Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2015

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Реальные варианты ЕГЭ 2015. Досрочная волна

Задание 1

Пёс Барбос пробежал \(500\ м\) за \(1,5\ минуты\). Найдите его среднюю скорость. Ответ дайте в километрах в час.

Так как средняя скорость есть отношение всего пути к затраченному на него времени, то средняя скорость пса Барбоса равна \[\dfrac{500}{1,5}\ \dfrac{\text{м}}{\text{мин}} = \dfrac{1000}{3}\ \dfrac{\text{м}}{\text{мин}} = \dfrac{1}{3}\ \dfrac{\text{км}}{\text{мин}} = \dfrac{20}{60}\ \dfrac{\text{км}}{\text{мин}} = 20\ \dfrac{\text{км}}{\text{ч}}\]

Ответ: 20

Задание 2

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Кирове с \(4\) по \(14\) декабря \(2000\) года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день (в мм). Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в Кирове впервые выпало \(2,5\ мм\) осадков.

По рисунку видно, что в Кирове впервые выпало \(2,5\ мм\) осадков \(9\) числа.

Ответ: 9

Задание 3

Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.



Абонент надеется, что общая длительность разговоров составит \(180\ минут\) в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если общая длительность разговоров действительно будет равна \(180\ минутам\)?

По тарифному плану “Безусловный” \(180\ минут\) обойдутся в \(2,5\cdot 180 = 450\ руб\).
По тарифному плану “Безнадёжный” \(180\ минут\) обойдутся в \(140 + (180 - 60)\cdot 2 = 380\ руб\).
По тарифному плану “Безлимит” \(180\ минут\) обойдутся в \(350\ руб\).

Наиболее выгодный план – “Безлимит”. Ответ: \(350\ руб\).

Ответ: 350

Задание 4

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображён угол. Найдите косинус этого угла.

По рисунку видно, что данный угол является острым углом в прямоугольном треугольнике с катетами \(3\) и \(4\) единицы (катет, равный \(3\) единицам – прилежащий к рассматриваемому углу). По теореме Пифагора гипотенуза в таком треугольнике равна \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\), следовательно, косинус рассматриваемого угла равен \(0,6\).

Ответ: 0,6

Задание 5

Арья и Санса играют в шахматы. Играя белыми, Арья выигрывает с вероятностью \(0,38\). Играя чёрными, Арья выигрывает с вероятностью \(0,4\). Арья и Санса играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Арья выиграет оба раза.

Так как Арья один раз играет белыми и один раз играет чёрными фигурами, то вероятность того, что она выиграет оба раза, равна \(0,38\cdot 0,4 = 0,152\).

Ответ: 0,152

Задание 6

Найдите корень уравнения \[121^{x + 2} = \dfrac{1}{11}\]

Исходное уравнение равносильно \[11^{2x + 4} = 11^{-1}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x + 4 = -1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -2,5\,.\]

Ответ: -2,5

Задание 7

Периметр прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, равен \(25\), а одна из её боковых сторон равна \(7\). Найдите радиус вписанной окружности.

Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны, тогда сумма боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна \(25 : 2 = 12,5\).

Так как одна из боковых сторон равна \(7\), то другая боковая сторона равна \(12,5 - 7 = 5,5\). Кроме того, меньшая из боковых сторон равна диаметру вписанной окружности, следовательно, радиус данной вписанной окружности равен \(0,5\cdot 5,5 = 2,75\).

Ответ: 2,75

Задание 8

На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\). На оси абсцисс отмечены семь точек: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\), \(x_5\), \(x_6\), \(x_7\). В скольких из этих точек производная функции \(f(x)\) отрицательна?

Производная отрицательна там, где функция убывает. В данном случае, \(f'(x) < 0\) в точках \(x_4\), \(x_6\), \(x_7\), то есть в трёх точках.

