Математика
Русский язык

10. Задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи, сводящиеся к решению уравнений

Для того, чтобы безошибочно решать задачи из данной подтемы, необходимо натренировать умение решать простейшие уравнения из \(5\) темы и выполнять преобразования из \(9\) темы. Напомним способы решения уравнений:

 

1. Корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) ищутся по формуле \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt D}{2a}\), где \(D=b^2-4ac\). Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

 

2. В кубическом уравнении \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с целыми коэффициентами \(a, b, c, d\) рациональное число \(\dfrac pq\) будет корнем тогда и только тогда, когда \(d\) делится на \(p\), \(a\) делится на \(q\).

 

3. Иррациональное уравнение \[\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \ {\small{\text{(данное условие нужно только если } n \text{ — четное)}}} \end{cases}\]

4. Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x), \quad a>0, a\ne 1\)

 

5. Логарифмическое уравнение (\(a>0, a\ne 1\)) \[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\]

6. Тригонометрические уравнения \[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид \(x(t) = t^3 + 2t^2 - t + 1\). Каким оказалось перемещение этой точки из положения, которое она занимала в момент \(t = -1\), в положение, которое она занимала в момент \(t = 1\)?

Добавить задание в избранное

\[x(-1) = -1 + 2 + 1 + 1 = 3,\qquad\qquad x(1) = 1 + 2 - 1 + 1 = 3\,,\] следовательно, перемещение составило \[|x(-1) - x(1)| = |3 - 3| = 0\,.\]

Ответ: 0

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Агентство “Агентство”\(\ \)составляет рейтинг университетов на основании 4 показателей: \(P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4\). Итоговый рейтинг каждого университета вычисляется по формуле \[R = \dfrac{5P_1 + 4P_2 + 3P_3 - P_4}{K},\] где \(K\) – некоторое число, а показатели \(P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4\) оцениваются по 100-балльной шкале. Университет “Университет”\(\text{ }\)получил по 50 баллов по всем оцениваемым показателям и его рейтинг оказался \(R = 50\). Чему равно \(K\)?

Добавить задание в избранное

\[50 = \dfrac{5\cdot 50 + 4\cdot 50 + 3\cdot 50 - 50}{K} = \dfrac{11\cdot 50}{K},\] откуда \(K = 11.\)

Ответ: 11

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Астероид вытянутой формы летит со скоростью \(9\, 000\) км/с относительно Игоря, который неподвижно стоит на Земле. Длина астероида, которую наблюдает Игорь в телескоп, может быть найдена по формуле \[l = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\,,\] где \(l_{\text{н}}\) – длина неподвижного относительно Игоря астероида, \(v\) км/с – скорость астероида, \(c = 300\, 000\) км/с – скорость света. Игорь уверен, что наблюдаемая им длина астероида равна \(0,2\sqrt{9991}\) км. Чему тогда равна длина неподвижного относительно Игоря такого же астероида? Ответ дайте в километрах.

Добавить задание в избранное

Так как \[\dfrac{v^2}{c^2} = \left(\dfrac{v}{c}\right)^2\,,\] то в рассматриваемом случае \[\dfrac{v^2}{c^2} = \left(\dfrac{9000}{300\, 000}\right)^2 = \left(\dfrac{3}{100}\right)^2 = \dfrac{9}{10\, 000}\]

Теперь все имеющиеся данные подставим в формулу: \[0,2\sqrt{9991} = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{9}{10\, 000}} = l_{\text{н}}\sqrt{\dfrac{9991}{10\, 000}} = l_{\text{н}}\dfrac{\sqrt{9991}}{100}\,.\]

В итоге \[0,2\sqrt{9991} = l_{\text{н}}\dfrac{\sqrt{9991}}{100}\qquad\Leftrightarrow\qquad l_{\text{н}} = 20\]

Ответ: 20

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в Паскалях, \(V\) – объем в м\(^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в кельвинах, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Добавить задание в избранное

Пусть \(V_1\) – начальный объём газа в м\(^3\), \(T_1\) – начальная температура газа в кельвинах, \(T_2\) – конечная температура газа в кельвинах (т.е. после увеличения объема в 3 раза), тогда \(3V_1\) – конечный объём.

