Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск точек экстремума локального минимума и максимума функций

\(\blacktriangleright\) Если функция задана как частное двух других функций, то \[{\Large{\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}}}\]

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции

\(y = -\dfrac{x^2 + 2016^2}{x}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = -\dfrac{2x^2 - (x^2 + 2016^2)}{x^2} = \dfrac{2016^2 - x^2}{x^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\[\dfrac{2016^2 - x^2}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 = 2016^2\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = -2016, \ x_2 = 2016\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = \dfrac{(2016-x)(2016+x)}{x^2}.\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = -2016\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: -2016

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции

\(y = \dfrac{3,2}{x} + 5x + 1024\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = -\dfrac{3,2}{x^2} + 5 = \dfrac{5x^2-3,2}{x^2} = 5\dfrac{x^2 - 0,64}{x^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[5\dfrac{x^2 - 0,64}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 0,64\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = -0,8, \ x_2 = 0,8\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = 5\dfrac{(x - 0,8)(x + 0,8)}{x^2}.\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -0,8\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: -0,8

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции

\(y = \dfrac{3x^2 + 1875}{x}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \dfrac{6x^2 - (3x^2 + 1875)}{x^2} = \dfrac{3x^2 - 1875}{x^2} = 3\dfrac{x^2 - 625}{x^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3\dfrac{x^2 - 625}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 625\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = 25, \ x_2 = 25\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = 3\dfrac{(x - 25)(x + 25)}{x^2}.\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -25\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: -25

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции

\(y = \dfrac{e^x}{x + 1}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -1\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = e^x\left(\dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{(x + 1)^2}\right) = \dfrac{e^x}{(x + 1)^2}x.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{e^x}{(x + 1)^2}x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\] – на ОДЗ (так как \(e^{x} > 0\) при любом \(x\)). Производная функции \(y\) не существует при \(x = -1\), но \(x = -1\) не входит в ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 0\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 0

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку максимума функции \(y = \dfrac{x}{e^x}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = \dfrac{1\cdot e^x - e^x\cdot x}{e^{2x}} = \dfrac{1 - x}{e^x}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{1 - x}{e^x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика:


 

Таким образом, \(x = 1\) – точка максимума функции \(y\).

Ответ: 1

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку минимума функции \(y = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\) на отрезке \([-15; 15]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = \dfrac{2x\cdot (x^2 + 1) - 2x\cdot(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{4x}{(x^2 + 1)^2}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{4x}{(x^2 + 1)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-15; 15]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([-15; 15]\):


 

Таким образом, \(x = 0\) – точка минимума функции \(y\) на отрезке \([-15; 15]\).

Ответ: 0

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку минимума функции \(y = \dfrac{x^2}{x^3 + 1}\) на промежутке \((-1; 1]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\neq -1\).

1) \[y' = \dfrac{2x(x^3 + 1) - 3x^2\cdot x^2}{(x^3 + 1)^2} = \dfrac{-x^4 + 2x}{(x^3 + 1)^2}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{-x^4 + 2x}{(x^3 + 1)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = 0\\ x = \sqrt[3]{2} \end{gathered} \right.\] Производная не существует при \(x = - 1\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \((-1; 1]\):


 

4) Эскиз графика на промежутке \((-1; 1]\):


 

Таким образом, \(x = 0\) – точка минимума функции \(y\) на промежутке \((-1; 1]\).

Ответ: 0