Ответ: 3

Задание 9

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна \(3\), а боковое ребро равно \(3\sqrt{3}\). Найдите её объём.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду как на рисунке


 

По теореме Пифагора \[FD = \sqrt{ED^2 - EF^2} = 3\sqrt{2}\,,\] тогда \(BD = 6\sqrt{2}\), следовательно, по теореме Пифагора \[AD^2 = BD^2 - AB^2\qquad\Rightarrow\qquad BD^2 = 2AD^2\qquad\Rightarrow\qquad AD = 6\,.\] \[V_{\text{пирамиды}} = \dfrac{1}{3}\cdot EF\cdot S_{ABCD} = \dfrac{1}{3}\cdot 3\cdot 6^2 = 36\,.\]

Ответ: 36

Задание 10

Найдите значение выражения \[\dfrac{\sqrt[4]{7}\cdot 7\cdot\sqrt[8]{7^3}}{\sqrt[8]{7}\cdot\sqrt{7}}\]

Исходное выражение равносильно \[\dfrac{\sqrt[4]{7}\cdot 7\cdot\sqrt[8]{7^3}}{\sqrt[8]{7}\cdot\sqrt{7}} = 7^{\frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} - \frac{1}{2}} = 7^1 = 7\,.\]

Ответ: 7

Задание 11

Водолазный колокол, содержащий \(\nu = 1\ моль\) воздуха при давлении \(p_1 = 1,5\ атмосферы\), медленно опускают на дно бака, заполненного водой. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A = \alpha\nu T\log_2\dfrac{p_2}{p_1}\), где \(\alpha = 13,3\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}\), \(T = 290\ К\) – температура воздуха. Найдите давление \(p_2\) в атмосферах, которое должен иметь воздух в колоколе, чтобы при сжатии воздуха была совершена работа \(7714\ Дж\).

По условию задачи требуется найти \(p_2\), такое что \[7714\ \text{Дж} = 13,3\cdot 1\cdot 290\cdot \log_2\dfrac{p_2}{1,5}\ \text{Дж}\,,\] откуда \(2 = \log_2 \dfrac{p_2}{1,5}\), следовательно, \[\log_2 4 = \log_2 \dfrac{p_2}{1,5}\qquad\Rightarrow\qquad 4 = \dfrac{p_2}{1,5}\qquad\Rightarrow\qquad p_2 = 6\,.\]

Ответ: 6

Задание 12

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна \(0,75\). Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Рассмотрим призму как на рисунке

 

\(QM\) – средняя линия в параллелограмме \(CC_1B_1B\), тогда \(S_{CC_1B_1B} = 2S_{QMBB_1}\).
Аналогично \(S_{AA_1B_1B} = 2S_{PNBB_1}\).

\(MN\parallel AC\), \(QM\parallel C_1C\), следовательно, \(\angle ACC_1 = \angle NMQ\), при этом \(MN = \dfrac{1}{2}AC\), \(QM = CC_1\) (\(QMCC_1\) – параллелограмм по определению). Таким образом, \(S_{AA_1C_1C} = 2S_{PQMN}\), следовательно, площадь боковой поверхности исходной призмы в два раза больше, чем площадь боковой поверхности отсечённой призмы, и равна \(1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 13

В лаборатории смешали \(15\)-процентный и \(7\)-процентный растворы кислоты, и добавив \(4,9\ кг\) чистой воды, получили \(10\)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(4,9\ кг\) воды добавили \(3 кг\) \(7\)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(11\)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(15\)-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть \(15\)-процентного раствора было \(x\ кг\), а

\(7\)-процентного раствора было \(y\ кг\), тогда \[0,15x + 0,07y = 0,1(x + y + 4,9)\,,\] кроме того, по условию при добавлении \(3\ кг\) \(7\)-процентного раствора той же кислоты вместо \(4,9\ кг\) воды, получили бы \(11\)-процентный раствор кислоты \[0,15x + 0,07y + 0,07\cdot 3 = 0,11(x + y + 3)\,.\] Вычитая первое уравнение из второго, получим \[0,21 = 0,01(x + y) - 0,16\,,\] откуда \(x + y = 37\). Подставляя \(y = 37 - x\) в первое уравнение, находим \[x = 20\,.\]

Ответ: 20

Задание 14

Найдите наибольшее значение функции \[y = 71x + 65\cos x + 21\]

на отрезке \([-\pi; 0]\).