Для начальных параметров известно, что \[pV_1 = \nu R T_1,\] для конечных параметров известно, что \[p\cdot 3V_1 = \nu R T_2.\] Умножая первое уравнение на \(3\), получаем \[3pV_1 = 3\nu R T_1,\] откуда заключаем, что \(3\nu R T_1 = \nu R T_2\), следовательно, \(T_2 = 3 T_1\), то есть, температуру совершенного газа надо увеличить в \(3\) раза.

Ответ: 3

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Антон метнул копьё под углом \(\phi\) к горизонтальной поверхности земли. Продолжительность полета копья в секундах можно найти по формуле \[t = \dfrac{2v_0\sin{\phi}}{g}.\] При каком наименьшем значении угла \(\phi\) в градусах время полета копья будет \(3,2\) секунды, если Антон метнул его с начальной скоростью \(v_0 = 32\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

Добавить задание в избранное

Значение угла \(\phi\), при котором время полета копья будет \(3,2\) секунды, можно найти из уравнения \[3,2 = \dfrac{2\cdot 32\cdot\sin{\phi}}{10} \qquad\Leftrightarrow\qquad \sin{\phi} = 0,5.\] Наименьшее неотрицательное значение \(\phi\), при котором \(\sin{\phi} = 0,5\) равно \(30^{\circ}\).

Ответ: 30

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Для средней кинетической энергии совершенного газа справедлива формула \[\dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{3}{2}kT,\] где \(m\) – масса газа в кг, \(v\) – скорость в м/с, \(T\) – абсолютная температура в градусах Кельвина, а \(k\) – постоянная Больцмана (в Дж/К). Во сколько раз увеличится скорость газа при увеличении его температуры в 4 раза?

Добавить задание в избранное

Пусть \(v_1\) – начальная скорость газа в м/с, \(T_1\) – начальная температура газа в градусах Кельвина, \(v_2\) – конечная скорость газа, тогда \(4T_1\) – конечная температура газа.

Для начальных параметров известно, что \[\dfrac{m{v_1}^2}{2} = \dfrac{3}{2}kT_1,\] для конечных параметров известно, что \[\dfrac{m{v_2}^2}{2} = \dfrac{3}{2}k\cdot 4T_1.\] Умножая первое уравнение на \(4\), получаем \[4\dfrac{m{v_1}^2}{2} = 4\cdot\dfrac{3}{2}kT_1,\] откуда заключаем, что \(\dfrac{m{v_2}^2}{2} = 4\dfrac{m{v_1}^2}{2}\), следовательно, \({v_2}^2 = 4{v_1}^2\), откуда \(v_2 = \pm 2v_1\), но \(v_1\geq 0, \ v_2\geq 0\) тогда \(v_2 = 2v_1\) есть, скорость газа увеличится в \(2\) раза.

Ответ: 2

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во время полёта кометы \(K\) вытянутой формы её видимая длина (для неподвижного на Земле Тимура), измеряемая в километрах, меняется по закону \[l = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}},\] где \(l_{\text{н}} = 10\) км – длина неподвижной относительно Тимура кометы, \(c = 300000\) км/с – скорость света, а \(v\) – скорость кометы \(K\) (в км/с). Тимур вдруг задумался, какой должна была бы быть скорость кометы \(K\), чтобы её наблюдаемая длина стала \(6\) км? Какой ответ он должен получить? Результат выразите в км/с.

Добавить задание в избранное

Искомая скорость кометы может быть найдена из уравнения \[6 = 10\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\ \Leftrightarrow\ 6 = 10\sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2}\ \Leftrightarrow\ 0,6 = \sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2},\ \Rightarrow\ \left(\dfrac{v}{c}\right)^2 = 0,64,\] что равносильно \(v = \pm0,8c\), откуда с учётом \(c = 300000\) км/с, \(v > 0\) находим \(v = 240000\) км/с.

Ответ: 240000

1 2 .... 4