Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения

\(\blacktriangleright\) На ОДЗ верны следующие формулы:

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

 

\[\large{\begin{array}{|lcl|} \hline \log_a1=0& \qquad & \log_aa=1\\ &&\\ \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_{|a|}{|b|}&& a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\ &&\\ \log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|}&& \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \Longleftrightarrow & \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_ba=1 & \Longleftrightarrow & \log_ab=\dfrac1{\log_ba}\\ &&\\ \hline \end{array}}\]

Задание 1 #3823
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[(2\cos^2x+11\cos x+5)\cdot \log_{18}(\sin x)=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([0;\pi].\)

а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2\cos^2x+11\cos x+5=0\\[1ex] &\log_{18}(\sin x)=0\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2\cos^2x+11\cos x+5=0\\[1ex] &\sin x=18^0\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ \sin x>0\end{cases}\] Назовем \(\sin x>0\) ОДЗ.

 

1) Рассмотрим первое уравнение. Заменой \(\cos x=t\), \(-1\leqslant t\leqslant 1\), данное уравнение сводится к квадратному: \(2t^2+11t+5=0\). Корнями будут \(t_1=-\frac12\) и \(t_2=-5\). Видим, что корень \(t_2\) не подходит. Таким образом: \[\cos x=-\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\] Заметим, что углы \(x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n\) находятся во второй четверти, где \(\sin x>0\), следовательно, подходят по ОДЗ. Углы \(x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi n\) находятся в третьей четверти, где \(\sin x <0\), следовательно, не подходят по ОДЗ. Итог: \[x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

2) Рассмотрим второе уравнение: \(\sin x=1\) (подходит под ОДЗ). Решением будут \[x=\dfrac{\pi}2+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   1) \(0\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant \pi \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{2\pi}3\)   2) \(0\leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi k\leqslant \pi \quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2\)

Ответ:

а) \(\dfrac{2\pi}3+2\pi n, \dfrac{\pi}2+2\pi k; k, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{2\pi}3\)

Задание 2 #3821
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[{\large{\dfrac{4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt3\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0}}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{13\pi}2; -5\pi \right].\)

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю: \[\begin{cases} 4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt3\sin x}=0\\[1ex] \sqrt{7\sin x}\ne 0\end{cases}\] Так как ОДЗ выражения \(\sqrt{7\sin x}\) — это \(\sin x\geqslant 0\), но \(\sqrt{7\sin x}\ne 0\), то есть \(\sin x\ne 0\), то данная система равносильна: \[\begin{cases} 4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt3\sin x}=0\\[1ex] \sin x>0\end{cases}\] Назовем неравенство ОДЗ.
Рассмотрим уравнение системы: \[2^{2\sin 2x}=2^{2\sqrt3\sin x}\quad\Leftrightarrow\quad 2\cdot 2\sin x\cos x=2\sqrt3\sin x\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(2\cos x-\sqrt3)=0\] Следовательно:

 

1) \(\sin x=0\). Данное уравнение не удовлетворяет ОДЗ \(\sin x>0\).

 

или

2) \(\cos x=\dfrac{\sqrt3}2\), что равносильно \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi n\) или \(x=-\dfrac{\pi}6+2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\).
Так как по ОДЗ \(\sin x>0\), то серия корней \(x=-\dfrac{\pi}6+2\pi m\) нам не подходит, так как эти углы находятся в четвертой четверти, где \(\sin x<0\).

 

Следовательно, ответом будут: \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{13\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant -5\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{10}3\leqslant n\leqslant -\dfrac{31}{12}\quad\Rightarrow\quad n=-3\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{35\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{35\pi}6\)

Задание 3 #3822
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[{\large{\dfrac{\log^2_2(\sin x)+\log_2(\sin x)}{2\cos x-\sqrt3}=0}}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac{\pi}2; 2\pi\right].\)

