Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Тренировочные варианты "Школково". Уровень Максим Олегович

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень Максим Олегович. Тренировочный вариант №7

Задание 1

Один метр равен десяти дециметрам. Пусть \(m\) длина палки в метрах, а \(d\) – в дециметрах. Найдите \(\dfrac{m}{d}\).

\(m\cdot 1\)м \(= m\cdot 10\)дм \(= d\)дм, откуда \(10\cdot m = d\), то есть \(\dfrac{m}{d} = 0,1\).

Ответ: 0,1

Задание 2

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура в городе Москве с 13 по 27 марта. По горизонтали указывается день месяца, по вертикали – среднесуточная температура в соответствующий день, в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разницу между максимальной и минимальной среднесуточными температурами в указанный период.



По рисунку видно, что в указанный период максимальная температура составляла 9 градусов Цельсия, а минимальная 1 градус Цельсия. Разница: \(9 - 1 = 8\) градусов Цельсия.

Ответ: 8

Задание 3

Прямая \(AB\) касается окружности в точке \(A\). На окружности отмечена точка \(C\) так, что \(CB\perp AB\) и \(CB=AB\). Найдите центральный угол, опирающийся на меньшую дугу \(AC\). Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим картинку:


 

Треугольник \(ABC\) – равнобедренный и прямоугольный, следовательно, \(\angle BAC=45^\circ\). Т.к. угол между касательной \(AB\) и хордой \(AC\) равен половине дуги \(\buildrel\smile\over{AC}\), заключенной между ними, то \(\buildrel\smile\over{AC}=90^\circ\). Тогда центральный угол \(\angle AOC=\buildrel\smile\over{AC}=90^\circ\).

Ответ: 90

Задание 4

Известно, что в множестве \(M\) ровно 100 натуральных чисел, из которых 10 делятся на 2, 15 делятся на 3, 1 делится на 6. Какова вероятность наугад выбрать число из \(M\), которое делится хотя бы на одно из чисел 2 и 3?

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac{10}{100} + \dfrac{15}{100} - \dfrac{1}{100} = 0,24.\]

Ответ: 0,24

Задание 5

Найдите положительный корень уравнения \((x^2+1)^2-6x^2-1=0\).

Сделаем замену: \(x^2+1=t\). Тогда \(x^2=t-1\) и уравнение примет вид: \[t^2-6(t-1)-1=0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-6t+5=0\] По теореме Виета корнями являются числа \(t=5\) и \(t=1\), следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2+1=1\\&x^2+1=5 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2=0\\&x^2-4=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\&(x-2)(x+2)=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\&x=2\\&x=-2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Следовательно, положительный корень – это \(x=2\).

Ответ: 2

Задание 6

Дан треугольник \(ABC\). На сторонах \(AB\) и \(BC\) отмечены точки \(A'\) и \(C'\) соответственно. Известно, что \(BC'=0,5BC=4\), \(AB=14\), \(S_{ABC}=7S_{A'BC'}\). Найдите \(A'B\).


 

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_{ABC}=0,5\cdot 14 \cdot 8\cdot \sin\angle B\).

 

Площадь треугольника \(A'BC'\) равна \(S_{A'BC'}=0,5\cdot A'B\cdot 4\cdot \sin\angle B\).

 

Таким образом, имеем равенство:

\[0,5\cdot 14 \cdot 8\cdot \sin\angle B=7\cdot 0,5\cdot A'B\cdot 4\cdot \sin\angle B \quad \Leftrightarrow \quad A'B=4.\]

Ответ: 4

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-2,4; 8,7)\). Найдите сумму точек экстремума этой функции на отрезке \([1;6]\).

 

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

 

По рисунку можно определить, что функция \(f(x)\) достигает локально минимальные значения в точках \(-1\), \(2\) и \(5\), а локально максимальные значения в точках \(0\), \(4\) и \(8\). Из них отрезку \([1;6]\) принадлежат точки \(2; 4\) и \(5\). Таким образом, сумма точек экстремума этой функции на отрезке \([1;6]\) равна \(2 + 4+5 = 11\).

