Математика
Русский язык

10. Задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи, сводящиеся к решению уравнений (страница 2)

Для того, чтобы безошибочно решать задачи из данной подтемы, необходимо натренировать умение решать простейшие уравнения из \(5\) темы и выполнять преобразования из \(9\) темы. Напомним способы решения уравнений:

 

1. Корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) ищутся по формуле \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt D}{2a}\), где \(D=b^2-4ac\). Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

 

2. В кубическом уравнении \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с целыми коэффициентами \(a, b, c, d\) рациональное число \(\dfrac pq\) будет корнем тогда и только тогда, когда \(d\) делится на \(p\), \(a\) делится на \(q\).

 

3. Иррациональное уравнение \[\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \ {\small{\text{(данное условие нужно только если } n \text{ — четное)}}} \end{cases}\]

4. Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x), \quad a>0, a\ne 1\)

 

5. Логарифмическое уравнение (\(a>0, a\ne 1\)) \[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\]

6. Тригонометрические уравнения \[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 8 #771
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Для средней кинетической энергии совершенного газа справедлива формула \[\dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{3}{2}kT,\] где \(m\) – масса газа в кг, \(v\) – скорость в м/с, \(T\) – абсолютная температура в градусах Кельвина, а \(k\) – постоянная Больцмана (в Дж/К). Во сколько раз увеличится скорость газа при увеличении его температуры в 4 раза?

Добавить задание в избранное

Пусть \(v_1\) – начальная скорость газа в м/с, \(T_1\) – начальная температура газа в градусах Кельвина, \(v_2\) – конечная скорость газа, тогда \(4T_1\) – конечная температура газа.

Для начальных параметров известно, что \[\dfrac{m{v_1}^2}{2} = \dfrac{3}{2}kT_1,\] для конечных параметров известно, что \[\dfrac{m{v_2}^2}{2} = \dfrac{3}{2}k\cdot 4T_1.\] Умножая первое уравнение на \(4\), получаем \[4\dfrac{m{v_1}^2}{2} = 4\cdot\dfrac{3}{2}kT_1,\] откуда заключаем, что \(\dfrac{m{v_2}^2}{2} = 4\dfrac{m{v_1}^2}{2}\), следовательно, \({v_2}^2 = 4{v_1}^2\), откуда \(v_2 = \pm 2v_1\), но \(v_1\geq 0, \ v_2\geq 0\) тогда \(v_2 = 2v_1\) есть, скорость газа увеличится в \(2\) раза.

Ответ: 2

Задание 9 #1665
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во время полёта кометы \(K\) вытянутой формы её видимая длина (для неподвижного на Земле Тимура), измеряемая в километрах, меняется по закону \[l = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}},\] где \(l_{\text{н}} = 10\) км – длина неподвижной относительно Тимура кометы, \(c = 300000\) км/с – скорость света, а \(v\) – скорость кометы \(K\) (в км/с). Тимур вдруг задумался, какой должна была бы быть скорость кометы \(K\), чтобы её наблюдаемая длина стала \(6\) км? Какой ответ он должен получить? Результат выразите в км/с.

Добавить задание в избранное

Искомая скорость кометы может быть найдена из уравнения \[6 = 10\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\ \Leftrightarrow\ 6 = 10\sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2}\ \Leftrightarrow\ 0,6 = \sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2},\ \Rightarrow\ \left(\dfrac{v}{c}\right)^2 = 0,64,\] что равносильно \(v = \pm0,8c\), откуда с учётом \(c = 300000\) км/с, \(v > 0\) находим \(v = 240000\) км/с.

Ответ: 240000

Задание 10 #774
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный с Земли под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\) м/с, может быть найдена по формуле \[h = \dfrac{{v_0}^2\sin^2{\alpha}}{2g},\] где \(h\) – максимальная высота в метрах, \(g = 9,8\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения. С какой начальной скоростью следует бросить камень под углом \(45^{\circ}\) к горизонту, чтобы максимальная высота, на которую он поднимется, была равна \(\dfrac{125}{49}\) метра? Ответ дайте в м/с.

Добавить задание в избранное

Так как \(\sin 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то искомая начальная скорость может быть найдена из уравнения \[\dfrac{125}{49} = \dfrac{{v_0}^2\cdot\frac{1}{2}}{2\cdot 9,8},\] откуда \({v_0}^2 = 100\) и \(v_0 = \pm 10\). Так как \(v_0 \geq 0\), то \(v_0 = 10\) м/с.

