Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2017

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Основная волна. 2 июня 2017. Вторая часть. Вариант 5

Задание 1

а) Решите уравнение \[{\large{16^{\sqrt3\sin x}=\left(\dfrac14\right)^{2\sin 2x}}}\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right].\)

а) Так как \(\frac14=4^{-1}\) и \(16=4^2\), то уравнение перепишется: \[\begin{aligned} &4^{2\sqrt3\sin x}=4^{-2\sin 2x}\quad\Leftrightarrow\quad 2\sqrt3\sin x=-2\sin 2x\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt3\sin x=-2\sin x\cos x\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\sin x\cdot (\sqrt3+2\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \sin x=0\\[1ex] \cos x=-\dfrac{\sqrt3}2\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] x=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{gathered}\right.\end{aligned}\]

б) Отберем корни.
\[\begin{aligned} &2\pi \leqslant \pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad 2\leqslant n\leqslant \dfrac72\quad\Rightarrow\quad n=2; 3\quad\Rightarrow\quad x=2\pi; \ 3\pi\\[2ex] &2\pi \leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac7{12}\leqslant k\leqslant \dfrac43\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{17\pi}6\\[2ex] &2\pi \leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{13}6\quad\Rightarrow\quad k=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{19\pi}6 \end{aligned}\]

Ответ:

а) \(\pi n, \ \pm \dfrac{5\pi}6+2\pi k, \ n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(2\pi; \ \dfrac{17\pi}6; \ 3\pi; \ \dfrac{19\pi}6\)

Задание 2

Основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник \(ABC\), причем \(\angle C=90^\circ\). Диагонали боковых граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) равны соответственно \(26\) и \(10\), \(AB=25\).

а) Докажите, что \(\triangle BA_1C_1\) – прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды \(AA_1C_1B\).

а) Так как \(BB_1\perp (A_1B_1C_1)\), \(B_1C_1\perp A_1C_1\), то по теореме о трех перпендикулярах \(BC_1\perp A_1C_1\) (как наклонная). Следовательно, \(\triangle A_1C_1B\) – прямоугольный.


 

б) Заметим, что \(BC\perp AC\) и \(BC\perp CC_1\), следовательно, по признаку \(BC\perp (AA_1C_1)\). Следовательно, \(BC\) – высота пирамиды \(BAA_1C_1\) с основанием \(AA_1C_1\).
Так как \(\triangle AA_1C_1\) прямоугольный, то \[V_{BAA_1C_1}=\dfrac{\frac12\cdot AA_1\cdot A_1C_1\cdot BC}3\] По теореме Пифагора \[\begin{aligned} &A_1C_1=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{16\cdot 36}=24\\[1ex] &AA_1=\sqrt{26^2-25^2}=\sqrt{1\cdot 51}=\sqrt{51}\\[1ex] &BC=\sqrt{10^2-51}=\sqrt{49}=7 \end{aligned}\] Тогда \[V_{BAA_1C_1}=\dfrac{\frac12\cdot 24\cdot \sqrt{51}\cdot 7}3=28\sqrt{51}\]

Ответ:

б) \(28\sqrt{51}\)

Задание 3

Решите неравенство \[\dfrac{8^{x+1}-40}{2\cdot 64^x-32}\leqslant 1\]

Сделаем замену: \(8^x=t\). Тогда: \[\dfrac{8t-40}{2t^2-32}\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{4t-20}{t^2-16}-1\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-4t+4}{t^2-16}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-2)^2}{(t-4)(t+4)}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получаем: \[t\in (-\infty;-4)\cup\{2\}\cup(4;+\infty)\] Следовательно:
\(\bullet\) \(8^x<-4\) — данное неравенство не имеет решений (так как \(8^x>0\) при всех \(x\))

\(\bullet\) \(8^x=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac13\)   \(\bullet\) \(8^x>4\quad\Rightarrow\quad x>\dfrac23\)

Ответ:

\(\left\{\frac13\right\}\cup \left(\frac23;+\infty\right)\)

Задание 4

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) проведена высота \(CH\) из вершины прямого угла. В треугольники \(ACH\) и \(BCH\) вписаны окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно, касающиеся прямой \(CH\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.

а) Докажите, что прямые \(AO_1\) и \(CO_2\) взаимно перпендикулярны.

б) Найдите площадь четырехугольника \(MO_1NO_2\), если известно, что \(AC=20\), \(BC=15\).