Ответ: 11

Задание 8

Дана пирамида \(SABCD\), в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями \(AD\) и \(BC\), причем \(AB=BC=CD=4\), а высота \(SO=2\sqrt3\) падает в точку пересечения диагоналей основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания перпендикулярно основанию, если известно, что угол при большем основании \(AD\) равен \(60^\circ\).


 

Так как трапеция равнобедренная, то диагонали равны. Плоскость будет перпендикулярна плоскости основания, если будет проходить через прямую, перпендикулярную основанию. Так как \(SO\) – высота пирамиды, то \(SO\perp (ABC)\), следовательно, плоскость, проходящая через \(AC\) и \(SO\), является искомой.
Сечением пирамиды этой плоскостью является треугольник \(ASC\), в котором \(SO\) является высотой.
Так как угол при большем основании трапеции равен \(60^\circ\), то \(\angle ABC=120^\circ\). Тогда по теореме косинусов \[AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos120^\circ=48 \quad\Rightarrow \quad AC=4\sqrt3.\] Следовательно, \[S_{ASC}=\dfrac12\cdot AC\cdot SO=\dfrac12\cdot 4\sqrt3\cdot 2\sqrt3=12.\]

Ответ: 12

Задание 9

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{a - \sqrt{ab}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\) при \(a = 0,64\), \(b = 2,25\).

\[\frac{a - \sqrt{ab}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \sqrt{a} = \sqrt{0,64} = 0,8\]

Ответ: 0,8

Задание 10

Объем спроса \(Q\) единиц в месяц на продукцию предприятия \(M\) зависит от цены \(P\) в тыс. руб. по формуле \(Q(P) = 55 - P\). Месячная выручка \(R\) в тыс. руб. предприятия \(M\) вычисляется по формуле \(R = P\cdot Q\). Определите наибольшую цену \(P\), при которой месячная выручка \(R\) окажется не менее \(250\) тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.

\[R = P\cdot Q = 55P - P^2.\] Месячная выручка составит не менее \(250\) тыс. руб. при цене \(P\), которая может быть найдена из неравенства \[55P - P^2 \geq 250\qquad\Leftrightarrow\qquad P^2 - 55P + 250 \leq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(P^2 - 55P + 250 = 0\): \[P_1 = 5,\qquad\qquad P_2 = 50,\] тогда:



то есть наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее \(250\) тыс. руб., равна 50 тыс. руб.

Ответ: 50

Задание 11

В понедельник \(10\) числа крутого календаря батон подорожал на \(10\%\). Во вторник батон подешевел на \(10\%\) по сравнению с понедельником. В среду батон снова подорожал на \(10\%\) по сравнению со вторником. В четверг батон снова подешевел на \(10\%\) по сравнению со средой. И так далее. Сегодня выяснилось, что батон дороже, чем он был \(10\) числа (в понедельник) в \(1,0673289\) раз. Какое сегодня число согласно крутому календарю, если в нём по \(30\) дней в каждом месяце?

Пусть \(9\) числа батон стоил \(x\) рублей, тогда в понедельник он стоил \(1,1x\) рублей, во вторник он стоил \(1,1x\cdot 0,9 = 0,99x\) рублей, то есть за два дня после \(9\) числа батон подешевел. Аналогично, за четыре дня после \(9\) числа батон подешевел и т.д.

Таким образом, чтобы батон подорожал, после \(9\) числа могло пройти только нечётное количество дней. При этом за любые два дня, первый из которых – чётное число, стоимость батона умножалась на \(0,99\), тогда \[0,99^n\cdot 1,1\cdot x = 1,0673289 x\,,\] откуда находим, что \(n = 3\), то есть прошло \(3\) пары дней и ещё один, тогда сегодня \(16\) число крутого календаря.

Ответ: 16

Задание 12

Найдите точку максимума функции \(y = x\cdot\dfrac{x + 2}{e^x} + \dfrac{1}{e^x}\) на промежутке \([0; 2]\).

