Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

16. Задачи по планиметрии

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на подобие треугольников и пропорциональные отрезки

\(\blacktriangleright\) Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

 
Наиболее часто встречающиеся подобия треугольников:

 

\(\blacktriangleright\) Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник.

 

\(\blacktriangleright\) Треугольники, образованные диагоналями трапеции и основаниями, подобны.

 

\(\blacktriangleright\) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Отрезки, соединяющие основания высот треугольника, отсекают от него подобные ему треугольники.

 

\(\blacktriangleright\) Если к окружности из одной точки вне окружности проведены две секущие, то:

 

\(\blacktriangleright\) Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то:

 

\(\blacktriangleright\) Если в окружности две хорды пересекаются, то:

Задание 1 #2799
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В квадрате \(ABCD\) на стороне \(CD=\sqrt{13}\) взята точка \(K\) такая, что \(DK=\frac23DC\). Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \(AK\).

Добавить задание в избранное

Обозначим сторону квадрата за \(3x\), тогда \(DK=2x\), \(KC=x\). Необходимо найти \(BH\).



Заметим, что \(\triangle ADK\sim \triangle ABH\) по двум углам (\(\angle ADK=\angle AHB=90^\circ\), \(\angle AKD=\angle HAB\) как накрест лежащие). Следовательно, \[\dfrac{BH}{AD}=\dfrac{AB}{AK}.\] По теореме Пифагора \(AK=\sqrt{AD^2+DK^2}=\sqrt{13}x\), следовательно, \[BH=\dfrac{AD\cdot AB}{AK}=\dfrac{9x^2}{\sqrt{13}x}=\dfrac9{\sqrt{13}}x\] Так как \(AD=\sqrt{13}=3x\), то \(x=\frac{\sqrt{13}}3\), следовательно, \[BH=3.\]

Ответ: 3

Задание 2 #2798
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Хорда \(AB=15\), хорда \(AC=21\), а хорда \(BC=24\). Точка \(D\) – середина дуги \(CB\). На какие части делится хорда \(BC\) прямой \(AD\)?

 

(Источник: Сборник задач по геометрии, И.Ф.Шарыгин, Р.К.Гордин)

Добавить задание в избранное

Пусть \(E\) – точка пересечения \(AD\) и \(BC\).



Так как углы \(CAD\) и \(BAD\) опираются на равные дуги и оба являются вписанными, то они равны. Следовательно, \(AD\) – биссектриса \(\angle A\). Тогда в треугольнике \(ABC\) по свойству биссектрисы \[\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{15}{21}=\dfrac57\] Можно обозначить \(BE=5x\), \(EC=7x\). Тогда \(5x+7x=24\), откуда \(x=2\). Следовательно, \(BE=10\), \(EC=14\).

Ответ:

10 и 14

Задание 3 #2795
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В трапеции основания равны \(18\) и \(12\), а боковые стороны \(15\) и \(12\). Боковые стороны продолжили до взаимного пересечения. Найдите сумму длин отрезков, на которые продолжены боковые стороны.

Добавить задание в избранное

Пусть дана трапеция \(ABCD\), \(AD, BC\) – основания, \(O\) – точка пересечения продолжений боковых сторон. Обозначим \(OB=x, OC=y\).



Тогда \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) по двум углам: \(\angle O\) – общий, \(\angle OBC=\angle OAD\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AO\) секущей. Следовательно: \[\dfrac{x}{x+12}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{y}{y+15} \quad\Leftrightarrow\quad x=24; \quad y=30; \quad\Leftrightarrow\quad x+y=24+30=54.\]

Ответ: 54

Задание 4 #2800
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Окружность касается одного из катетов прямоугольного равнобедренного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен \(\sqrt2+1\).

 

(Источник: Сборник задач по геометрии, И.Ф.Шарыгин, Р.К.Гордин)

Добавить задание в избранное

В решении будем обозначать катет треугольника за \(a\). Пусть \(r\) – радиус окружности. Если \(K\) – точка касания окружности с катетом \(BC\), то \(OK\perp BC\). Рассмотрим рисунок:



Заметим, что по двум углам \(\triangle BOK\sim \triangle BAC\), следовательно, \[\dfrac{OK}{AC}=\dfrac{BK}{BC}\] Так как \(AC=BC\), то \(OK=BK=r\).
По теореме Пифагора \(AB=\sqrt2a\). Так как \(O\) лежит на \(AB\), то \(AO=r\), следовательно, \(OB=\sqrt2a-r\).
Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle BOK\): \[OB^2=OK^2+BK^2 \quad\Rightarrow\quad (\sqrt2a-r)^2=r^2+r^2 \quad\Leftrightarrow\quad r=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2+1}a=\sqrt2(\sqrt2-1)a.\] Так как \(a=\sqrt2+1\), то получаем \[r=\sqrt2(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=\sqrt2.\]

Ответ:

\(\sqrt2\)

Задание 5 #2797
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Дан равнобедренный треугольник, основание которого относится к боковой стороне как \(4:3\). Найдите отношение, в котором точка касания вписанной в треугольник окружности и боковой стороны делит эту боковую сторону.

