Тренировочные варианты. Первая часть.
Артём считает ворон. Он пришёл к выводу, что в данный момент около его окна кружит \(55\) ворон. Известно, что Артём ошибся и на самом деле количество этих самых ворон на \(20\%\) больше, чем насчитал Артём. Сколько ворон кружит около окна Артёма в данный момент?
На самом деле искомое количество ворон равно \(55\cdot (1 + 0,2) = 66\).
Ответ: 66
На плоскости \(Ova\) показана взаимосвязь скорости \(v\) материальной точки и её ускорения \(a\). Определите, какой была скорость этой точки в момент, когда её ускорение было наибольшим.
Для ответа на поставленный вопрос надо найти на данной кривой точку, у которой координата \(a\) наибольшая. Такая точка одна: \(P(0; 3)\).
При этом скорость в точке \(P\) равна \(0\).
Ответ: 0
В тупоугольном треугольнике \(ABC\) один из углов равен \(47^\circ\), \(AB = 2BC\). Найдите сумму меньшего и большего углов треугольника \(ABC\). Ответ дайте в градусах.
Так как треугольник \(ABC\) – тупоугольный, то градусная мера одного из его углов больше \(90^\circ\).
Так как сумма углов треугольника \(180^\circ\), то сумма острых углов треугольника \(ABC\) меньше \(90^\circ\), следовательно, второй острый угол в \(ABC\) меньше \(90^\circ - 47^\circ = 43^\circ\), то есть он наименьший.
Таким образом, угол в \(47^\circ\) не является ни наибольшим, ни наименьшим. В итоге сумма меньшего и большего углов треугольника \(ABC\) равна \(180^\circ - 47^\circ = 133^\circ\).
Замечание
Наличие в задаче условия \(AB = 2BC\) не влияет ни на ход решения, ни на ответ.
Ответ: 133
В случайном эксперименте подбрасывают правильную монету. Какова вероятность того, что за три подбрасывания выпадет два орла или три решки?
Перечислим всевозможные исходы, которые нас устроят:
\[\begin{aligned} &O, O, P\,;\qquad\qquad O, P, O\,;\\ &P, O, O\,;\qquad\qquad P, P, P\,. \end{aligned}\]
Всего подходящих нам исходов \(4\), а количество всевозможных исходов есть \(2\cdot 2\cdot 2 = 8\). Таким образом, искомая вероятность равна \(4 : 8 = 0,5\).
Ответ: 0,5
Решите уравнение \[4^{x + 1} = 0,25\cdot 4^{-x}\]
Исходное уравнение равносильно уравнению \[4^{x + 1} = 4^{-1}\cdot 4^{-x}\quad\Leftrightarrow\quad 4^{x + 1} = 4^{-1 - x}\quad\Leftrightarrow\quad x + 1 = -1 - x\quad\Leftrightarrow\quad x = -1\,.\]
Ответ: -1
Дана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\). Её хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(K\). Известно, что \(AK = KB\), \(CK = AB\). Найдите \(KD : CD\).
Так как \(AB\) и \(CD\) – пересекающиеся в точке \(K\) хорды, то \[AK\cdot KB = CK\cdot KD\] 
Тогда \(AK^2 = 2AK\cdot KD\), откуда \[KD = 0,5AK = 0,25 AB = 0,25 CK,\] следовательно, \(CK = 4KD\), тогда \(CD = CK + KD = 5KD\), откуда \(KD : CD = 0,2\).
Ответ: 0,2
Число \(c\in\mathbb{R}\) такое, что график функции \(y = x^2 + c\) и прямая \(y = x\) касаются. Найдите ординату точки касания.
Графики функций \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) касаются в точке \((x_0; y_0)\) тогда и только тогда, когда
\[\begin{aligned} \begin{cases} &\!\!\! f(x_0) = g(x_0) = y_0\\ &\!\!\! f'(x_0) = g'(x_0) \end{cases} \end{aligned}\]
Тогда график функции \(y = x^2 + c\) и прямая \(y = x\) касаются в точке \((x_0; y_0)\) тогда и только тогда, когда
\[\begin{aligned} \begin{cases} &\!\!\! {x_0}^2 + c = x_0 = y_0\\ &\!\!\! 2x_0 = 1\, \end{cases} \end{aligned} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{aligned} \begin{cases} &\!\!\! 0,25 + c = 0,5 = y_0\\ &\!\!\! x_0 = 0,5\,, \end{cases} \end{aligned}\]
то есть ответ: \(0,5\).
Ответ: 0,5
У правильной четырёхугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания равна \(2\sqrt{3}\), а площадь одной из боковых граней равна \(12\). Найдите радиус сферы, описанной около \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
Так как данная четырёхугольная призма – правильная, то её боковые грани – прямоугольники, следовательно, боковое ребро этой призмы (например, \(BB_1\)) равно \(12 : 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).
Пусть точка \(O\) – середина \(B_1D\), тогда \(O\) – центр описанной около \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сферы. Тогда искомый радиус равен половине \(B_1D\).
