\right)=\cos\dfrac{\pi}4\).

 

Следовательно, выражение принимает вид:

\[\dfrac{32}{-\sin\dfrac{\pi}4\cos\dfrac{\pi}4}= -\dfrac{32}{\dfrac{\sqrt2}2\cdot \dfrac{\sqrt2}2}=-64.\]

Ответ: -64

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{7\sin{11^\circ}}{\cos{79^\circ}}\).

Добавить задание в избранное

Используя формулу приведения \(\sin(90^\circ \pm \alpha) = \cos \alpha\), исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\dfrac{7\sin{11^\circ}}{\cos{79^\circ}} = \dfrac{7\sin{(90^\circ - 79^\circ)}}{\cos{79^\circ}} = \dfrac{7\cos{79^\circ}}{\cos{79^\circ}} = 7.\]

Ответ: 7

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{15}{\sin{(-\frac{20\pi}{3})} \cdot \cos{(-\frac{43\pi}{6})}}\).

Добавить задание в избранное

Используя формулы приведения, а также четность косинуса и нечетность синуса, исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\dfrac{15}{-\sin{\left(6\pi + \frac{2\pi}{3}\right)} \cdot \cos{\left(7\pi + \frac{\pi}{6}\right)}} = \dfrac{15}{-\sin{\left(\frac{2\pi}{3}\right)} \cdot (-\cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)})} = \dfrac{15}{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot ({-\frac{\sqrt{3}}{2})}} = 20.\]

Ответ: 20