Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Формулы сокращенного умножения

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Известно, что \(a^2 - 2017a = b^2 - 2017b\) и \(a^2 > b^2 + \dfrac{\pi^2}{6}\). Найдите \(a + b\).

Добавить задание в избранное

Исходное равенство равносильно равенству \[a^2 - b^2 = 2017a - 2017b\quad\Leftrightarrow\quad (a - b)(a + b) = 2017(a - b)\,,\] откуда либо \(a + b = 2017\), либо \(a - b = 0\), но если \(a = b\), то условие \(a^2 > b^2 + \dfrac{\pi^2}{6}\) не может быть выполнено.

Таким образом, \(a + b = 2017\).

Ответ: 2017

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Разложите многочлен \(x^4 + 64\) в произведение многочленов меньших степеней.

Добавить задание в избранное

Всякий многочлен четвёртой степени можно разложить в произведение двух многочленов второй степени. Попробуем найти требуемое разложение в виде \[x^4 + 64 = (x^2 + ax \pm 8)(x^2 + bx \pm 8) = x^4 + 64 + (a + b)x^3 + (\pm 16 + ab)x^2 \pm 8 (a + b)x\,,\] откуда получаем систему уравнений: \[\begin{cases} a + b = 0\\ \pm 16 + ab = 0\\ \pm 8(a + b) = 0 \end{cases}\,,\] следовательно, \(b = -a\) и \(\pm 16 - a^2 = 0\). Таким образом, вместо \(\pm\) всюду надо выбрать верхний знак, далее можно положить \(a = 4\), \(b = -4\).

В итоге получаем верное разложение \[x^2 + 64 = (x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)\,.\]

Ответ:

\((x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)\)

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите \((x + y)^2\), если \((x - y)^2 = 12\), \(xy = 3\).

Добавить задание в избранное

\[(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 4xy = (x - y)^2 + 4xy = 12 + 4\cdot 3 = 24\,.\]

Ответ: 24

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \(x^2 = 5 + y^2\) в целых числах.

Добавить задание в избранное

Исходное уравнение равносильно \[x^2 - y^2 = 5\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - y)(x + y) = 5\,.\]

Так как \(x\) и \(y\) целые, то и \(x - y\), \(x + y\) – целые, тогда возможны следующие случаи:
1) \[\begin{cases} x - y = 5\\ x + y = 1 \end{cases}\] 2) \[\begin{cases} x + y = 5\\ x - y = 1 \end{cases}\] 3) \[\begin{cases} x - y = -5\\ x + y = -1 \end{cases}\] 4) \[\begin{cases} x + y = -5\\ x - y = -1 \end{cases}\]

В этих случаях решениями будут соответственно \((3; -2)\), \((3; 2)\), \((-3; 2)\), \((-3; -2)\). Таким образом ответ: \((3; -2)\), \((3; 2)\), \((-3; 2)\), \((-3; -2)\)

Ответ:

(3; -2), (3; 2), (-3; 2), (-3; -2)

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Является ли число \((2016!)^{3} + 1\) простым?

Добавить задание в избранное

\[a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)\,,\] откуда следует, что при \(a = 2016!\) имеет место формула \[(2016!)^3 + 1 = (2016! + 1)((2016!)^2 - 2016! + 1)\,,\] – делится на \((2016! + 1)\).

Ответ:

Нет

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Делится ли число \((2016!)^{3} + 1\) на \((2016! + 1)^2\)?

Добавить задание в избранное

\[a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)\,,\] откуда следует, что при \(a = 2016!\) имеет место формула \[(2016!)^3 + 1 = (2016! + 1)((2016!)^2 - 2016! + 1)\,.\]

Для того, чтобы произведение в правой части делилось на \((2016! + 1)^2\), необходимо и достаточно выполнения условия \[((2016!)^2 + 2 - 2016! - 1) \vdots (2016! + 1)\,,\] что равносильно \(((2016!)^2 + 2) \vdots (2016! + 1)\), но \((2016!)^2 - 1 = (2016! + 1)(2016! - 1)\) – делится на \((2016! + 1)\), следовательно, \((2016!)^2 + 2 = ((2016!)^2 - 1) + 3\) не делится на \((2016! + 1)\) (так как \(3\) не делится на \((2016! + 1)\)), а тогда и \((2016!)^{3} + 1\) не делится на \((2016! + 1)^2\).

Ответ:

Нет

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Является ли число \(2017^{2017} + 1\) простым?

Добавить задание в избранное

По формуле суммы нечётных степеней: \[a^{2n + 1} + b^{2n + 1} = (a + b)(a^{2n} - a^{2n - 1}b + a^{2n - 2}b^2 - ... + b^{2n})\,,\]

тогда, подставляя \(n = 1008\), \(a = 2017\), \(b = 1\), получим: \[2017^{2017} + 1 = (2017 + 1)(2017^{2016} - ... + 1)\] – делится на \(2018\).

Ответ:

Нет