Так как \(BD\) – диагональ квадрата со стороной \(2\sqrt{3}\), то \(BD = 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{6}\). По теореме Пифагора \(B_1D^2 = BD^2 + B_1B^2\), тогда \[B_1D^2 = (2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 24 + 12 = 36\,,\] откуда находим: \(B_1D = 6\), следовательно, искомый радиус равен \(6 : 2 = 3\).
Ответ: 3
Найдите значение выражения \[\left(\dfrac{a^2 - \sin^2 b}{\cos b - \sin b}\right)^2\] при \(a = \cos b\), \(b = \dfrac{3\pi}{4}\).
Подставим \(a = \cos b\), \(b = \dfrac{3\pi}{4}\) в исходное выражение: \[\left(\dfrac{\cos^2 \dfrac{3\pi}{4} - \sin^2 \dfrac{3\pi}{4}}{\cos \dfrac{3\pi}{4} - \sin \dfrac{3\pi}{4}}\right)^2\]
Так как \(\cos \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), а \(\sin \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то \[\cos^2 \dfrac{3\pi}{4} = \sin^2 \dfrac{3\pi}{4},\qquad\qquad \cos \dfrac{3\pi}{4} - \sin \dfrac{3\pi}{4}\neq 0\,,\] следовательно, \[\left(\dfrac{\cos^2 \dfrac{3\pi}{4} - \sin^2 \dfrac{3\pi}{4}}{\cos \dfrac{3\pi}{4} - \sin \dfrac{3\pi}{4}}\right)^2 = 0^2 = 0\]
Ответ: 0
Астероид вытянутой формы летит со скоростью \(9\, 000\) км/с относительно Игоря, который неподвижно стоит на Земле. Длина астероида, которую наблюдает Игорь в телескоп, может быть найдена по формуле \[l = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\,,\] где \(l_{\text{н}}\) – длина неподвижного относительно Игоря астероида, \(v\) км/с – скорость астероида, \(c = 300\, 000\) км/с – скорость света. Игорь уверен, что наблюдаемая им длина астероида равна \(0,2\sqrt{9991}\) км. Чему тогда равна длина неподвижного относительно Игоря такого же астероида? Ответ дайте в километрах.
Так как \[\dfrac{v^2}{c^2} = \left(\dfrac{v}{c}\right)^2\,,\] то в рассматриваемом случае \[\dfrac{v^2}{c^2} = \left(\dfrac{9000}{300\, 000}\right)^2 = \left(\dfrac{3}{100}\right)^2 = \dfrac{9}{10\, 000}\]
Теперь все имеющиеся данные подставим в формулу: \[0,2\sqrt{9991} = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{9}{10\, 000}} = l_{\text{н}}\sqrt{\dfrac{9991}{10\, 000}} = l_{\text{н}}\dfrac{\sqrt{9991}}{100}\,.\]
В итоге \[0,2\sqrt{9991} = l_{\text{н}}\dfrac{\sqrt{9991}}{100}\qquad\Leftrightarrow\qquad l_{\text{н}} = 20\]
Ответ: 20
Четыре одинаковых кота съедают четыре пачки корма “Корм 1” за четыре дня. Пять таких же котов съедают пять пачек корма “Корм 2” за пять дней. Во сколько раз больше период, на который одному такому коту хватит одной пачки корма “Корм 2”, чем период, на который одному такому коту хватит одной пачки корма “Корм 1”?
По условию четыре кота съедают четыре пачки корма “Корм 1” за четыре дня, тогда каждый кот ест свою пачку корма “Корм 1” четыре дня. Аналогично каждый кот ест свою пачку корма “Корм 2” пять дней, следовательно, искомая величина равна \(5 : 4 = 1,25\).
Ответ: 1,25
Найдите наименьшее значение функции \(y = 2x^2\cdot e^{x} - 3\).
1) \[y' = 4x\cdot e^{x} + 2x^2\cdot e^{x} = 2x(x + 2)\cdot e^x\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x(x + 2)\cdot e^x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x(x + 2) = 0\,,\] откуда находим корни \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\). Производная функции \(y\) существует при любом \(x\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
По полученному эскизу нельзя сказать наверняка, действительно ли в точке локального минимума \(x = 0\) значение функции наименьшее, или же при каком-то отрицательном \(x\) значение функции окажется меньше, чем при \(x = 0\). Найдём \(y(0)\): \[y(0) = 2\cdot 0\cdot e^{0} - 3 = -3\,.\] Рассмотрим произвольное \(x_0 < 0\), тогда \[y(x_0) = 2{x_0}^2\cdot e^{x_0} - 3\,,\] но \({x_0}^2\geqslant 0\) и \(e^{x_0}\geqslant 0\), тогда \[y(x_0) = 2{x_0}^2\cdot e^{x_0} - 3\geqslant 0 - 3\geqslant -3\,,\] следовательно, наименьшее значение функции \(y\) равно \(y(0) = -3\).
Ответ: -3
