Для того, чтобы безошибочно решать задачи из данной подтемы, необходимо натренировать умение решать простейшие уравнения из \(5\) темы и выполнять преобразования из \(9\) темы. Напомним способы решения уравнений:
1. Корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) ищутся по формуле \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt D}{2a}\), где \(D=b^2-4ac\). Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
2. В кубическом уравнении \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с целыми коэффициентами \(a, b, c, d\) рациональное число \(\dfrac pq\) будет корнем тогда и только тогда, когда \(d\) делится на \(p\), \(a\) делится на \(q\).
3. Иррациональное уравнение \[\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x)=g^n(x)\\
g(x)\geqslant 0 \ {\small{\text{(данное условие нужно только если }
n \text{ — четное)}}}
\end{cases}\]
4. Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow
f(x)=g(x), \quad a>0, a\ne 1\)
5. Логарифмическое уравнение (\(a>0, a\ne 1\)) \[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x)=g(x)\\
f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0)
\end{cases}\]
6. Тригонометрические уравнения \[\begin{array}{l|c|c}
\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\
\hline &&\\
\sin x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & \left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x=\arcsin a+2\pi n\\
&x=\pi -\arcsin a+2\pi n
\end{aligned}
\end{gathered}
\right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\cos x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline
\end{array}\]