Решение задач алгебраическим способом

Пусть \(x_0\) – общий корень данных уравнений. Заметим, что \(x_0\ne 0\) (т.к. \(0^3+a\cdot 0+1\ne 0\)). Тогда верна следующая система:

\[\begin{cases} x_0^3+ax_0+1=0\\ x_0^4+ax_0^2+1=0 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение системы на \(x_0\) (имеем право, т.к. \(x_0\ne 0\)) и вычтем из полученного уравнения второе уравнение системы:

\[\begin{cases} x_0^4+ax_0^2+x_0-(x_0^4+ax_0^2+1)=0\\ x_0^4+ax_0^2+1=0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_0=1\\ x_0^4+ax_0^2+1=0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_0=1\\ a=-2 \end{cases}\]

Таким образом, данные уравнения общим корнем могут иметь только \(x_0=1\), и для того, чтобы \(x_0=1\) являлся их общим корнем, необходимо, чтобы \(a=-2\). Проверкой можно убедиться, что \(x_0=1\) и \(a=-2\) подходят в оба уравнения.

Ответ:

\(a\in \{-2\}\)

Для того, чтобы два неравенства были равносильны, нужно, чтобы они имели одинаковые решения.

Решим первое неравенство:

\[|x-2|<3 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x-2<3\\x-2>-3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad -1<x<5\]

Значит, \(x\in (-1;5)\) должно являться решением второго неравенства. Это значит, что дискриминант уравнения \(x^2-(a-1)x-a=0\) должен быть больше нуля и числа \(-1\) и \(5\) должны являться его корнями:

\[\begin{cases} (a-1)^2+4a>0\\ (-1)^2-(a-1)\cdot (-1)-a=0\\ 5^2-5(a-1)-a=0\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad a=5\]

Ответ:

\(a\in \{5\}\)

Для того, чтобы два неравенства были равносильны, нужно, чтобы они имели одинаковые решения.

Решим первое неравенство:

\[|x-1|\geqslant 2 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x-1\geqslant 2\\ &x-1\leqslant -2 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-\infty;-1]\cup[3;+\infty)\]

Значит, \(x\in (-\infty;-1]\cup[3;+\infty)\) должно являться решением второго неравенства. Это значит, что дискриминант уравнения \(x^2-ax-a-1=0\) должен быть больше нуля и числа \(-1\) и \(3\) должны являться его корнями:

\[\begin{cases} a^2+4(a+1)>0\\ (-1)^2+a-a-1=0\\ 3^2-3a-a-1=0\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad a=2\]

Ответ:

\(a\in \{2\}\)

Преобразуем данное неравенство к виду:

\[(x-6)(x-7)\cdot \log_3{(10+a^2(x-6)-7a(x-6)^2)}\leqslant 0\]

Число \(x=6\) является решением неравенства при любом значении параметра \(a\), т.к. в этом случае неравенство равносильно \(0\cdot \log_3{10}\leqslant 0 \Leftrightarrow 0\leqslant 0\).

Значит, необходимо найти те значения \(a\), при которых число \(x=7\) не будет являться решением неравенства. Это возможно только в том случае, если при \(a=7\) не выполнено ОДЗ логарифма, то есть \(10+a^2(x-6)-7a(x-6)^2\leqslant 0\) при \(x=7\).

Действительно, при \(x=7\) неравенство равносильно \(0\cdot \log_3{(10+a^2(7-6)-7a(7-6)^2)}\leqslant 0\). Следовательно, если логарифм определен (то есть его аргумент положителен), то неравенство будет равносильно \(0\leqslant 0\), что верно. Значит необходимо, чтобы при \(x=7\) логарифм не был определен.

\[10+a^2(7-6)-7a(7-6)^2\leqslant 0 \quad\Rightarrow \quad 2\leqslant a\leqslant 5\]

Ответ:

\([2;5]\)

Домножим первое уравнение на \(16\), а из второго выразим \(4y\): \[\begin{cases} 16(x+2a)^2+(4y+12a+4)^2=16(a+1)\\ 4y=3x-a+1 \end{cases}\]