Ответ: 10

Задание 11 #775
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Расстояние, которое пролетит камень, брошенный с Земли под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\) м/с, может быть найдено по формуле \[l = \dfrac{{v_0}^2\sin{(2\alpha)}}{g},\] где \(l\) – расстояние в метрах, \(g = 9,8\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения. С какой начальной скоростью следует бросить камень под углом \(30^{\circ}\) к горизонту, чтобы расстояние, которое он пролетит, было равно \(\dfrac{45\sqrt{3}}{2}\) метра? Ответ дайте в м/с.

Добавить задание в избранное

Так как \(\sin (2\cdot 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая начальная скорость может быть найдена из уравнения \[\dfrac{45\sqrt{3}}{2} = \dfrac{{v_0}^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{9,8},\] откуда \({v_0}^2 = 441\) и \(v_0 = \pm 21\). Так как \(v_0 \geq 0\), то \(v_0 = 21\) м/с.

Ответ: 21

Задание 12 #776
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле \[\mathcal{E} = \dfrac{l - l_0}{l_0},\] где \(l_0\) – начальная длина стержня (в метрах), \(l\) – конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) в \(1,2\) раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять \(80\%\) от длины, которая была в состоянии 1. Какое относительное удлинение получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?

Добавить задание в избранное

В состоянии 1 длина стержня стала \(1,2l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[\dfrac{80}{100}\cdot 1,2l_0 = 0,96l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \[\mathcal{E} = \dfrac{0,96l_0 - l_0}{l_0} = -0,04.\]

Ответ: -0,04

Задание 13 #777
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сила гравитационного притяжения между материальными точками массы \(m_1\) кг и \(m_2\) кг, находящимися на расстоянии \(R\) метров, может быть найдена по формуле \[F = G\dfrac{m_1m_2}{R^2},\] где \(G\) – гравитационная постоянная. Во сколько раз должно увеличиться расстояние между материальными точками, чтобы при неизменных массах сила гравитационного притяжения между ними уменьшилась в 25 раз?

Добавить задание в избранное

Пусть начальная сила гравитационного притяжения между материальными точками равна \(F_1\) Н, а начальное расстояние между ними равно \(R_1\) м, конечное расстояние (после уменьшения силы гравитационного притяжения в 25 раз) между ними равно \(R_2\), тогда в конечном состоянии сила гравитационного притяжения станет \[\dfrac{1}{25}F_1.\]

Для начальных параметров известно, что \[F_1 = G\dfrac{m_1m_2}{{R_1}^2},\] а для конечных параметров известно, что \[\dfrac{1}{25}F_1 = G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2}.\] Умножая второе уравнение на \(25\), получим \[F_1 = 25G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2},\] откуда \[25G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2} = G\dfrac{m_1m_2}{{R_1}^2},\] откуда \({R_2}^2 = 25{R_1}^2\), что равносильно \(R_2 = \pm 5R_1\), но \(R_1 > 0, R_2 > 0\), тогда \(R_2 = 5R_1\).

Ответ: 5

Задание 14 #778
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В гидростатике сила давления жидкости на дно цилиндрического сосуда может быть найдена по формуле \(F = \rho g h S_{\text{дна}}\), где \(F\) – сила давления в ньютонах, \(\rho\) – плотность жидкости в кг/м\(^3\), \(h\) – высота столба жидкости в метрах, \(S_{\text{дна}}\) – площадь дна в м\(^2\). Во сколько раз увеличится сила давления на дно, если высоту столба жидкости уменьшить в 2 раза при одновременном увеличении радиуса круглого дна в 5 раз?

Добавить задание в избранное

Пусть начальная сила давления жидкости на дно сосуда равна \(F_1\) Н, высота столба жидкости в начальном сосуда равна \(h_1\) м, а радиус его основания \(r_1\) м.

Пусть конечная сила давления давления жидкости на дно сосуда равна \(F_2\) Н, тогда высота столба жидкости в конечном сосуде равна \(0,5h_1\), а радиус основания конечного сосуда равен \(5r_1\).

Для начальных параметров известно, что \[F_1 = \rho g h_1\cdot \pi {r_1}^2,\] а для конечных параметров известно, что \[F_2 = \rho g\cdot 0,5h_1\cdot \pi (5r_1)^2 = 12,5 \rho g h_1\cdot \pi{r_1}^2 = 12,5 F_1.\]

Ответ: 12,5

1 2 3 4