Пусть \(i-\)ое выписанное число имеет вид \(10\cdot a_i + b_i\), где \(a_i, b_i \in \{1, 2, ..., 9\}\). Для суммы \(b_i\) по всем значениям индекса \(i\), таким, что слагаемое \(b_i\) есть этой в сумме, используем обозначение \(\underset{i}{\Sigma} b_i\). Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10a_i + b_i) =
10\cdot\underset{i}{\Sigma} a_i + \underset{i}{\Sigma} b_i.\] Обозначим \(A = \underset{i}{\Sigma} a_i\), \(B = \underset{i}{\Sigma}
b_i\), тогда \(330 = 10\cdot A + B\).
После смены мест цифр \(i-\)ое полученное число имеет вид \(10\cdot b_i
+ a_i\). Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10b_i + a_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma}
b_i + \underset{i}{\Sigma} a_i = 10\cdot B + A.\]
а) Увеличение суммы в \(4\) раза равносильно тому, что новая сумма равна \(330\cdot 4 = 1320\), что равносильно \(10\cdot B + A = 1320\). Рассмотрим систему
\[\begin{aligned}
\begin{cases}
10\cdot A + B = 330\\
A + 10\cdot B = 1320
\end{cases}
\end{aligned}\]
вычитая из второго уравнения первое, находим, что \(9\cdot B - 9\cdot
A = 990\), откуда \(B = 110 + A\). Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(A = 20\), тогда \(B = 130\).
Попробуем брать в качестве \(b_i\) \(9\), пока их сумма не превосходит \(130\) – так можно положить \[b_1 = ... = b_{14} = 9,\quad b_{15} =
130 - 14\cdot 9 = 4,\] то есть в сумме \(15\) слагаемых. Тогда можно положить \[a_1 = ... = a_{14} = 1,\quad a_{15} = 20 - 14\cdot 1 =
6.\]
б) Увеличение суммы в \(2\) раза равносильно тому, что новая сумма равна \(330\cdot 2 = 660\), что равносильно \(10\cdot B + A = 660\). Рассмотрим систему
\[\begin{aligned}
\begin{cases}
10\cdot A + B = 330\\
A + 10\cdot B = 660
\end{cases}
\end{aligned}\]
вычитая из второго уравнения первое, находим, что \(9\cdot B - 9\cdot
A = 330\), но \(330\) не делится на \(9\), следовательно, такой случай не возможен.
в) Пусть сумма полученных чисел равна \(S\), что равносильно системе
\[\begin{aligned}
\begin{cases}
10\cdot A + B = 330\\
A + 10\cdot B = S
\end{cases}
\end{aligned}\]
вычитая из второго уравнения первое, находим, что \[9\cdot B -
9\cdot A = S - 330,\] откуда \[B = \dfrac{S}{9} - \dfrac{110}{3} +
A.\] Подставляя это в первое уравнение системы, находим \[A =
\dfrac{100}{3} - \dfrac{S}{99},\] откуда в частности следует, что \[\dfrac{S}{99} = s + \dfrac{1}{3},\] то есть \(S = 99s + 33\) для некоторого целого неотрицательного \(s\), тогда \(A = 33 - s\), \(B =
10s\).
Покажем, что \(B < 170\):
в самом деле, если бы было \(B\geqslant 170\), тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее, чем \(19\) (так как \(18\cdot 9 <
170\)), но тогда \[10\cdot A + B \geqslant 190 + 170 > 330.\]
Так как \(B < 170\), то \(10s < 170\), то есть \(s\leqslant 16\).
При \(s = 16\) получим \(A = 17\), \(B = 160\), но даже \(17\cdot 9 = 153 < B\), а количество чисел не может быть больше, чем \(17\ (= A)\), следовательно, \(s\leqslant 15\).
При \(s = 15\) получим \(A = 18\), \(B = 150\)
Аналогично примеру из пункта а) построим решение:
Попробуем брать в качестве \(b_i\) \(9\), пока их сумма не превосходит \(150\) – так можно положить \[b_1 = ... = b_{16} = 9,\quad b_{17} =
150 - 16\cdot 9 = 6\,,\] то есть в сумме \(17\) слагаемых. Тогда можно положить \[a_1 = ... = a_{16} = 1\quad a_{17} = 18 - 16\cdot 1 =
2,\] итого, искомая сумма \(16\times 19 + 26\), максимальная \(S =
99\cdot 15 + 33 = 1518\).
Ответ:
а) \(14\times 19 + 64\), где запись \(14\times 19\) означает сумму из \(14\) слагаемых, каждое из которых равно \(19\)
б) Нет
в) \(1518\)