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю: \[\begin{cases} \log^2_2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0\\[1ex] 2\cos x-\sqrt3\ne 0\end{cases}\] Неравенство \(\cos x\ne \dfrac{\sqrt3}2\) назовем ОДЗ.
Рассмотрим уравнение системы: \(\log^2_2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0\).
Сделаем замену \(\log_2(\sin x)=t\). Тогда уравнение примет вид \[t^2+t=0\quad\Leftrightarrow\quad t(t+1)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=0\\ &t=-1\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_2(\sin x)=0\\ &\log_2(\sin x)=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=2^0=1\\[1ex] &\sin x=2^{-1}=\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}2+2\pi n\\[2ex] &x_2=\dfrac{\pi}6+2\pi m\\[2ex] &x_3=\dfrac{5\pi}6+2\pi k \end{aligned}\end{gathered}\right.\] \(n,m,k\in\mathbb{Z}\).
Вернемся к ОДЗ. По ОДЗ \(x\ne \dfrac{\pi}6+2\pi l\) и \(x\ne -\dfrac{\pi}6+2\pi p\), \(l,p\in\mathbb{Z}\).
Таким образом мы видим, что серия корней \(x_2\) не подходит под ОДЗ, значит, не будет входить в ответ.
Ответом будут являться серии \(x_1\) и \(x_3\).

 

б) Отберем корни.   1) \(\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi n\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad 0\leqslant n\leqslant \dfrac34\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2\)   2) \(\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac16\leqslant k\leqslant \dfrac7{12}\quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+2\pi n, \dfrac{5\pi}6+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{5\pi}6\)

Задание 4 #3971
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[(10\cos^2x-7\cos x-6)\cdot \log_{8}(-\sin x)=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\dfrac{7\pi}2\right]\).

а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &10\cos^2x-7\cos x-6=0\\ &\log_{8}(-\sin x)=0 \end{aligned}\end{gathered}\right. \\ -\sin x>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &10\cos^2x-7\cos x-6=0\\ &\sin x=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right. \\ \sin x<0\end{cases}\] Назовем \(\sin x<0\) – ОДЗ.

 

1) Рассмотрим первое уравнение. Заменой \(\cos x=t\), \(-1\leqslant t\leqslant 1\), данное уравнение сводится к квадратному \(10t^2-7t-6=0\). Корнями будут \(t=-\frac12\) и \(t=\frac65\). Видим, что второй корень не подходит. Таким образом: \[\cos x=-\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\] Заметим, что углы \(x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\) находятся во второй четверти, где \(\sin x>0\), следовательно, не подходят по ОДЗ. Углы \(x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\) находятся в третьей четверти, где \(\sin x<0\), следовательно, подходят по ОДЗ. Итог: \[x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

2) Рассмотрим второе уравнение: \(\sin x=-1\) (подходит по ОДЗ). Решением будут \[x=-\dfrac{\pi}2+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   \(2\pi\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac43\leqslant n\leqslant \dfrac{25}{12}\quad\Rightarrow\quad n=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{10\pi}3\)   \(2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}2+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac54\leqslant k\leqslant 2\quad\Rightarrow\quad k=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}2\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{2\pi}3+2\pi n, -\dfrac{\pi}2+2\pi k, n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{10\pi}3; \dfrac{7\pi}2\)

Задание 5 #3972
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{\log^2_2(\sin x)+\log_2(\sin x)}{2\cos x+\sqrt3}=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[0;\dfrac{3\pi}2\right]\).

а) ОДЗ уравнения: \(\sin x>0\) и \(\cos x\ne -\frac{\sqrt3}2\).
Решим уравнение на ОДЗ: \[\dfrac{\log_2(\sin x)\cdot \left(\log_2(\sin x)+1\right)}{2\cos x+\sqrt3}=0 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_2(\sin x)=0\\ &\log_2(\sin x)=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=1\\[2ex] &\sin x=\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Видим, что оба уравнения подходят под условие \(\sin x>0\) из ОДЗ.
Таким образом, нам нужно отобрать корни, которые подходят под условие \(\cos x\ne -\dfrac{\sqrt3}2\). Сделаем это по окружности:


Таким образом, видим, что отбрасывается только одна серия корней: \(\dfrac{5\pi}6+2\pi k\). Итоговый ответ: \[x= \dfrac{\pi}2+2\pi n; \ \dfrac{\pi}6+2\pi m; \ n,m\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   \(0\leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac14\leqslant n\leqslant \dfrac12\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2\)   \(0\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi m\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1{12}\leqslant m\leqslant \dfrac23\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+2\pi n, \dfrac{\pi}6+2\pi m, n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}6; \dfrac{\pi}2\)