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1)

\[\begin{aligned} y' = &\dfrac{x + 2}{e^x} + x\cdot\dfrac{e^x - e^x(x + 2)}{e^{2x}} - \dfrac{1}{e^x} = \dfrac{x + 2}{e^x} + x\cdot\dfrac{1 - (x + 2)}{e^{x}} - \dfrac{1}{e^x} = \dfrac{1 -x^2}{e^x} \end{aligned}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{1 -x^2}{e^x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -1\\ x = 1 \end{gathered} \right.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \([0; 2]\):


 

4) Эскиз графика на промежутке \([0; 2]\):


 

Таким образом, \(x = 1\) – точка максимума функции \(y\) на \([0; 2]\).

Ответ: 1

Задание 13

а) Решите уравнение \[\sin^4x-\cos^4x=\dfrac12\]

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}4; \dfrac{11\pi}4\right)\).

а) Применим формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) для левой части:

 

\((\sin^2x+\cos^2x)(\sin^2x-\cos^2x)=\dfrac12 \quad \Rightarrow \quad \sin^2x-\cos^2x=\dfrac12 \quad \Rightarrow \quad -\cos2x=\dfrac12 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad \cos2x=-\dfrac12 \quad \Rightarrow \quad 2x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=\pm\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни:

\[-\dfrac{\pi}4<\dfrac{\pi}3+\pi n_1<\dfrac{11\pi}4 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac7{12}<n_1<\dfrac{29}{12}\]
Среди целых чисел подходят \(n_1=0;1;2\), при которых получаются корни \(x=\dfrac{\pi}3; \ \dfrac{4\pi}3; \ \dfrac{7\pi}3\).

 

\[-\dfrac{\pi}4<-\dfrac{\pi}3+\pi n_2<\dfrac{11\pi}4 \quad \Rightarrow \quad \dfrac1{12}<n_2<\dfrac{37}{12}\]
Среди целых чисел подходят \(n_2=1;2;3\), при которых получаются корни \(x=\dfrac{2\pi}3; \ \dfrac{5\pi}3; \ \dfrac{8\pi}3\).

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}3; \dfrac{2\pi}3; \dfrac{4\pi}3; \dfrac{5\pi}3; \dfrac{7\pi}3; \dfrac{8\pi}3\)

Задание 14

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) все ребра равны \(5\). На его ребре \(BB_1\) отмечена точка \(K\) так, что \(KB=3\). Через точки \(K\) и \(C_1\) проведена плоскость \(\alpha\), параллельная прямой \(BD_1\).

 

а) Докажите, что \(A_1P:PB_1=1:2\), где \(P\) – точка пересечения плоскости \(\alpha\) с ребром \(A_1B_1\).

б) Найдите угол наклона плоскости \(\alpha\) к плоскости грани \(BB_1C_1C\).

а) Прямая параллельна плоскости, если плоскость содержит прямую, параллельную данной. Поэтому проведем в плоскости \(BB_1D_1\), содержащей \(BD_1\), прямую \(KN\parallel BD_1\). Пусть \(N\) – точка пересечения с отрезком \(B_1D_1\).


 

Соединив точки \(C_1\) и \(N\), получим прямую, пересекающую \(A_1B_1\) в точке \(P\).

 

Т.к. \(KN\parallel BD_1\), то по теореме Фалеса

\[\dfrac{B_1N}{ND_1}=\dfrac{B_1K}{KB}=\dfrac23.\]

Теперь рассмотрим грань \(A_1B_1C_1D_1\). \(\triangle NB_1P\sim \triangle ND_1C_1\), следовательно,

\[\dfrac{PB_1}{C_1D_1}=\dfrac{B_1N}{ND_1}=\dfrac23 \quad \Rightarrow \quad PB_1=\dfrac23C_1D_1=\dfrac23A_1B_1.\]

Следовательно, \(A_1P=\frac13A_1B_1\) и \(A_1P:PB_1=1:2\).