Добавить задание в избранное

Центр вписанной в \(\triangle ABC\) окружности будет лежать на биссектрисе, проведенной к его основанию. Пусть \(AC\) – основание, \(BH\) – биссектриса, следовательно, высота и медиана. Пусть \(K\) – точка касания окружности и \(AB\). Необходимо найти, например, \(BK:KA\).


 

Если обозначить \(AC=4x\), \(AB=3x\), то \(AH=2x\). Заметим, что по двум углам \(\triangle BKO\sim \triangle ABH\) (\(\angle B\) – общий, а также оба прямоугольные). Следовательно, \[\dfrac{BK}{BH}=\dfrac{BO}{AB}=\dfrac{KO}{AH}\] Обозначим радиус окружности за \(r\), то есть \(KO=OH=r\). Также по теореме Пифагора \(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt5x\). Следовательно, \(BO=\sqrt5x-r\). Тогда \[\dfrac{r}{2x}=\dfrac{\sqrt5x-r}{3x} \quad\Leftrightarrow\quad r=\dfrac{2\sqrt5}5x.\] Следовательно, \[BK=\dfrac{KO\cdot BH}{AH}=\dfrac{r\cdot \sqrt5x}{2x}=x \quad\Rightarrow\quad KA=3x-x=2x.\] Следовательно, \[BK:KA=1:2.\]

Ответ:

\(1:2\)

Задание 6 #2796
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) на середине стороны \(AB\) отмечена точка \(M\). \(P\) – такая точка на продолжении стороны \(AC\), что \(AC=CP\). Найдите меньший из отрезков, на которые делит прямая \(MP\) сторону \(BC\), если \(BC=3\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(N\) – точка пересечения \(MP\) и \(BC\). Проведем \(MK\parallel BC\).



Тогда по теореме Фалеса точка \(K\) поделит \(AC\) в том же отношении, что точка \(M\) отрезок \(AB\). То есть \(AK=KC\). Следовательно, так как \(AC=CP\), то \(KC=\frac12CP\).
Заметим, что по двум углам \(\triangle NPC\sim \triangle MPK\) (\(\angle P\) – общий, \(\angle NCP=\angle MKP\) как соответственные). Следовательно, \[\dfrac{NC}{MK}=\dfrac{CP}{KP}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{NC}{MK}=\dfrac{2KC}{3KC}=\dfrac23 \quad\Leftrightarrow\quad NC=\dfrac23MK.\] Но \(MK\) – средняя линия в \(\triangle ABC\), следовательно, \(MK=\dfrac12BC\). Откуда \(NC=\dfrac23\cdot \dfrac12BC=\dfrac13 BC=1\). Очевидно, что \(NC<BN\), так как \(BN\) в таком случае равен \(\frac23BC=2\).

Ответ: 1

Задание 7 #2794
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В параллелограмме \(ABCD\) точка \(M\) – середина \(BC\), а точка \(K\) – середина \(AD\). Найдите отношение длин отрезков, на которые прямые \(AM\) и \(CK\) разделили диагональ \(BD\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку. Пусть \(O\) – точка пересечения \(AM\) и \(BD\), а \(Q\) – точка пересечения \(CK\) и \(BD\).


 

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то \(AK=KD=BM=MC\).
Заметим, что \(\triangle BOM \sim \triangle AOD\) по двум углам (\(\angle AOD=\angle BOM\) как вертикальные, \(\angle OAD=\angle OMB\) как накрест лежащие). Следовательно, \[\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{BM}{AD}=\dfrac12 \quad\Leftrightarrow\quad BO=\dfrac12OD.\] Заметим, что можно записать это так: \(BO=\dfrac13BD\).

 

Аналогично \(\triangle DQK\sim \triangle CQB\), следовательно, \[\dfrac{DQ}{QB}=\dfrac{KD}{BC}=\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad DQ=\dfrac12QB.\] Заметим, что можно записать это так: \(DQ=\dfrac13BD\).

 

Таким образом, \(DQ=BO=\dfrac13BD\), следовательно, \[OQ=BD-\dfrac13BD-\dfrac13BD=\dfrac13BD.\] Таким образом, \[BO:OQ:QD=1:1:1.\]

Ответ:

\(1:1:1\)