Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Формулы сокращенного умножения

Задание 1 #2256
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Известно, что \(a^2 - 2017a = b^2 - 2017b\) и \(a^2 > b^2 + \dfrac{\pi^2}{6}\). Найдите \(a + b\).

Добавить задание в избранное

Исходное равенство равносильно равенству \[a^2 - b^2 = 2017a - 2017b\quad\Leftrightarrow\quad (a - b)(a + b) = 2017(a - b)\,,\] откуда либо \(a + b = 2017\), либо \(a - b = 0\), но если \(a = b\), то условие \(a^2 > b^2 + \dfrac{\pi^2}{6}\) не может быть выполнено.

Таким образом, \(a + b = 2017\).

Ответ: 2017

Задание 2 #2257
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Разложите многочлен \(x^4 + 64\) в произведение многочленов меньших степеней.

Добавить задание в избранное

Всякий многочлен четвёртой степени можно разложить в произведение двух многочленов второй степени. Попробуем найти требуемое разложение в виде \[x^4 + 64 = (x^2 + ax \pm 8)(x^2 + bx \pm 8) = x^4 + 64 + (a + b)x^3 + (\pm 16 + ab)x^2 \pm 8 (a + b)x\,,\] откуда получаем систему уравнений: \[\begin{cases} a + b = 0\\ \pm 16 + ab = 0\\ \pm 8(a + b) = 0 \end{cases}\,,\] следовательно, \(b = -a\) и \(\pm 16 - a^2 = 0\). Таким образом, вместо \(\pm\) всюду надо выбрать верхний знак, далее можно положить \(a = 4\), \(b = -4\).

В итоге получаем верное разложение \[x^2 + 64 = (x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)\,.\]

Ответ:

\((x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)\)

Задание 3 #2258
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите \((x + y)^2\), если \((x - y)^2 = 12\), \(xy = 3\).

Добавить задание в избранное

\[(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 4xy = (x - y)^2 + 4xy = 12 + 4\cdot 3 = 24\,.\]

Ответ: 24

Задание 4 #2259
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \(x^2 = 5 + y^2\) в целых числах.

Добавить задание в избранное

Исходное уравнение равносильно \[x^2 - y^2 = 5\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - y)(x + y) = 5\,.\]

Так как \(x\) и \(y\) целые, то и \(x - y\), \(x + y\) – целые, тогда возможны следующие случаи:
1) \[\begin{cases} x - y = 5\\ x + y = 1 \end{cases}\] 2) \[\begin{cases} x + y = 5\\ x - y = 1 \end{cases}\] 3) \[\begin{cases} x - y = -5\\ x + y = -1 \end{cases}\] 4) \[\begin{cases} x + y = -5\\ x - y = -1 \end{cases}\]

В этих случаях решениями будут соответственно \((3; -2)\), \((3; 2)\), \((-3; 2)\), \((-3; -2)\). Таким образом ответ: \((3; -2)\), \((3; 2)\), \((-3; 2)\), \((-3; -2)\)

Ответ:

(3; -2), (3; 2), (-3; 2), (-3; -2)

Задание 5 #2260
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Является ли число \((2016!)^{3} + 1\) простым?

Добавить задание в избранное

\[a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)\,,\] откуда следует, что при \(a = 2016!\) имеет место формула \[(2016!)^3 + 1 = (2016! + 1)((2016!)^2 - 2016! + 1)\,,\] – делится на \((2016! + 1)\).

Ответ:

Нет

Задание 6 #2261
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Делится ли число \((2016!)^{3} + 1\) на \((2016! + 1)^2\)?

Добавить задание в избранное

\[a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)\,,\] откуда следует, что при \(a = 2016!\) имеет место формула \[(2016!)^3 + 1 = (2016! + 1)((2016!)^2 - 2016! + 1)\,.\]

Для того, чтобы произведение в правой части делилось на \((2016! + 1)^2\), необходимо и достаточно выполнения условия \[((2016!)^2 + 2 - 2016! - 1) \vdots (2016! + 1)\,,\] что равносильно \(((2016!)^2 + 2) \vdots (2016! + 1)\), но \((2016!)^2 - 1 = (2016! + 1)(2016! - 1)\) – делится на \((2016! + 1)\), следовательно, \((2016!)^2 + 2 = ((2016!)^2 - 1) + 3\) не делится на \((2016! + 1)\) (так как \(3\) не делится на \((2016! + 1)\)), а тогда и \((2016!)^{3} + 1\) не делится на \((2016! + 1)^2\).

Ответ:

Нет

Задание 7 #2262
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Является ли число \(2017^{2017} + 1\) простым?

Добавить задание в избранное

По формуле суммы нечётных степеней: \[a^{2n + 1} + b^{2n + 1} = (a + b)(a^{2n} - a^{2n - 1}b + a^{2n - 2}b^2 - ... + b^{2n})\,,\]

тогда, подставляя \(n = 1008\), \(a = 2017\), \(b = 1\), получим: \[2017^{2017} + 1 = (2017 + 1)(2017^{2016} - ... + 1)\] – делится на \(2018\).

Ответ:

Нет