 

б) Для того, чтобы найти угол между двумя плоскостями, необходимо построить линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Т.к. \(KC_1\) – линия пересечения этих плоскостей, то опустим перпендикуляр \(PH\) на \(KC_1\). По теореме о трех перпендикулярах (\(PB_1\perp (BB_1C_1)\), наклонная \(PH\perp KC_1\)) проекция \(B_1H\perp KC_1\). Следовательно, по определению \(\angle PHB_1\) – линейный угол двугранного угла, образованного данными плоскостями. Его и нужно найти.

 

Заметим, что \(\triangle PHB_1\) прямоугольный, \(PB_1\) известно, следовательно, найдя \(B_1H\), мы сможем найти тангенс нужного нам угла.

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(B_1KC_1\), в котором \(B_1H\) – высота. По теореме Пифагора \(KC_1=\sqrt{KB_1^2+B_1C_1^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\). Следовательно,

\[S_{B_1KC_1}=\dfrac12KB_1\cdot B_1C_1=\dfrac12B_1H\cdot KC_1 \quad \Rightarrow \quad B_1H=\dfrac{10}{\sqrt{29}}\]

Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle PHB_1=\dfrac{PB_1}{B_1H}= \dfrac{\frac{10}3}{\frac{10}{\sqrt{29}}}=\dfrac{\sqrt{29}}3 \quad \Rightarrow \quad \angle PHB_1=\mathrm{arctg}\,\dfrac{\sqrt{29}}3.\]

Ответ:

б) \(\mathrm{arctg}\,\dfrac{\sqrt{29}}3\)

Задание 15

Решите неравенство \[\dfrac 1{2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}}\leqslant 1\]

Найдем ОДЗ:

\[\begin{aligned}&\begin{cases} 1-x^2>0\\ 1-x^2\ne 1\\ 4x^2-4x+1>0\\ 2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\ne 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ (2x-1)^2>0\\ (2x-1)^2\ne (1-x^2)^2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &\begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ x\ne 0,5\\ 2x-1\ne \pm(1-x^2)\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ x\ne 0,5\\ x\ne -1\pm\sqrt3; 0; 2\end{cases}\end{aligned}\]

 

Таким образом, ОДЗ данного неравенства: \(x\in (-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup(\sqrt3-1;1)\).

 

Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену \(t=2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\). Тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac 1t\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1-t}t\leqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad t\in (-\infty;0)\cup[1;+\infty).\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\geqslant 1\\ &2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}<0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_{1-x^2}{\dfrac{4x^2-4x+1}{1-x^2}}\leqslant 0\\[2ex] &\log_{1-x^2}{\dfrac{4x^2-4x+1}{(1-x^2)^2}}>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Преобразуем каждое из полученных неравенств по методу рационализации:

\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(1-x^2-1)\left(\dfrac{4x^2-4x+1}{1-x^2}-1\right)\leqslant 0\\[2ex] &(1-x^2-1)\left(\dfrac{4x^2-4x+1}{(1-x^2)^2}-1\right)>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac{x^3(5x-4)}{(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\[2ex] &\dfrac{x^3(x-2)(x^2+2x-2)}{(x-1)^2(x+1)^2}>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Решая каждое неравенство методом интервалов и объединяя решения, мы получим:

\[x\in (-\infty;-\sqrt3-1)\cup(-1;\sqrt3-1)\cup[0,8;1)\cup(2;+\infty).\]

Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательный ответ:

\[x\in (-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup[0,8;1).\]

Ответ:

\((-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup[0,8;1)\)

Задание 16

Две хорды окружности \(AC\) и \(BD\) взаимно перпендикулярны.

 

а) Найдите отрезок, соединяющий середины хорд \(AC\) и \(BD\), если отрезок, соединяющий точку их пересечения с центром окружности, равен \(3\).

 

б) При условиях пункта а) найдите \(AD\), если \(AD>BC\), \(AC=BD\) и отрезок, соединяющий середины хорд \(AB\) и \(CD\), равен \(5\).