ОДЗ: \(x\) – произвольный. \[y' = 71 - 65\sin x\,.\] \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 71 - 65\sin x = 0\,.\] Так как \(|\sin x|\leqslant 1\), то у уравнения \(y' = 0\) решений нет. Тогда у данной функции \(y\) производная \(y'\) всюду принимает значения одного знака. Определить этот знак можно, подставив любое число в \(y'\), например, \(x = 0\): \[y'(0) = 71 > 0\,,\] то есть \(y' > 0\) при всех \(x\), значит, функция \(y\) возрастает на \(\mathbb{R}\), откуда следует, что наибольшее на отрезке \([-\pi; 0]\) значение она принимает на конце отрезка, то есть в точке \(x = 0\): \[y(0) = 71\cdot 0 + 65\cdot \cos 0 + 21 = 86\,.\]

Ответ: 86

Задание 15

а) Решите уравнение \[2\sqrt{3}\cos x + 2\sin 2x = 3 + 2\sqrt{3}\sin x\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([0; \pi]\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольный.

По формуле синуса двойного угла:

\[\begin{aligned} &2\sqrt{3}\cos x + 4\sin x\cdot\cos x = 3 + 2\sqrt{3}\sin x\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad & (2\sqrt{3}\cos x + 4\sin x\cdot\cos x) - (3 + 2\sqrt{3}\sin x) = 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad & 4\cos x\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \sin x\right) - 2\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \sin x\right) = 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad & (4\cos x - 2\sqrt{3})\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \sin x\right) = 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad & \left(\cos x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \sin x\right) = 0\,, \end{aligned}\]

откуда \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) или \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

1) \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), тогда \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).
2) \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), тогда \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\).

 

б) \(0 \leqslant \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k_1 \leqslant \pi\) равносильно \(-\dfrac{\pi}{6} \leqslant 2\pi k_1 \leqslant \dfrac{5\pi}{6}\), что равносильно \(-\dfrac{1}{12} \leqslant k_1 \leqslant \dfrac{5}{12}\), но \(k_1\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k_1 = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\).

\(0 \leqslant -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k_2 \leqslant \pi\) равносильно \(\dfrac{\pi}{6} \leqslant 2\pi k_2 \leqslant \dfrac{7\pi}{6}\), что равносильно \(\dfrac{1}{12} \leqslant k_2 \leqslant \dfrac{7}{12}\), но \(k_2\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходящих нет.

\(0 \leqslant -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant \pi\) равносильно \(\dfrac{\pi}{3} \leqslant 2\pi n \leqslant \dfrac{4\pi}{3}\), что равносильно \(\dfrac{1}{6} \leqslant n \leqslant \dfrac{2}{3}\), но \(n\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходящих нет.

\(0 \leqslant \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi m \leqslant \pi\) равносильно \(-\dfrac{4\pi}{3} \leqslant 2\pi m \leqslant -\dfrac{\pi}{3}\), что равносильно \(-\dfrac{2}{3} \leqslant m \leqslant -\dfrac{1}{6}\), но \(m\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходящих нет.

Ответ:

а) \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi m, \ k,n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{\pi}{6}\)

Задание 16

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. На ребре \(BB_1\) отмечена точка \(K\) так, что \(KB : KB_1 = 3 : 1\). Через точки \(K\) и \(A_1\) проведена плоскость \(\pi\), параллельная прямой \(BD_1\).

 

а) Докажите, что \(C_1M : MB_1 = 2 : 1\), где \(M\) – точка пересечения плоскости \(\pi\) с ребром \(B_1C_1\).

б) Найдите угол между плоскостями \((A_1B_1B)\) и \(\pi\).

а) Рассмотрим треугольник \(BB_1D_1\). Пусть \(N\) – точка на \(B_1D_1\) такая, что \(KN\parallel BD_1\). Плоскость \(\pi\) проходит через точку \(N\), так как \(\pi\parallel BD_1\) и \(\pi\) проходит через точку \(K\), а \(KN\parallel BD_1\).

