Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.

 

Стандартное логарифмическое уравнение:

\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]

где \(a>0, a\ne 1\).

 

Некоторые важные формулы:

 

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]

Задание 1 #2955
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_4(10+2x)=3\).

ОДЗ уравнения: \(10+2x>0\).
Решим на ОДЗ. \[\log_4(10+2x)=\log_4{4^3} \quad\Leftrightarrow\quad 10+2x=64 \quad\Leftrightarrow\quad x=27.\] Полученное число удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 27

Задание 2 #3859
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{0,5}(2x-5)=-2\).

ОДЗ уравнения: \(2x-5>0\).
На ОДЗ уравнение равносильно: \(2x-5=(0,5)^{-2}\quad\Leftrightarrow\quad 2x-5=4\) – подходит по ОДЗ.   Следовательно, \(x=\dfrac92=4,5\).

 

Ответ: 4,5

Задание 3 #410
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{2}(x + 6) = 5\).

ОДЗ: \(x + 6 > 0\), что равносильно \(x > -6\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{2}(x + 6)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить \(x + 6\), откуда заключаем: \(2^5 = x + 6\), что равносильно \(x = 26\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 26

Задание 4 #411
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{12}(2x - 10) = 1\).

ОДЗ: \(2x - 10 > 0\), что равносильно \(x > 5\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{12}(2x - 10)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 12, чтобы получить \(2x - 10\), откуда заключаем: \(12^1 = 2x - 10\), что равносильно \(x = 11\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 11

Задание 5 #2012
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{4}(x + 1) = 3\).

ОДЗ: \(x + 1 > 0\), что равносильно \(x > -1\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{4}(x + 1)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 4, чтобы получить \(x + 1\), откуда заключаем: \(4^3 = x + 1\), что равносильно \(x = 63\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 63

Задание 6 #413
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{3}(x - 4) = \log_{3}4\).

ОДЗ: \(x - 4 > 0\), что равносильно \(x > 4\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{3}(x - 4)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить \(x - 4\), откуда заключаем: \(3^{\log_3(4)} = x - 4\), что равносильно \(4 = x - 4\), что равносильно \(x = 8\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 8

Задание 7 #414
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{7}(3x - 1) = \log_{7}2\).

ОДЗ: \(3x - 1 > 0\), что равносильно \(x > \dfrac{1}{3}\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{7}(3x - 1)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 7, чтобы получить \(3x - 1\), откуда заключаем: \(7^{\log_7(2)} = 3x - 1\), что равносильно \(2 = 3x - 1\), что равносильно \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Подготовка к итоговому тестированию по математике включает в себя важный раздел — «Логарифмы». Задания из этой темы обязательно содержатся в ЕГЭ. Опыт прошлых лет показывает, что логарифмические уравнения вызвали затруднения у многих школьников. Поэтому понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки.

Сдайте аттестационное испытание успешно с помощью образовательного портала «Школково»!

При подготовке к единому государственному экзамену выпускникам старших классов требуется достоверный источник, предоставляющий максимально полную и точную информацию для успешного решения тестовых задач. Однако учебник не всегда оказывается под рукой, а поиск необходимых правил и формул в Интернете зачастую требует времени.

Образовательный портал «Школково» позволяет заниматься подготовкой к ЕГЭ в любом месте в любое время. На нашем сайте предлагается наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации по логарифмам, а также по решению показательных уравнений с одним и несколькими неизвестными. Начните с легких уравнений. Если вы справились с ними без труда, переходите к более сложным. Если у вас возникли проблемы с решением определенного неравенства, вы можете добавить его в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже.

Найти необходимые формулы для выполнения задачи, повторить частные случаи и способы вычисления корня стандартного логарифмического уравнения вы можете, заглянув в раздел «Теоретическая справка». Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме.

Чтобы без затруднений справляться с заданиями любой сложности, на нашем портале вы можете ознакомиться с решением некоторых типовых логарифмических уравнений. Для этого перейдите в раздел «Каталоги». У нас представлено большое количество примеров, в том числе с уравнениями профильного уровня ЕГЭ по математике.

Воспользоваться нашим порталом могут учащиеся из школ по всей России. Для начала занятий просто зарегистрируйтесь в системе и приступайте к решению уравнений. Для закрепления результатов советуем возвращаться на сайт «Школково» ежедневно.