а) Пусть \(O\) – центр окружности, \(Q\) – точка пересечения хорд \(AC\) и \(BD\). Пусть также \(M\) и \(N\) – середины этих хорд. Тогда \(OM\) и \(ON\) – перпендикуляры к этим хордам.


 

Действительно, \(\triangle AOC\) – равнобедренный (\(OA=OC\) – радиусы), поэтому медиана \(OM\) в нем является и высотой. Аналогично доказывается, что \(ON\perp BD\).

 

Таким образом, в четырехугольнике \(OMQN\) три угла – прямые (\(\angle M=\angle Q=\angle N=90^\circ\)), следовательно, этот четырехугольник по признаку является прямоугольником. Т.к. в прямоугольнике диагонали равны, то \(MN=OQ=3\).

б) Докажем, что \(ABCD\) – равнобедренная трапеция.
Т.к. \(AC=BD\), то \(\angle ADC=\angle BAD=\alpha\) как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды. \(\angle BAC=\angle BDC=\beta\) как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду \(BC\). Таким образом, \(\angle CAD=\angle BDA=\alpha-\beta\). Следовательно, равны и хорды \(AB\) и \(CD\).
Также можно сказать, что \(\angle CAD=\angle BCA\) как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды. Следовательно, это накрест лежащие углы при \(AD\) и \(BC\) и \(AC\) – секущей. Значит, по признаку прямые \(AD\parallel BC\). Таким образом, \(ABCD\) – трапеция. А т.к. \(AB=CD\), то она равнобедренная.


 

Пусть \(E\) и \(T\) – середины хорд \(AB\) и \(CD\) соответственно, то есть \(ET=5\). Тогда \(ET\) – средняя линия трапеции, следовательно, \(ET\parallel AD\parallel BC\). Тогда по теореме Фалеса прямая \(ET\) пересечет отрезки \(AC\) и \(BD\) также в серединах, следовательно, \(MN\subset ET\).

 

Обозначим \(AD=x, BC=y\). Тогда \(ET=\frac12\left(x+y\right)\). \(EM\) – средняя линия в \(\triangle BAC\), следовательно, \(EM=\frac12y\). Аналогично \(NT=\frac12y\) как средняя линия в \(\triangle BDC\). Тогда \(MN=ET-EM-NT=\frac12\left(x-y\right)\). Таким образом, имеем систему из двух уравнений:

\[\begin{cases} \frac12\left(x+y\right)=5\\ \frac12\left(x-y\right)=3 \end{cases}\]

Откуда находим, что \(x=AD=8\).

Ответ:

а) 3

б) 8

Задание 17

Банк предоставляет следующие условия по оформлению вкладов:
– два раза в год банк начисляет на вклад некоторый процент;
– в первый год банк начисляет целое кратное десяти число \(y\) процентов;
– в каждый следующий год процент становится в два раза больше процента в предыдущем году.

Найдите \(y\), если известно, что спустя 3 года сумма на счете превысила первоначальную на \(241,5104\%\).

Пусть для определенности банк начисляет проценты в январе и июле. Пусть было положено \(A\) рублей в банк. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Сумма в январе} &\text{Сумма в июле}\\ \hline 1& (1+0,01y)A & (1+0,01y)^2A \\ \hline 2& (1+0,01\cdot 2y)(1+0,01y)^2A & (1+0,01\cdot 2y)^2(1+0,01y)^2A \\ \hline 3& (1+0,01\cdot 4y)(1+0,01\cdot 2y)^2(1+0,01y)^2A & (1+0,01\cdot 4y)^2(1+0,01\cdot 2y)^2(1+0,01y)^2A \\ \hline \end{array}\]

Таким образом, спустя 3 года на счете было \[(1+0,01\cdot 4y)^2(1+0,01\cdot 2y)^2(1+0,01y)^2A \quad {\small{\text{рублей}}}\]