Тогда \(M\) – точка пересечения \(A_1N\) и \(B_1C_1\). Так как \(KN\parallel BD_1\), то \(\angle B_1KN = \angle B_1BD_1\). Рассмотрим треугольники \(B_1KN\) и \(B_1BD_1\). Они подобны по двум углам, откуда \[\dfrac{B_1N}{B_1D_1} = \dfrac{B_1K}{B_1B} = \dfrac{B_1K}{B_1K + KB} = \dfrac{B_1K}{B_1K + 3B_1K} = \dfrac{1}{4}\,,\] следовательно, \[\dfrac{B_1N}{ND_1} = \dfrac{B_1N}{B_1D_1 - B_1N} = \dfrac{B_1N}{4B_1N - B_1N} = \dfrac{1}{3}\,.\]

Рассмотрим треугольники \(A_1ND_1\) и \(B_1NM\). Так как \(B_1M\parallel A_1D_1\), то \(\angle NB_1M = \angle ND_1A_1\), \(\angle NMB_1 = \angle NA_1D_1\), следовательно, треугольники \(A_1ND_1\) и \(B_1NM\) подобны по двум углам, откуда \[\dfrac{B_1M}{A_1D_1} = \dfrac{B_1N}{ND_1} = \dfrac{1}{3}\,,\] следовательно, \[B_1M = \dfrac{1}{3}B_1C_1\,,\] откуда и получается доказываемое утверждение.

 

б) Опустим из точки \(B_1\) перпендикуляр \(B_1O\) на \(A_1K\). Так как \(B_1M\perp (A_1B_1B)\), то \(B_1O\) – проекция \(MO\) на плоскость \((A_1B_1B)\) и \(\angle B_1OM\) – искомый.

Треугольники \(A_1B_1O\) и \(A_1B_1K\) подобны, откуда \[\dfrac{B_1O}{B_1K} = \dfrac{A_1B_1}{A_1K} = \dfrac{A_1B_1}{\sqrt{{A_1B_1}^2 + B_1K^2}} = \dfrac{A_1B_1}{A_1B_1\frac{\sqrt{17}}{4}} = \dfrac{4}{\sqrt{17}}\,,\] следовательно, \[\mathrm{tg}\, \angle B_1OM = \dfrac{B_1M}{B_1O} = \dfrac{\frac{1}{3}A_1B_1}{\frac{1}{\sqrt{17}}A_1B_1} = \dfrac{\sqrt{17}}{3}\,,\] следовательно, искомый угол равен \(\mathrm{arctg}\, \dfrac{\sqrt{17}}{3}\).

Ответ:

б) \(\mathrm{arctg}\, \dfrac{\sqrt{17}}{3}\)

Задание 17

Решите неравенство \[\log_6^2 (36 - x^2) - 8\log_6(36 - x^2) + 7 \geqslant 0\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} 36 - x^2 > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(-6; 6) \end{aligned}\]

Решим на ОДЗ. Сделаем замену \(t = \log_6(36 - x^2)\):

\[\begin{aligned} t^2 - 8t + 7 \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 7)(t - 1)\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(t \leqslant 1\) или \(t\geqslant 7\).

 

1) \(t\leqslant 1\), тогда на ОДЗ \[\log_6(36 - x^2)\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \log_6(36 - x^2)\leqslant \log_6 6\quad\Leftrightarrow\quad 36 - x^2\leqslant 6\quad\Leftrightarrow\quad x^2\geqslant 30\,,\] откуда с учётом ОДЗ \(x\in (-6; -\sqrt{30}]\cup[\sqrt{30}; 6)\).

2) \(t\geqslant 7\), тогда на ОДЗ \[\log_6(36 - x^2)\geqslant 7\quad\Leftrightarrow\quad \log_6(36 - x^2)\geqslant \log_6 6^7\quad\Leftrightarrow\quad 36 - x^2\geqslant 6^7\,,\] но тогда \(x^2\leqslant 6^2 - 6^7 < 0\), чего быть не может.

