Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение тригонометрических неоднородных линейных уравнений

\(\blacktriangleright\) Неоднородное линейное уравнение (или первой степени): \[\large{a\sin x+b\cos x=c, \ \ \ a,b,c\ne 0}\]Один из способов его решения был показан в предыдущей подтеме. Но иногда бывает полезен другой способ – способ преобразования выражения \(a\sin x+b\cos x\).

\(\blacktriangleright\) Формула вспомогательного аргумента: \[\begin{array}{|c|} \hline \text{Общий случай}\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin{(\alpha\pm \phi)}, \ \ \cos\phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\phi=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \hline \text{Частный случай}\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}4\right)}\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}6\right)}\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}3\right)}\\\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, по данной формуле уравнение сводится к уравнению \[\large{\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin{(x+ \phi)}=c \Longleftrightarrow \sin {(x+\phi)}=\dfrac c{\sqrt{a^2+b^2}}}\] Учитывая область допустимых значений синуса, данное уравнение будет иметь корни только в том случае, если
\[-1\leq \dfrac c{\sqrt{a^2+b^2}}\leq 1\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите уравнение \[\sqrt3\sin x+\cos x=1\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим левую и правую части уравнения на \(\sqrt{\sqrt3^{\,2}+1^2}=2\): \[\dfrac{\sqrt3}2\sin x+\dfrac12 \cos x=\dfrac 12\]

Заметим, что можно принять \(\dfrac{\sqrt3}2=\cos \dfrac{\pi}6\), а \(\dfrac 12=\sin \dfrac{\pi}6\). Тогда уравнение примет вид: \[\sin x\cos \dfrac{\pi}6+\cos x\sin \dfrac{\pi}6=\dfrac 12\]

По формуле \(\sin \alpha\cos \beta +\sin\beta \cos \alpha=\sin (\alpha+\beta)\) имеем: \[\sin \left(x+\dfrac{\pi}6\right)=\dfrac12 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x+\dfrac{\pi}6=\dfrac{\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &x+\dfrac{\pi}6=\dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Ответ:

\(2\pi k, \dfrac{2\pi}3+2\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\)

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите уравнение \[\cos x=\sqrt3 \sin x-1\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Перепишем уравнение в виде: \[\cos x-\sqrt3 \sin x=-1\]

Разделим левую и правую части уравнения на \(\sqrt{\sqrt3^{\,2}+1^2}=2\): \[\dfrac12 \cos x-\dfrac{\sqrt3}2\sin x=-\dfrac 12\]

Заметим, что можно принять \(\dfrac{\sqrt3}2=\sin \dfrac{\pi}3\), а \(\dfrac 12=\cos \dfrac{\pi}3\). Тогда уравнение примет вид: \[\cos x\cos \dfrac{\pi}3-\sin x\sin \dfrac{\pi}3=-\dfrac12\]

По формуле \(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)\) имеем:

\[\cos \left(x+\dfrac{\pi}3\right)=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=\dfrac{2\pi}3-\dfrac{\pi}3+2\pi n, \ x_2=-\dfrac{2\pi}3-\dfrac{\pi}3+2\pi k \Rightarrow\] \[x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n, \ x_2=-\pi+2\pi k, \ k,n\in\mathbb{Z}\]

Ответ:

\(\dfrac{\pi}3+2\pi n, -\pi+2\pi k, \ k,n\in\mathbb{Z}\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите уравнение \[\sin x+\cos x=1\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\): \[\dfrac1{\sqrt2}\sin x+\dfrac1{\sqrt2}\cos x=\dfrac1{\sqrt2} \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt2}2\sin x+\dfrac{\sqrt2}2\cos x=\dfrac{\sqrt2}2\]

Заметим, что можно принять \(\dfrac{\sqrt2}2=\sin \dfrac{\pi}4=\cos \dfrac{\pi}4\): \[\sin x\cos \dfrac{\pi}4+\sin \dfrac{\pi}4\cos x=\dfrac{\sqrt2}2\]

Тогда по формуле \(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha=\sin(\alpha+\beta)\) имеем:

\[\sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt2}2 \Rightarrow x_1=2\pi k, \ x_2=\dfrac{\pi}2+2\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\]

Ответ:

\(2\pi k, \ \dfrac{\pi}2+2\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\)

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin x-\cos x=1\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi;\pi\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим правую и левую части равенства на \(\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\):

\[\dfrac{\sqrt2}2\sin x-\dfrac{\sqrt2}2\cos x=\dfrac{\sqrt2}2 \Rightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi}4-\cos x\sin \dfrac{\pi}4=\dfrac{\sqrt2}2 \Rightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt2}2 \Rightarrow\]

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}2+2\pi m,m\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\pi+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни

1) \(-\pi\leqslant x_1\leqslant \pi \Rightarrow -\dfrac34\leqslant m\leqslant \dfrac14 \Rightarrow m=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}2\)

 

2) \(-\pi\leqslant x_2\leqslant \pi\Rightarrow -1\leqslant n\leqslant 0 \Rightarrow n=-1;0 \Rightarrow x=-\pi;\pi\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+2\pi m, \pi+2\pi n, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\pi;\dfrac{\pi}2;\pi\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sqrt3\cos x-\sin x=2\]

б) Найдите все его корни из промежутка \(\left[-\pi;3,5\pi\right]\).