По условию эта сумма превышает первоначальную, то есть \(A\), на \(241,5104\%\). Следовательно, эта сумма составляет \(341,5104\%\) от \(A\). Значит, \[(1+0,01\cdot 4y)^2(1+0,01\cdot 2y)^2(1+0,01y)^2A=3,415104A\] Обозначим \(0,01y=x\) и получим следующее уравнение: \[\Big((1+4x)(1+2x)(1+x)\Big)^2=3,415104\]

Разложим на множители число \(3\,415\,104=2^6\cdot 3^2\cdot 11^2\cdot 7^2\). Следовательно, \(3\,415\,104=(2^3\cdot 3\cdot 11\cdot 7)^2\). Следовательно, \(3,415104=1,848\). Следовательно, уравнение можно переписать в виде: \[(1+4x)(1+2x)(1+x)=1,848\]

Так как \(y\) кратно десяти, то \(y=10; \ 20; \ 30\) и т.д. Следовательно, \(x=\frac1{10}; \ \frac1{5}; \ \frac3{10}\) и т.д. Подставляя по очереди эти числа, видим, что первое значение \(x=\frac1{10}=0,1\) подходит: \[(1+0,4)(1+0,2)(1+0,1)=1,848 \quad\Leftrightarrow\quad 1,848=1,848\] Следовательно, \(y=10\).

Ответ: 10

Задание 18

При каких значениях параметра \(a\) уравнение

\[\cos x+\dfrac32 \cos \dfrac{2x}3+3\cos \dfrac x3=a\]

имеет решения.

1) Рассмотрим функцию \(f(x)=\cos x+\frac32 \cos \frac{2x}3+3\cos \frac x3\).
Главный период у \(\cos x\) – это \(2\pi\),   у \(\cos \frac{2x}3\) — это \(\dfrac{2\pi}{\frac23}=3\pi\),   у \(\cos\frac x3\) – это \(\dfrac{2\pi}{\frac13}=6\pi\).   Тогда главный период всей функции \(f(x)\) – это НОК этих периодов, то есть \(6\pi\).

 

2) Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы на любом отрезке длиной \(6\pi\) выполнялось: \(\mathrm{min}\,f(x)\leqslant a\leqslant \mathrm{max}\,f(x)\). Возьмем, например, отрезок \([0;6\pi]\).

 

3) Найдем критические точки функции и построим ее схематичный график для того, чтобы понять, чему равно \(\mathrm{min}\,f(x)\) и \(\mathrm{max}\,f(x)\).

 

\(f'(x)=\sin x+\sin \dfrac{2x}3+\sin \dfrac x3=0\quad \Rightarrow \quad \left(\sin x+\sin \dfrac{x}3\right)+\sin \dfrac{2x}3=0 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad 2\sin \dfrac{2x}3\cos \dfrac x3+\sin \dfrac{2x}3=0 \quad \Rightarrow \quad \sin \dfrac{2x}3\left(2\cos \dfrac x3+1\right)=0\quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{2x}3=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[3pt] & \dfrac x3=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac32\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[3pt] &x=\pm 2\pi+6\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\)  

Промежутку \([0;6\pi]\) принадлежат точки \(0;\ \frac{3\pi}2;\ 2\pi;\ 3\pi;\ 4\pi; \ \frac{9\pi}2;\ 6\pi\). Значит, знаки производной такие:


 

Значит, минимальное значение на \([0;6\pi]\) функция принимает в одной из точек \(\frac{3\pi}2;\ 3\pi;\ \frac{9\pi}2\), а максимальное — в одной из \(0;\ 2\pi;\ 4\pi; \ 6\pi\).

 

\(\begin{aligned} &f(0)=f(6\pi)=\dfrac{11}2\\[4pt] &f\left(\dfrac{3\pi}2\right)=f\left(\dfrac{9\pi}2\right)=-\dfrac32\\[4pt] &f(2\pi)=f(4\pi)=-\dfrac54\\[4pt] &f(3\pi)=-\dfrac52 \end{aligned}\)

 

Тогда на \([0;6\pi]\) схематично функция выглядит так:


 

То есть \(\mathrm{min}\,f(x)=-\dfrac52, \ \mathrm{max}\,f(x)=\dfrac{11}2\). Значит, \(a\in\left[-\dfrac52;\dfrac{11}2\right]\).

