Логарифмические уравнения (страница 6)

Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.

Стандартное логарифмическое уравнение:

\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]

где \(a>0, a\ne 1\).

Некоторые важные формулы:

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]

Ознакомиться с полной теорией

Задание 36 #1652

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\cos{\frac{\pi}{4}}}(3x - 1) = -6\).

Показать решение

ОДЗ: \(3x - 1 > 0\) , что равносильно \(x > \dfrac{1}{3}\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\cos{\frac{\pi}{4}}}(3x - 1)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\cos{\dfrac{\pi}{4}}\), чтобы получить \(3x - 1\). Так как \(\cos{\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то: \[\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{-6} = 3x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{2})^{6} = 3x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 8 = 3x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 3\] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 3

Задание 37 #4019

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{11}(16+x)=\log_{11}12\).

Показать решение

ОДЗ уравнения: \(16+x>0\). Решим уравнение на ОДЗ.
Оно равносильно \(16+x=12\). Тогда \(x=-4\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4

1 ... 5 6 cледующая
подтема