а) Решите уравнение \[{\large{16^{\sqrt3\sin x}=\left(\dfrac14\right)^{2\sin 2x}}}\]
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right].\)
а) Так как \(\frac14=4^{-1}\) и \(16=4^2\), то уравнение перепишется: \[\begin{aligned} &4^{2\sqrt3\sin x}=4^{-2\sin 2x}\quad\Leftrightarrow\quad 2\sqrt3\sin x=-2\sin 2x\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt3\sin x=-2\sin x\cos x\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\sin x\cdot (\sqrt3+2\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \sin x=0\\[1ex] \cos x=-\dfrac{\sqrt3}2\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] x=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{gathered}\right.\end{aligned}\]
б) Отберем корни.
\[\begin{aligned}
&2\pi \leqslant \pi n\leqslant
\dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad 2\leqslant n\leqslant
\dfrac72\quad\Rightarrow\quad n=2; 3\quad\Rightarrow\quad x=2\pi; \
3\pi\\[2ex]
&2\pi \leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant
\dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac7{12}\leqslant
k\leqslant \dfrac43\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad
x=\dfrac{17\pi}6\\[2ex]
&2\pi \leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant
\dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\leqslant
k\leqslant \dfrac{13}6\quad\Rightarrow\quad k=2\quad\Rightarrow\quad
x=\dfrac{19\pi}6
\end{aligned}\]
Ответ:
а) \(\pi n, \ \pm \dfrac{5\pi}6+2\pi k, \ n,k\in\mathbb{Z}\)
б) \(2\pi; \ \dfrac{17\pi}6; \ 3\pi; \ \dfrac{19\pi}6\)