а) Решите уравнение \[(2\cos^2x+11\cos x+5)\cdot \log_{18}(\sin x)=0\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([0;\pi].\)
а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2\cos^2x+11\cos x+5=0\\[1ex] &\log_{18}(\sin x)=0\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2\cos^2x+11\cos x+5=0\\[1ex] &\sin x=18^0\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ \sin x>0\end{cases}\] Назовем \(\sin x>0\) ОДЗ.
1) Рассмотрим первое уравнение. Заменой \(\cos x=t\), \(-1\leqslant t\leqslant 1\), данное уравнение сводится к квадратному: \(2t^2+11t+5=0\). Корнями будут \(t_1=-\frac12\) и \(t_2=-5\). Видим, что корень \(t_2\) не подходит. Таким образом: \[\cos x=-\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\] Заметим, что углы \(x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n\) находятся во второй четверти, где \(\sin x>0\), следовательно, подходят по ОДЗ. Углы \(x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi n\) находятся в третьей четверти, где \(\sin x <0\), следовательно, не подходят по ОДЗ. Итог: \[x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]
2) Рассмотрим второе уравнение: \(\sin x=1\) (подходит под ОДЗ). Решением будут \[x=\dfrac{\pi}2+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\]
б) Отберем корни. 1) \(0\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant \pi \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{2\pi}3\) 2) \(0\leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi k\leqslant \pi \quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2\)
Ответ:
а) \(\dfrac{2\pi}3+2\pi n, \dfrac{\pi}2+2\pi k; k, n\in\mathbb{Z}\)
б) \(\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{2\pi}3\)