Задачи, сводящиеся к решению уравнений (страница 2)

Пусть \(v_1\) – начальная скорость газа в м/с, \(T_1\) – начальная температура газа в градусах Кельвина, \(v_2\) – конечная скорость газа, тогда \(4T_1\) – конечная температура газа.

Для начальных параметров известно, что \[\dfrac{m{v_1}^2}{2} = \dfrac{3}{2}kT_1,\] для конечных параметров известно, что \[\dfrac{m{v_2}^2}{2} = \dfrac{3}{2}k\cdot 4T_1.\] Умножая первое уравнение на \(4\), получаем \[4\dfrac{m{v_1}^2}{2} = 4\cdot\dfrac{3}{2}kT_1,\] откуда заключаем, что \(\dfrac{m{v_2}^2}{2} = 4\dfrac{m{v_1}^2}{2}\), следовательно, \({v_2}^2 = 4{v_1}^2\), откуда \(v_2 = \pm 2v_1\), но \(v_1\geq 0, \ v_2\geq 0\) тогда \(v_2 = 2v_1\) есть, скорость газа увеличится в \(2\) раза.

Ответ: 2

Искомая скорость кометы может быть найдена из уравнения \[6 = 10\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\ \Leftrightarrow\ 6 = 10\sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2}\ \Leftrightarrow\ 0,6 = \sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2},\ \Rightarrow\ \left(\dfrac{v}{c}\right)^2 = 0,64,\] что равносильно \(v = \pm0,8c\), откуда с учётом \(c = 300000\) км/с, \(v > 0\) находим \(v = 240000\) км/с.

Ответ: 240000

Так как \(\sin 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то искомая начальная скорость может быть найдена из уравнения \[\dfrac{125}{49} = \dfrac{{v_0}^2\cdot\frac{1}{2}}{2\cdot 9,8},\] откуда \({v_0}^2 = 100\) и \(v_0 = \pm 10\). Так как \(v_0 \geq 0\), то \(v_0 = 10\) м/с.

Ответ: 10

Так как \(\sin (2\cdot 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая начальная скорость может быть найдена из уравнения \[\dfrac{45\sqrt{3}}{2} = \dfrac{{v_0}^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{9,8},\] откуда \({v_0}^2 = 441\) и \(v_0 = \pm 21\). Так как \(v_0 \geq 0\), то \(v_0 = 21\) м/с.

Ответ: 21

В состоянии 1 длина стержня стала \(1,2l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[\dfrac{80}{100}\cdot 1,2l_0 = 0,96l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \[\mathcal{E} = \dfrac{0,96l_0 - l_0}{l_0} = -0,04.\]

Ответ: -0,04

Пусть начальная сила гравитационного притяжения между материальными точками равна \(F_1\) Н, а начальное расстояние между ними равно \(R_1\) м, конечное расстояние (после уменьшения силы гравитационного притяжения в 25 раз) между ними равно \(R_2\), тогда в конечном состоянии сила гравитационного притяжения станет \[\dfrac{1}{25}F_1.\]

Для начальных параметров известно, что \[F_1 = G\dfrac{m_1m_2}{{R_1}^2},\] а для конечных параметров известно, что \[\dfrac{1}{25}F_1 = G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2}.\] Умножая второе уравнение на \(25\), получим \[F_1 = 25G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2},\] откуда \[25G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2} = G\dfrac{m_1m_2}{{R_1}^2},\] откуда \({R_2}^2 = 25{R_1}^2\), что равносильно \(R_2 = \pm 5R_1\), но \(R_1 > 0, R_2 > 0\), тогда \(R_2 = 5R_1\).

Ответ: 5

Пусть начальная сила давления жидкости на дно сосуда равна \(F_1\) Н, высота столба жидкости в начальном сосуда равна \(h_1\) м, а радиус его основания \(r_1\) м.

Пусть конечная сила давления давления жидкости на дно сосуда равна \(F_2\) Н, тогда высота столба жидкости в конечном сосуде равна \(0,5h_1\), а радиус основания конечного сосуда равен \(5r_1\).

Для начальных параметров известно, что \[F_1 = \rho g h_1\cdot \pi {r_1}^2,\] а для конечных параметров известно, что \[F_2 = \rho g\cdot 0,5h_1\cdot \pi (5r_1)^2 = 12,5 \rho g h_1\cdot \pi{r_1}^2 = 12,5 F_1.\]

Ответ: 12,5