В итоге ответ: \[x\in (-6; -\sqrt{30}]\cup[\sqrt{30}; 6)\,.\]

Ответ:

\((-6; -\sqrt{30}]\cup[\sqrt{30}; 6)\)

Задание 18

Окружность с центром \(O\) построена на боковой стороне \(AB\) равнобедренной трапеции \(ABCD\) как на диаметре. Эта окружность касается стороны \(CD\) и второй раз пересекает большее основание \(AD\) в точке \(N\). Точка \(M\) – середина \(CD\).

 

а) Докажите, что \(OMDN\) – параллелограмм.

б) Найдите \(AD\), если \(\angle BAD = 75^\circ\) и \(BC = 4\).

а) \(ON = OA\) – как радиусы. Так как трапеция \(ABCD\) равнобедренная, то \(MD = OA = ON\).


 

Так как \(OA = ON\), то \(\angle OAN = \angle ONA\), но \(\angle OAN = \angle MDA\), следовательно, \(\angle ONA = \angle MDA\), тогда \(ON\parallel MD\).

В итоге стороны \(ON\) и \(MD\) четырёхугольника \(ONDM\) параллельны и равны, следовательно, \(ONDM\) – параллелограмм.

 

б) \[ND = OM = \dfrac{AD + BC}{2} = \dfrac{AD}{2} + 2\quad\Rightarrow\quad AN = \dfrac{AD}{2} - 2,\quad ND = AN + 4\,.\]

Пусть \(B'\) – проекция точки \(B\) на \(AD\), тогда \[AB' = \dfrac{AD - BC}{2} = \dfrac{AD}{2} - 2 = AN\,,\] следовательно, точки \(B'\) и \(N\) совпадают и \(BN\perp AD\).

Пусть радиус данной окружности равен \(r\), \(BN = h\), тогда из треугольника \(ABN\): \[AN^2 = 4r^2 - h^2,\qquad AN = \dfrac{h}{\mathrm{tg}\, 75^\circ}\]

Пусть \(P\) – точка касания данной окружности и \(CD\), тогда \(OP\perp CD\). Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \[\angle PMO = \angle MON = \angle ONA = \angle OAN = 75^\circ\,.\]

Таким образом, прямоугольные треугольники \(POM\) и \(ABN\) подобны по острому углу, следовательно, \[\dfrac{OP}{BN} = \dfrac{OM}{AB}\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{r}{h} = \dfrac{AN + 4}{2r}\,.\]

Найдём \(\mathrm{tg}\, 75^\circ\) при помощи формулы тангенса половинного угла: \[\mathrm{tg}\, 75^\circ = \mathrm{tg}\, \dfrac{150^\circ}{2} = \dfrac{\sin 150^\circ}{1 + \cos 150^\circ} = \dfrac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}}\,.\]

Тогда \[AN = (2 - \sqrt{3})h,\qquad (2 - \sqrt{3})^2h^2 = 4r^2 - h^2,\qquad \dfrac{r}{h} = \dfrac{(2 - \sqrt{3})h + 4}{2r}\,,\] откуда \(r = h\sqrt{2 - \sqrt{3}}\), \[2r^2 = (2 - \sqrt{3})h^2 + 4h\quad\Rightarrow\quad (2 - \sqrt{3})h^2 = 4h\quad\Rightarrow\quad h = \dfrac{4}{2 - \sqrt{3}}\,,\] тогда \(AN = 4\), откуда \(ND = 8\), следовательно, \(AD = 12\).

Ответ:

б) \(12\)

Задание 19

Компании N принадлежат две шахты в разных городах. В шахтах добываются абсолютно одинаковые минералы, но в шахте, расположенной в первом городе, используется более современное оборудование. В результате, если рабочие первой шахты трудятся суммарно \(t^2\) часов в день, то за день они добывают \(8t\) единиц минералов, а рабочие второй шахты за те же \(t^2\) часов в день добывают \(6t\) единиц минералов. За каждый час работы компания \(N\) платит каждому своему рабочему по \(100\) рублей. Компания готова выделять \(1\, 000\, 000\) рублей в день на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц минералов можно добыть за день на этих двух шахтах?

