Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.

 

Стандартное логарифмическое уравнение:

\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]

где \(a>0, a\ne 1\).

 

Некоторые важные формулы:

 

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_4(10+2x)=3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ уравнения: \(10+2x>0\).
Решим на ОДЗ. \[\log_4(10+2x)=\log_4{4^3} \quad\Leftrightarrow\quad 10+2x=64 \quad\Leftrightarrow\quad x=27.\] Полученное число удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 27

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{2}(x + 6) = 5\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x + 6 > 0\), что равносильно \(x > -6\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{2}(x + 6)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить \(x + 6\), откуда заключаем: \(2^5 = x + 6\), что равносильно \(x = 26\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 26

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{12}(2x - 10) = 1\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2x - 10 > 0\), что равносильно \(x > 5\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{12}(2x - 10)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 12, чтобы получить \(2x - 10\), откуда заключаем: \(12^1 = 2x - 10\), что равносильно \(x = 11\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 11

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{4}(x + 1) = 3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x + 1 > 0\), что равносильно \(x > -1\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{4}(x + 1)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 4, чтобы получить \(x + 1\), откуда заключаем: \(4^3 = x + 1\), что равносильно \(x = 63\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 63

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{3}(x - 4) = \log_{3}4\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x - 4 > 0\), что равносильно \(x > 4\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{3}(x - 4)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить \(x - 4\), откуда заключаем: \(3^{\log_3(4)} = x - 4\), что равносильно \(4 = x - 4\), что равносильно \(x = 8\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 8

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{7}(3x - 1) = \log_{7}2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3x - 1 > 0\), что равносильно \(x > \dfrac{1}{3}\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{7}(3x - 1)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 7, чтобы получить \(3x - 1\), откуда заключаем: \(7^{\log_7(2)} = 3x - 1\), что равносильно \(2 = 3x - 1\), что равносильно \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{5}(-x) = \log_{5}4\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(-x > 0\), что равносильно \(x < 0\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{5}(-x)\) – показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить \(-x\), откуда заключаем: \(5^{\log_5(4)} = -x\), что равносильно \(4 = -x\), что равносильно \(x = -4\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4