Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Связь производной со скоростью и ускорением тела

Если \(x=x(t)\) – уравнение, задающее движение точки, зависящее от времени, то:

 

\(\blacktriangleright\) производная \(x'(t)\) задает скорость в момент времени \(t\);

 

\(\blacktriangleright\) вторая производная (производная от производной) \(x''(t)\) задает ускорение в момент времени \(t\).

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = 7t^2 - 12t\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени \(t = 1\) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Добавить задание в избранное

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 14t - 12\), тогда в момент \(t = 1\) с:

\(x'(1) = 14\cdot 1 - 12 = 2\) м/с.

Ответ: 2

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = 2t^2 - 8t\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени \(t = 2\) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Добавить задание в избранное

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 4t - 8\), тогда в момент \(t = 2\) с:

\(x'(2) = 4\cdot 2 - 8 = 0\) м/с.

Ответ: 0

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = t^2 + 2t + 3\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени \(t = 1\) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Добавить задание в избранное

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 2t + 2\), тогда в момент \(t = 1\) с:

\(x'(1) = 2\cdot 1 + 2 = 4\) м/с.

Ответ: 4

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = 2t^3 - t^2 + 2t + 3\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени \(t = 2\) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Добавить задание в избранное

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 6t^2 - 2t + 2\), тогда в момент \(t = 2\) с:

\(x'(2) = 6\cdot 2^2 - 2\cdot 2 + 2 = 22\) м/с.

Ответ: 22

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = 7t^4 + 6t^3 + 5t^2 + 4t + 2016\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени \(t = 0,5\) с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Добавить задание в избранное

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 28t^3 + 18t^2 + 10t + 4\), тогда в момент \(t = 0,5\) с:

\(x'(0,5) = 28\cdot \dfrac{1}{8} + 18\cdot \dfrac{1}{4} + 10\cdot \dfrac{1}{2} + 4 = 3,5 + 4,5 + 5 + 4 = 17\) м/с.

Ответ: 17

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = 3t^2 + 6t + 2\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла \(15\) м/с? Ответ дайте в секундах.

Добавить задание в избранное

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 6t + 6\), тогда для момента \(t\), когда скорость материальной точки была равна \(15\) м/с, выполнено \(6t + 6 = 15\), откуда \(t = 1,5\) с.

Ответ: 1,5

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = t^2 + 3t - 1\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла \(11\) м/с? Ответ дайте в секундах.

Добавить задание в избранное

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 2t + 3\), тогда для момента \(t\), когда скорость материальной точки была равна \(11\) м/с, выполнено \(2t + 3 = 11\), откуда \(t = 4\) с.

Ответ: 4