Компания N готова оплачивать \(10000\) часов в день.
Пусть \(x^2\) часов в день суммарно трудятся рабочие первой шахты,
Пусть \(y^2\) часов в день суммарно трудятся рабочие второй шахты, тогда \[x^2 + y^2 = 10000\,.\]

Обозначим за \(S\) количество суммарно добытых за день единиц минералов, тогда \[S = 8x + 6y\]

Так как \(y = \sqrt{10000 - x^2}\), то \[S(x) = 8x + 6\sqrt{10000 - x^2}\,.\]

ОДЗ: \(x\in[-100; 100]\). Необходимо найти наибольшее значение функции \(S(x)\) при \(x\in[0; 100]\). \[S'(x) = 8 - 6\cdot\dfrac{x}{\sqrt{10000 - x^2}} = 0\]

Критические точки функции \(S(x)\) – это внутренние точки её области определения, в которых её производная равна \(0\) или не определена. \(S'(x) = 0\) при \(x = 80\).

Найдём промежутки возрастания/убывания \(S(x)\) на \([0; 100]\):



то есть \(x = 80\) точка локального максимума. Кроме того, \(S'(x)\) не определена при \(x = \pm 100\). Легко убедиться, что среди этих \(x\), попадающих на отрезок \([0; 100]\), наибольшее значение \(S(x)\) достигается при \(x = 80\). Более того, \(S(80) > S(0)\), следовательно, \(S(80)\) – наибольшее значение функции \(S(x)\) на отрезке \([0; 100]\). \[S(80) = 640 + 360 = 1000\,.\]

Ответ:

\(1000\)

Задание 20

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений

\[\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{(y^2 - xy + x - y)\sqrt{x + 4}}{\sqrt{3 - x}} = 0\\ a = x + y \end{cases} \end{aligned}\]

имеет ровно два различных решения

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} 3 - x > 0\\ x + 4\geqslant 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad -4\leqslant x < 3 \end{aligned}\]

Заметим, что при любом \(a\in\mathbb{R}\) у системы имеется решение \[x = -4,\qquad y = a + 4\,,\] таким образом, с учётом того, что \(y = -x + a\), задача может быть переформулирована так: найти значения параметра \(a\), при каждом из которых на множестве \((-4; 3)\) уравнение

\[\begin{aligned} (-x + a)^2 - x(-x + a) + x - (-x + a) = 0\quad\Leftrightarrow\quad 2x^2 + (2 - 3a)x + a^2 - a = 0 \end{aligned}\]

имеет ровно одно решение.

Решения данного уравнения: \[x = \dfrac{3a - 2 \pm(a - 2)}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = a - 1\\ x = 0,5a\,, \end{gathered} \right.\] следовательно, у данного уравнения одно решение только при \(a = 2\). При этом это решение \(x = 1\) – подходит по условию, следовательно, \(a = 2\) идёт в ответ.

 

При \(a\neq 2\) у данного уравнения два различных решения. По условию необходимо и достаточно, чтобы среди этих решений ровно одно попало на интервал \((-4; 3)\).

1) Пусть \(-4 < a - 1 < 3\), тогда \(-3 < a < 4\), следовательно, \(-1,5 < 0,5a < 2\), то есть тогда и второе решение попадает в этот интервал, что не подходит по условию.

2) Пусть \(-4 < 0,5a < 3\), тогда \(-8 < a < 6\), следовательно, \(-9 < a - 1 < 5\), то есть второе решение не попадает в этот интервал только при условии \[\left[ \begin{gathered} -9 < a - 1 \leqslant - 4\\ 3 \leqslant a - 1 < 5 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} -8 < a \leqslant - 3\\ 4 \leqslant a < 6 \end{gathered} \right.\]

Таким образом, ответ \[a\in (-8; -3]\cup\{2\}\cup[4; 6)\,.\]

Ответ:

\((-8; -3]\cup\{2\}\cup[4; 6)\)

