Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

10. Задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи, сводящиеся к решению уравнений

Для того, чтобы безошибочно решать задачи из данной подтемы, необходимо натренировать умение решать простейшие уравнения из \(5\) темы и выполнять преобразования из \(9\) темы. Напомним способы решения уравнений:

 

1. Корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) ищутся по формуле \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt D}{2a}\), где \(D=b^2-4ac\). Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

 

2. В кубическом уравнении \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с целыми коэффициентами \(a, b, c, d\) рациональное число \(\dfrac pq\) будет корнем тогда и только тогда, когда \(d\) делится на \(p\), \(a\) делится на \(q\).

 

3. Иррациональное уравнение \[\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \ {\small{\text{(данное условие нужно только если } n \text{ — четное)}}} \end{cases}\]

4. Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x), \quad a>0, a\ne 1\)

 

5. Логарифмическое уравнение (\(a>0, a\ne 1\)) \[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\]

6. Тригонометрические уравнения \[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 1 #2688
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид \(x(t) = t^3 + 2t^2 - t + 1\). Каким оказалось перемещение этой точки из положения, которое она занимала в момент \(t = -1\), в положение, которое она занимала в момент \(t = 1\)?

\[x(-1) = -1 + 2 + 1 + 1 = 3,\qquad\qquad x(1) = 1 + 2 - 1 + 1 = 3\,,\] следовательно, перемещение составило \[|x(-1) - x(1)| = |3 - 3| = 0\,.\]

Ответ: 0

Задание 2 #768
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Агентство “Агентство”\(\ \)составляет рейтинг университетов на основании 4 показателей: \(P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4\). Итоговый рейтинг каждого университета вычисляется по формуле \[R = \dfrac{5P_1 + 4P_2 + 3P_3 - P_4}{K},\] где \(K\) – некоторое число, а показатели \(P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4\) оцениваются по 100-балльной шкале. Университет “Университет”\(\text{ }\)получил по 50 баллов по всем оцениваемым показателям и его рейтинг оказался \(R = 50\). Чему равно \(K\)?

\[50 = \dfrac{5\cdot 50 + 4\cdot 50 + 3\cdot 50 - 50}{K} = \dfrac{11\cdot 50}{K},\] откуда \(K = 11.\)

Ответ: 11

Задание 3 #2822
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Астероид вытянутой формы летит со скоростью \(9\, 000\) км/с относительно Игоря, который неподвижно стоит на Земле. Длина астероида, которую наблюдает Игорь в телескоп, может быть найдена по формуле \[l = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\,,\] где \(l_{\text{н}}\) – длина неподвижного относительно Игоря астероида, \(v\) км/с – скорость астероида, \(c = 300\, 000\) км/с – скорость света. Игорь уверен, что наблюдаемая им длина астероида равна \(0,2\sqrt{9991}\) км. Чему тогда равна длина неподвижного относительно Игоря такого же астероида? Ответ дайте в километрах.

Так как \[\dfrac{v^2}{c^2} = \left(\dfrac{v}{c}\right)^2\,,\] то в рассматриваемом случае \[\dfrac{v^2}{c^2} = \left(\dfrac{9000}{300\, 000}\right)^2 = \left(\dfrac{3}{100}\right)^2 = \dfrac{9}{10\, 000}\]

Теперь все имеющиеся данные подставим в формулу: \[0,2\sqrt{9991} = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{9}{10\, 000}} = l_{\text{н}}\sqrt{\dfrac{9991}{10\, 000}} = l_{\text{н}}\dfrac{\sqrt{9991}}{100}\,.\]

В итоге \[0,2\sqrt{9991} = l_{\text{н}}\dfrac{\sqrt{9991}}{100}\qquad\Leftrightarrow\qquad l_{\text{н}} = 20\]

Ответ: 20

Задание 4 #1663
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в Паскалях, \(V\) – объем в м\(^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в кельвинах, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Пусть \(V_1\) – начальный объём газа в м\(^3\), \(T_1\) – начальная температура газа в кельвинах, \(T_2\) – конечная температура газа в кельвинах (т.е. после увеличения объема в 3 раза), тогда \(3V_1\) – конечный объём.

Для начальных параметров известно, что \[pV_1 = \nu R T_1,\] для конечных параметров известно, что \[p\cdot 3V_1 = \nu R T_2.\] Умножая первое уравнение на \(3\), получаем \[3pV_1 = 3\nu R T_1,\] откуда заключаем, что \(3\nu R T_1 = \nu R T_2\), следовательно, \(T_2 = 3 T_1\), то есть, температуру совершенного газа надо увеличить в \(3\) раза.

Ответ: 3

Задание 5 #3849
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Водолазный колокол, содержащий \(\nu =2\) моля воздуха при давлении \(p_1=1,75\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \[A=\alpha\cdot \nu \cdot T\cdot \log_2\dfrac{p_2}{p_1} \ ,\] где \(\alpha=13,3\) Дж/моль\(\cdot\)K — постоянная, \(T=300\) K — температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(15\,960\) Дж.

Подставим все значения из условия в формулу и получим следующее уравнение относительно \(p_2\): \[15960=13,3\cdot 2\cdot300\cdot \log_2\dfrac{p_2}{1,75}\quad \Rightarrow\quad \log_2\dfrac{p_2}{1,75}=\dfrac{15960}{2\cdot 30\cdot 133}=2\quad\Rightarrow\quad \dfrac{p_2}{1,75}=4\quad\Rightarrow\quad p_2=7\]

Ответ: 7

Задание 6 #3863
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \({\large{m=m_0\cdot 2^{-\frac tT}}}\), где \(m_0\) - начальная масса изотопа, \(t\) - время, прошедшее от начального момента, \(T\) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(96\) мг. Период его полураспада составляет \(3\) мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна \(3\) мг.

Подставим значения в формулу: \[3=96\cdot 2^{-\frac t3}\quad\Leftrightarrow\quad 2^{-\frac t3}=\dfrac1{32} \quad\Leftrightarrow\quad 2^{-\frac t3}=2^{-5}\quad\Leftrightarrow\quad -\frac t3=-5\quad\Leftrightarrow\quad t=15\]

Ответ: 15

Задание 7 #770
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Антон метнул копьё под углом \(\phi\) к горизонтальной поверхности земли. Продолжительность полета копья в секундах можно найти по формуле \[t = \dfrac{2v_0\sin{\phi}}{g}.\] При каком наименьшем значении угла \(\phi\) в градусах время полета копья будет \(3,2\) секунды, если Антон метнул его с начальной скоростью \(v_0 = 32\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

Значение угла \(\phi\), при котором время полета копья будет \(3,2\) секунды, можно найти из уравнения \[3,2 = \dfrac{2\cdot 32\cdot\sin{\phi}}{10} \qquad\Leftrightarrow\qquad \sin{\phi} = 0,5.\] Наименьшее неотрицательное значение \(\phi\), при котором \(\sin{\phi} = 0,5\) равно \(30^{\circ}\).

Ответ: 30