а) Так как \(CH\) – высота из прямого угла, то \(\angle HAC=\angle HCB\). Так как центры вписанных окружностей лежат на биссектрисах углов, то \(CO_2\) и \(AO_1\) – биссектрисы углов \(HCB\) и \(HAC\) соответственно.
Рассмотрим \(\triangle HAL\) и \(\triangle CKL\). По доказанному выше \(\angle HAL=\angle KCL\). \(\angle HLA=\angle KLC\) как вертикальные, следовательно, \(\angle CKL=\angle LHA=90^\circ\), чтд.


 

б) \(O_1M\) и \(O_2N\) перпендикулярны \(CH\) как радиусы, проведенные в точки касания. Следовательно, будем искать \(S_{MO_2NO_1}\) как \(S_{O_1MN}+S_{O_2MN}\), где \(\triangle O_1MN\) и \(O_2MN\) – прямоугольные.

 

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник и вписанную в него окружность:



Пусть \(K, M, N\) – точки касания окружности со сторонами. Тогда \(OK\perp AC\), \(ON\perp BC\). Следовательно, \(CKON\) – прямоугольник. Но так как к тому же смежные стороны его равны (\(OK=ON\) как радиусы), то \(CKON\) – квадрат. Следовательно, если \(OK=r\) – радиус, то \(CK=CN=r\).
Заметим, что \(AK=AM\) и \(BN=BM\) как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности. Следовательно, \(BC+AC=BN+r+r+AK=AB+2r\), откуда \[r=\dfrac{BC+AC-AB}2\]

Применим полученную формулу для нашего случая. Тогда: \[\begin{aligned} & O_1M=\dfrac{CH+HA-AC}2\\[2ex] & O_2N=\dfrac{CH+HB-BC}2\end{aligned}\] Следовательно, нужно найти \(HA, HB, CH\).
По теореме Пифагора \(AB=25\). Из подобия \(\triangle CHA\sim \triangle ABC\) получаем: \[\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{AC}{AB}\quad\Rightarrow\quad HA=16\] Тогда \(HB=AB-HA=9\).
По свойству высоты треугольника, опущенной из вершины прямого угла \[CH=\sqrt{HA\cdot HB}=12\] Таким образом, \[\begin{aligned} & O_1M=\dfrac{CH+HA-AC}2=4\\[2ex] & O_2N=\dfrac{CH+HB-BC}2=3\end{aligned}\]

Когда мы рассматривали произвольный прямоугольный треугольник и вписанную в него окружность, мы установили, что \(CKON\) – квадрат. В нашем случае это значит, что \(O_1M=MH\) и \(O_2N=NH\). Следовательно, \(MN=4-3=1\).
Таким образом, \[S_{MO_2NO_1}=\dfrac12\cdot MN\cdot (O_1M+O_2N)=3,5\]

Ответ:

б) 3,5

Задание 5

15 января планируется взять кредит в банке на сумму \(9\) млн. рублей на некоторое целое число месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(3,6\) млн. рублей?

Из условия следует, что система платежей дифференцированная. Исходя из этого составим таблицу следующим образом: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & 9 & 9+0,2\cdot 9 & 0,2\cdot 9+\frac9n\\ \hline 2 & 9-\frac9n & 9-\frac9n+0,2\cdot \left(9-\frac9n\right) & 0,2\cdot \left(9-\frac9n\right)+\frac9n\\ \hline ...& ... & ... & ...\\ \hline n & \frac9n & \frac9n+0,2\cdot \frac9n & 0,2\cdot \frac9n +\frac9n\\ \hline \end{array}\] Тогда общая сумма выплат после погашения равна сумме всех платежей: \[0,2\cdot \left(9+9-\frac9n+\dots+\frac9n\right)+n\cdot \frac9n= 0,2\cdot \left(9+9-\frac9n+\dots+\frac9n\right)+9\] Заметим, что при дифференцированной системе платежей наибольший платеж – это первый платеж. Следовательно, \[0,2\cdot 9+\frac9n=3,6\quad\Rightarrow\quad n=5\] Таким образом, общая сумма выплат равна \[0,2\cdot \left(9+\left(9-\frac95\right)+\left(9-2\cdot \frac95\right)+ \left(9-3\cdot \frac95\right)+\frac95\right)+9=0,2\cdot \left(9\cdot 4-5\cdot \frac95\right)+9=14,4\]

Ответ:

14,4

Задание 6

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{5x-3}\cdot \ln(3x-a)=\sqrt{5x-3}\cdot \ln (4x+a)\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;1]\).

Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{5x-3}\cdot \left( \ln(3x-a)-\ln (4x+a)\right)=0\] Следовательно, уравнение может иметь корни на \([0;1]\):

 

1) \(x_1=\frac35\) (уже лежит в \([0;1]\)), если он удовлетворяет \(3x-a>0\) и \(4x+a>0\): \[\begin{cases} \dfrac95-a>0\\[2ex] \dfrac{12}5+a>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left(-\dfrac{12}5;\dfrac95\right)\]

2) \(3x-a=4x+a\), откуда \(x_2=-2a\), если он удовлетворяет \(5x-3\geqslant 0\), \(3x-a>0\) и \(0\leqslant x_2\leqslant 1\): \[\begin{cases} -10a-3\geqslant 0\\ -6a-a>0\\ 0\leqslant -2a\leqslant 1\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left[-\dfrac12; -\dfrac3{10}\right]\]

Заметим, что если \(x_1=x_2\), то есть \(a=-\frac3{10}\), то уравнение имеет один корень, лежащий в \([0;1]\). Следовательно, \(a=-\frac3{10}\) нам подходит.

 

I. Пусть нам походит только корень \(x_1\). Следовательно, нужно пересечь значения \(a\in\left(-\frac{12}5;\frac95\right)\) (когда нам подходит \(x_1\)) со значениями \(a\in \left(-\infty;-\frac12\right)\cup \left(-\frac3{10};+\infty\right)\) (когда \(x_2\) нам не подходит). Получим: \[a\in \left(-\frac{12}5; -\frac12\right)\cup\left(-\frac3{10};\frac95\right)\]

II. Пусть нам подходит только \(x_2\). Тогда аналогично нужно пересечь \(a\in \left[-\frac12; -\frac3{10}\right]\) c \(a\in \left(-\infty;-\frac{12}5\right]\cup\left[\frac95;+\infty\right)\): \[a\in \varnothing\]

Учитывая, что выше мы сказали, что \(a=-\frac3{10}\) нам подходит, получаем окончательный ответ: \[a\in \left(-\frac{12}5; -\frac12\right)\cup\left[-\frac3{10};\frac95\right)\]

Ответ:

\(\left(-\frac{12}5; -\frac12\right)\cup\left[-\frac3{10};\frac95\right)\)

Задание 7

Учитель задумал несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по два числа, по три числа и т.д.) он выписал на доску. Если какое-то число, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют только одно такое число, а другие числа, равные ему, стирают.
Например, если задуманы числа \(1, 5, 6, 5\), то на доске будет набор \(1,5, 6, 30, 25, 150.\)

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
\(2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.\)

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
\(3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945\)?

в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно \(82\).

а) Очевидно, что в нашем задуманном наборе чисел должны быть числа \(2, 3, 5\). Для того, чтобы на доске появилось число \(9\), в нашем наборе либо должна быть \(9\), либо еще одна \(3\).
Рассмотрим набор \(2, 3, 5, 9\). Так как на доске должны быть записаны все попарные произведения, то на доске должно быть число \(3\cdot 9=27\). Его там нет. Следовательно, этот набор невозможен.
Рассмотрим набор \(2, 3, 3, 5\). Проверкой убеждаемся, что он нам подходит.
Ответ: \(2, 3, 3, 5\).

 

б) Очевидно, что в задуманном наборе должны быть числа \(3, 5, 7\). Для того, чтобы на доске была написана \(9\), нужно, чтобы в нашем наборе была либо \(9\), либо еще одна \(3\).
Рассмотрим последнее написанное на доске число: \(945=7\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\). Заметим, что последнее записанное на доске число – это всегда произведение всех задуманных чисел.
Следовательно, либо этот набор точно содержит числа \(3, 5, 7, 9\), либо содержит \(3, 3, 3, 5, 7\).
Пусть в задуманном наборе как минимум есть числа \(3, 3, 3, 5, 7\). Тогда на доске должно быть записано число \(3\cdot 3\cdot 3=27\), которого там нет. Следовательно, набор с такими числами точно не может быть задуман.
Пусть в задуманном наборе как минимум есть числа \(3, 5, 7, 9\). Проверим, подходит ли он. Тогда на доске, например, должно быть число \(7\cdot 9=63\). А его там нет. Следовательно, набор не подходит.
Ответ: нет.

 

в) Как уже говорилось в п. б), наибольшее число на доске – это произведение всех задуманных чисел. Следовательно, \(82=2\cdot 41\) (разложили на простые множители) – произведение всех чисел.
Таким образом, либо у нас набор \(82, 1, 1, 1, 1, 1\), либо \(2, 41, 1, 1, 1, 1\).
Если бы в наборе было какое-то число, отличное от \(1, 2, 41\) и \(82\), то оно было бы делителем \(82\). А мы уже выяснили, что у \(82\) делители только \(1, 2, 41, 82\).

Ответ:

а) 2, 3, 3, 5

б) нет

в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41