Ответ:

\(a\in \left[-\dfrac52;\dfrac{11}2\right]\)

Задание 19

Известно, что многочлен \(P(x)\) имеет вид: \(P(x) = ax^2 + bx + c\).

а) Доктор Ватсон узнал числа \(P(0)\), \(P(1)\), \(P(-1)\). Может ли он однозначно восстановить \(P(x)\)?

б) Джим Мориарти знает числа \(P(0)\), \(P(1)\), \(P(2)\). Он собирается восстановить \(P(x)\). Какой ответ он должен получить?

в) Шерлок Холмс утверждает, что если и можно восстановить \(P(x)\), зная только числа \(P(n - 1)\), \(P(n)\), \(P(n + 1)\) для какого-то целого \(n\), то он находится однозначно. Прав ли он?

Для того, чтобы найти \(P(x)\), необходимо и достаточно найти числа \(a\), \(b\), \(c\). Попробуем найти их.

а)

\[\begin{aligned} \begin{cases} &P(0) = c\\ &P(1) = a + b + c\\ &P(-1) = a - b + c \end{cases} \end{aligned}\]

Тогда \[\dfrac{P(1) + P(-1)}{2} = a + c = a + P(0)\qquad\Rightarrow\qquad a = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} - P(0)\,,\] откуда \[P(1) = a + b + c = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} + b\qquad\Rightarrow\qquad b = \dfrac{P(1) - P(-1)}{2}\]

Подставляя полученные \(a\), \(b\) и \(c\) в исходную систему, убеждаемся, что они действительно подходят.

б)

\[\begin{aligned} \begin{cases} &P(0) = c\\ &P(1) = a + b + c\\ &P(2) = 4a + 2b + c \end{cases} \end{aligned}\]

Тогда \[P(2) - 2P(1) = 2a - c = 2a - P(0)\qquad\Rightarrow\qquad a = 0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2)\,,\] таким образом, \[b = P(1) - a - c = P(1) - (0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2)) - P(0) = -1,5P(0) + 2P(1) - 0,5P(2)\]

Подставляя полученные \(a\), \(b\) и \(c\) в исходную систему, убеждаемся, что они действительно подходят, следовательно, \[P(x) = (0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2))x^2 + (-1,5P(0) + 2P(1) - 0,5P(2))x + P(0)\,.\]

в) Покажем, что Шерлок Холмс прав:

\[\begin{aligned} \begin{cases} &P(n - 1) = a(n - 1)^2 + b(n - 1) + c\\ &P(n) = an^2 + bn + c\\ &P(n + 1) = a(n + 1)^2 + b(n + 1) + c\,, \end{cases} \end{aligned}\]

тогда

\[\begin{aligned} \dfrac{P(n - 1) + P(n + 1)}{2} = a\cdot\dfrac{(n - 1)^2 + (n + 1)^2}{2} + bn + c = a(n^2 + 1) + bn + c = P(n) + a\,, \end{aligned}\]

тогда

\[\begin{aligned} a = \dfrac{P(n - 1) + P(n + 1)}{2} - P(n)\,. \end{aligned}\]

Рассмотрим разность \(P(n + 1) - P(n)\):

\[\begin{aligned} P(n + 1) - P(n) = a(2n + 1) + b\qquad\Rightarrow\qquad b = P(n + 1) - P(n) - a(2n + 1)\,, \end{aligned}\]

но число \(a\) нам уже известно, тогда отсюда находим \(b\). Кроме того, имеем: \[P(n) = an^2 + bn + c\qquad\Rightarrow\qquad c = P(n) - an^2 - bn\,,\] но \(a\) и \(b\) нам известны, следовательно, находим \(c\).

Таким образом, искомые числа \(a\), \(b\) и \(c\), если они существуют, находятся однозначно.

Ответ:

а) Да

б) \((0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2))x^2 + (-1,5P(0) + 2P(1) - 0,5P(2))x + P(0)\)

в) Да