Подставим в первое уравнение \(4y=3x-a+1\), раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[25x^2+(130a+30)x+(185a^2+94a+9)=0.\]

Для того, чтобы изначальная система имела более одного решения, достаточно, чтобы полученное квадратное уравнение имело более одного решения (то есть два). Следовательно, дискриминант должен быть положителен: \[D=-16\cdot 100(a^2+a)>0\quad\Leftrightarrow\quad -1<a<0.\]

Ответ:

\(a\in (-1;0)\)

Сделаем замену \(t=2^{\sin x}\). Так как \(\sin x\in [-1;1]\), то \(t\in \left[\frac12;2\right]\). Следовательно, нужно найти те \(a\), при которых уравнение будет иметь хотя бы одно решение \(t\) из отрезка \(\left[\frac12;2\right]\). Приведя подобные слагаемые, мы можем переписать уравнение в виде \[(a-1)(a-2)t=a(a-1)\] Рассмотрим случаи:

1) \(a=1\). Тогда уравнение примет вид \(0=0\). Решением данного уравнения являются все \(t\). Следовательно, этот случай нам подходит.

2) \(a=2\). Тогда уравнение примет вид \(0=2\). Такое уравнение не имеет решений. Следовательно, этот случай нам не подходит.

3) \(a\ne1;2\). Тогда \[t=\dfrac{a}{a-2}\] Нам нужно, чтобы \(t\in \left[\frac12;2\right]\). Следовательно, \[\dfrac12\leqslant \dfrac a{a-2}\leqslant 2\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;-2]\cup[4;+\infty)\] В данных решениях не содержатся точки \(1;2\).
Итог: уравнение будет иметь решения при \(a\in (-\infty;-2]\cup\{1\}\cup[4;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;-2]\cup\{1\}\cup[4;+\infty)\)

Преобразуем уравнение: \[|x-2|(4x-x^2-1+a)-(a+2)(4x-x^2-1+a)=0 \quad\Leftrightarrow\quad (4x-x^2-1+a)(|x-2|-(a+2))=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-4x+1-a=0\\ &|x-2|=a+2\\ \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Рассмотрим каждое уравнение по-отдельности.

1) \(x^2-4x+1-a=0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-2)^2=a+3\).
Таким образом, при \(a<-3\) уравнение не будет иметь решений, при \(a=-3\) будет иметь один корень \(x=2\) и при \(a>-3\) будет иметь два различных корня \(x=2\pm \sqrt{a+3}\).

2) \(|x-2|=a+2\).
При \(a<-2\) уравнение не будет иметь решений, при \(a=-2\) будет иметь один корень \(x=2\) и при \(a>-2\) будет иметь два различных корня \(x=2\pm (a+2)\).


Пусть уравнения имеют различные корни.

Видим, что случай  “первое уравнение не имеет решений, а второе – два” невозможен (так как не может одновременно быть \(a<-3\) и \(a>-2\)), случай “первое и второе уравнения имеют по одному корню” невозможен (так как не может одновременно быть \(a=-3\) и \(a=-2\)). Возможен только случай “первое уравнение имеет два корня, а второе не имеет корней”. В этом случае нужно пересечь \(a>-3\) и \(a<-2\) и получим \(a\in (-3;-2)\).


Пусть уравнения имеют совпадающие корни.

Тогда единственный случай, который нужно рассмотреть – это когда оба уравнения имеют по два корня и оба корня одного совпадают с корнями другого.
Первое уравнение: \((x-2)^2=a+3, a>-3\); второе уравнение: \(|x-2|=a+2,a>-2\). Заметим, что если возвести обе части второго уравнения в квадрат, то получим, что левые части обоих уравнений одинаковы: \((x-2)^2=(a+2)^2\). Следовательно, для того, чтобы уравнения имели одинаковые корни, нужно, чтобы и правые части совпадали: \[(a+2)^2=a+3 \quad\Leftrightarrow\quad a=\dfrac{-3\pm\sqrt5}2.\] Так как в нашем случае \(a>-3\) и \(a>-2\), то подходит только \(a=\dfrac{-3+\sqrt5}2\).

Ответ:

\((-3;-2)\cup \{\frac{-3+\sqrt5}2\}\)