Добавить задание в избранное

а) Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2\):

 

\(\dfrac{\sqrt3}2\cos x-\dfrac12\sin x=1 \quad \Rightarrow \quad \cos \dfrac{\pi}6\cos x-\sin\dfrac{\pi}6\sin x=1 \quad \Rightarrow\)

 

по формуле косинуса суммы \(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)\)

 

\(\Rightarrow \quad \cos\left(\dfrac{\pi}6+x\right)=1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\pi}6+x=2\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=-\dfrac{\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни.

\[-\pi\leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac5{12}\leqslant n\leqslant \dfrac{11}6\]

Таким образом, целые \(n\), подходящие под это неравенство, это \(n=0;1\). При этих значениях \(n\) получаем корни \(x=-\dfrac{\pi}6; \ \dfrac{11\pi}6\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}6; \ \dfrac{11\pi}6\)

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \(\sin 4x-\cos4x=\sqrt2\).

 

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{7\pi}2; -2\pi\right)\).

Добавить задание в избранное

а) Разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt2\) (заметим, что \(\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\)):

\(\dfrac{\sqrt2}2\cdot \sin4x-\dfrac{\sqrt2}2\cdot \cos4x=1 \quad \Rightarrow \quad \sin4x\cdot \cos\dfrac{\pi}4-\cos4x\cdot \sin\dfrac{\pi}4=1 \quad \Rightarrow \quad \sin\left(4x-\dfrac{\pi}4\right)=1\)

\(\Rightarrow \quad 4x-\dfrac{\pi}4=\dfrac{\pi}2+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\quad \Rightarrow \quad 4x=\dfrac{3\pi}4+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{3\pi}{16}+\dfrac{\pi}2m, m\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни.

\[-\dfrac{7\pi}2<\dfrac{3\pi}{16}+\dfrac{\pi}2m<-2\pi \quad \Rightarrow \quad -7\frac38<m<-4\frac38\]

Таким образом, целые \(m\), удовлетворяющие полученному неравенству, это \(m=-7;-6;-5\). При этих значениях \(m\) получаем корни \(x=-\dfrac{53\pi}{16}; \ -\dfrac{45\pi}{16}; \ -\dfrac{37\pi}{16}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{3\pi}{16}+\dfrac{\pi}2m, m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{53\pi}{16}; \ -\dfrac{45\pi}{16}; \ -\dfrac{37\pi}{16}\)

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos 2x-\sin 2x=0,5\sqrt6\]

б) Найдите все его корни из промежутка \(\left[ -\dfrac{\pi}2;\pi\right]\).

Добавить задание в избранное

а) Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\):

 

\(\dfrac1{\sqrt2}\cos 2x-\dfrac1{\sqrt2}\sin 2x=\dfrac{\sqrt6}{2\sqrt2} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\sqrt2}2\cos 2x-\dfrac{\sqrt2}2\sin 2x=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow\)

 

по формуле косинуса суммы \(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)\)

 

\(\Rightarrow \quad \cos\dfrac{\pi}4\cos 2x-\sin\dfrac{\pi}4\sin 2x=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow \quad \cos\left(\dfrac{\pi}4+2x\right)=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{\pi}4+2x=\dfrac{\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &\dfrac{\pi}4+2x=-\dfrac{\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac{\pi}{24}+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x=-\dfrac{5\pi}{24}+\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\)

 

б) Отберем корни.

 

1) \[-\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}{24}+\pi n\leqslant \pi \quad \Rightarrow \quad -\dfrac{11}{24}\leqslant n\leqslant 1\frac1{24}\]

Таким образом, среди целых \(n\) подходят только \(n=0;1\). При этих значениях \(n\) получаем корни \(x=-\dfrac{\pi}{24}; \ \dfrac{23\pi}{24}\).

 

2) \[-\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}{24}+\pi m\leqslant \pi \quad \Rightarrow \quad -\dfrac7{24}\leqslant m \leqslant 1\frac5{24}\]

Таким образом, среди целых \(m\) подходят только \(m=0;1\). При этих значениях \(m\) получаем корни \(x=-\dfrac{5\pi}{24}; \ \dfrac{19\pi}{24}\).

 

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}{24}+\pi n; -\dfrac{5\pi}{24}+\pi m, n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{5\pi}{24}; \ -\dfrac{\pi}{24}; \ \dfrac{19\pi}{24}; \ \dfrac{23\pi}{24}\)