Задание 21

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной \(330\). В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число \(17\) заменили на число \(71\)).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в \(4\) раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в \(2\) раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Пусть \(i-\)ое выписанное число имеет вид \(10\cdot a_i + b_i\), где \(a_i, b_i \in \{1, 2, ..., 9\}\). Для суммы \(b_i\) по всем значениям индекса \(i\), таким, что слагаемое \(b_i\) есть этой в сумме, используем обозначение \(\underset{i}{\Sigma} b_i\). Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10a_i + b_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} a_i + \underset{i}{\Sigma} b_i.\] Обозначим \(A = \underset{i}{\Sigma} a_i\), \(B = \underset{i}{\Sigma} b_i\), тогда \(330 = 10\cdot A + B\).

После смены мест цифр \(i-\)ое полученное число имеет вид \(10\cdot b_i + a_i\). Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10b_i + a_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} b_i + \underset{i}{\Sigma} a_i = 10\cdot B + A.\]

а) Увеличение суммы в \(4\) раза равносильно тому, что новая сумма равна \(330\cdot 4 = 1320\), что равносильно \(10\cdot B + A = 1320\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 330\\ A + 10\cdot B = 1320 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \(9\cdot B - 9\cdot A = 990\), откуда \(B = 110 + A\). Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(A = 20\), тогда \(B = 130\).

Попробуем брать в качестве \(b_i\) \(9\), пока их сумма не превосходит \(130\) – так можно положить \[b_1 = ... = b_{14} = 9,\quad b_{15} = 130 - 14\cdot 9 = 4,\] то есть в сумме \(15\) слагаемых. Тогда можно положить \[a_1 = ... = a_{14} = 1,\quad a_{15} = 20 - 14\cdot 1 = 6.\]

б) Увеличение суммы в \(2\) раза равносильно тому, что новая сумма равна \(330\cdot 2 = 660\), что равносильно \(10\cdot B + A = 660\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 330\\ A + 10\cdot B = 660 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \(9\cdot B - 9\cdot A = 330\), но \(330\) не делится на \(9\), следовательно, такой случай не возможен.

в) Пусть сумма полученных чисел равна \(S\), что равносильно системе

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 330\\ A + 10\cdot B = S \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \[9\cdot B - 9\cdot A = S - 330,\] откуда \[B = \dfrac{S}{9} - \dfrac{110}{3} + A.\] Подставляя это в первое уравнение системы, находим \[A = \dfrac{100}{3} - \dfrac{S}{99},\] откуда в частности следует, что \[\dfrac{S}{99} = s + \dfrac{1}{3},\] то есть \(S = 99s + 33\) для некоторого целого неотрицательного \(s\), тогда \(A = 33 - s\), \(B = 10s\).

Покажем, что \(B < 170\):
в самом деле, если бы было \(B\geqslant 170\), тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее, чем \(19\) (так как \(18\cdot 9 < 170\)), но тогда \[10\cdot A + B \geqslant 190 + 170 > 330.\]

Так как \(B < 170\), то \(10s < 170\), то есть \(s\leqslant 16\).

 

При \(s = 16\) получим \(A = 17\), \(B = 160\), но даже \(17\cdot 9 = 153 < B\), а количество чисел не может быть больше, чем \(17\ (= A)\), следовательно, \(s\leqslant 15\).

 

При \(s = 15\) получим \(A = 18\), \(B = 150\)

Аналогично примеру из пункта а) построим решение:

Попробуем брать в качестве \(b_i\) \(9\), пока их сумма не превосходит \(150\) – так можно положить \[b_1 = ... = b_{16} = 9,\quad b_{17} = 150 - 16\cdot 9 = 6\,,\] то есть в сумме \(17\) слагаемых. Тогда можно положить \[a_1 = ... = a_{16} = 1\quad a_{17} = 18 - 16\cdot 1 = 2,\] итого, искомая сумма \(16\times 19 + 26\), максимальная \(S = 99\cdot 15 + 33 = 1518\).

Ответ:

а) \(14\times 19 + 64\), где запись \(14\times 19\) означает сумму из \(14\) слагаемых, каждое из которых равно \(19\)

б) Нет

в) \(1518\)