Решите уравнение \[\sqrt3\sin x+\cos x=1\]
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.
Разделим левую и правую части уравнения на \(\sqrt{\sqrt3^{\,2}+1^2}=2\): \[\dfrac{\sqrt3}2\sin x+\dfrac12 \cos x=\dfrac 12\]
Заметим, что можно принять \(\dfrac{\sqrt3}2=\cos \dfrac{\pi}6\), а \(\dfrac 12=\sin \dfrac{\pi}6\). Тогда уравнение примет вид: \[\sin x\cos \dfrac{\pi}6+\cos x\sin \dfrac{\pi}6=\dfrac 12\]
По формуле \(\sin \alpha\cos \beta +\sin\beta \cos \alpha=\sin (\alpha+\beta)\) имеем: \[\sin \left(x+\dfrac{\pi}6\right)=\dfrac12 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x+\dfrac{\pi}6=\dfrac{\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &x+\dfrac{\pi}6=\dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]
Ответ:
\(2\pi k, \dfrac{2\pi}3+2\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\)