Перепишем неравенство в виде: \[2|x-a|+a\leqslant -x^2+4x\]
Пусть \(f(x)=2|x-a|+a\), \(g(x)=-x^2+4x\) – функции. Тогда по условию задачи необходимо, чтобы промежуток, для которого график \(f\) лежит не выше графика \(g\), содержал ровно одну целую точку.
Заметим, что графиком функции \(f\) является уголок, вершина которого скользит по прямой \(y=x\). Правая ветвь уголка задается уравнением \(f_1(x)=2(x-a)+a=2x-a\) при \(x\geqslant a\); левая ветвь — \(f_2(x)=-2(x-a)+a=-2x+3a\) при \(x<a\).

1) Найдем значение параметра, при котором правая ветвь уголка касается параболы (т.к. если уголок находится левее этого положения, то неравенство не имеет решений).
\(g'=-2x+4\). Если \(f_1\) касается \(g\) в точке \(x_0\), то \(g'(x_0)\) равно коэффициенту при \(x\) в уравнении \(f_1\), то есть:
\[-2x_0+4=2 \quad \Rightarrow \quad x_0=1\]
Т.к. \(f_1\) касается \(g\), то \(f_1(x_0)=g(x_0)\), откуда находим значение параметра \(a=-1\).
Таким образом, при \(a=-1\) правая ветвь \(f_1\) касается параболы:

Заметим, что при \(a=-1\) существует ровно одно решение для неравенства, и это \(x=1\), что является целочисленным значением. Следовательно, \(a=-1\) нам подходит.
2) Заметим, что при \(a=0\) вершина уголка находится в точке \((0;0)\) и уголок имеет две точки пересечения с параболой: \(x=0\) и \(x=2\). Следовательно, решением неравенства является отрезок \([0;2]\) (т.к. на этом отрезке уголок находится не выше параболы), содержащий три целых точки (\(0,1\) и \(2\)). А вот при \(a<0\) (но \(a\geqslant -1\)) левая ветвь уголка не пересекает параболу, а правая ветвь пересекает параболу в двух точках, причем одна находится между \(0\) и \(1\), а вторая между \(1\) и \(2\). То есть в промежуток, удовлетворяющий неравенству, будет входить ровно одна целая точка \(x=1\). Следовательно, все \(-1\leqslant a<0\) нам подходят.

3) Заметим, что если вершина уголка находится в точке \((3;3)\) (то есть \(a=3\)), то левая ветвь уголка касается параболы (в этой точке). Действительно, это можно проверить, поступив так же, как мы поступили в первом пункте: \(g'=-2x+4\). Если \(f_2\) касается \(g\) в точке \(x_0\), то \(g'(x_0)\) равно коэффициенту при \(x\) в уравнении \(f_2\), то есть:
\[-2x_0+4=-2 \quad \Rightarrow \quad x_0=3\]
Следовательно, при \(a=3\) решением неравенства является единственная точка \(a=3\), которая является целой, то есть \(a=3\) нам подходит.
Заметим также, что при \(a>3\) уголок будет находится всегда выше параболы, то есть неравенство не будет иметь решений.
4) Рассмотрим ситуацию, когда \(0<a<3\). При этих \(a\) правая ветвь уголка пересекает параболу в точке \(x\in(2;3)\), а вот левая ветвь пересекает параболу в какой-то точке \(x\in(0;3)\). Следовательно, чтобы неравенство имело единственное целочисленное решение, этим решением должно быть \(x=2\) и точка \(x'\), в которой левая ветвь пересекает параболу, должна удовлетворять: \(1<x'\leqslant 2\)(оранжевый уголок).

Поэтому найдем значение \(a\), при котором левая ветвь уголка пересекает параболу в точке \(x=1\): \[f_2(1)=g(1) \quad \Rightarrow
\quad -2+3a=-1+4 \quad \Rightarrow \quad a=\dfrac53\]
Теперь найдем значение \(a\), при котором левая ветвь уголка пересекает параболу в точке \(x=2\):\[f_2(2)=g(2) \quad \Rightarrow
\quad -4+3a=-4+8 \quad \Rightarrow \quad a=\dfrac83\]
То есть при \(a=\frac53\) решением неравенства является отрезок \([1;2,...]\), содержащий 2 целые точки (\(x=1;2\)); при \(a=\frac83\) решением неравенства является отрезок \([2;2,...]\), содержащий одну целую точку (\(x=2\)).
Следовательно, при \(\frac52<a\leqslant \frac83\) решением будет отрезок \([1,...;2,...]\), который содержит одну целую точку \(x=2\). Такие значения \(a\) нам подходят.
Таким образом, итоговый ответ:
при \(-1\leqslant a<0\) целочисленное решение \(x=1\);
при \(\frac53<a\leqslant \frac83\) целочисленное решение \(x=2\);
при \(a=3\) целочисленное решение \(x=3\).
Ответ:
\(a\in [-1;0)\cup\left(\frac53;\frac83\right]\cup\{3\}\)