Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения

а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2\cos^2x+11\cos x+5=0\\[1ex] &\log_{18}(\sin x)=0\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2\cos^2x+11\cos x+5=0\\[1ex] &\sin x=18^0\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ \sin x>0\end{cases}\] Назовем \(\sin x>0\) ОДЗ.

1) Рассмотрим первое уравнение. Заменой \(\cos x=t\), \(-1\leqslant t\leqslant 1\), данное уравнение сводится к квадратному: \(2t^2+11t+5=0\). Корнями будут \(t_1=-\frac12\) и \(t_2=-5\). Видим, что корень \(t_2\) не подходит. Таким образом: \[\cos x=-\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\] Заметим, что углы \(x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n\) находятся во второй четверти, где \(\sin x>0\), следовательно, подходят по ОДЗ. Углы \(x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi n\) находятся в третьей четверти, где \(\sin x <0\), следовательно, не подходят по ОДЗ. Итог: \[x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

2) Рассмотрим второе уравнение: \(\sin x=1\) (подходит под ОДЗ). Решением будут \[x=\dfrac{\pi}2+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   1) \(0\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant \pi \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{2\pi}3\)   2) \(0\leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi k\leqslant \pi \quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2\)

Ответ:

а) \(\dfrac{2\pi}3+2\pi n, \dfrac{\pi}2+2\pi k; k, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{2\pi}3\)

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю: \[\begin{cases} 4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt3\sin x}=0\\[1ex] \sqrt{7\sin x}\ne 0\end{cases}\] Так как ОДЗ выражения \(\sqrt{7\sin x}\) — это \(\sin x\geqslant 0\), но \(\sqrt{7\sin x}\ne 0\), то есть \(\sin x\ne 0\), то данная система равносильна: \[\begin{cases} 4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt3\sin x}=0\\[1ex] \sin x>0\end{cases}\] Назовем неравенство ОДЗ.
Рассмотрим уравнение системы: \[2^{2\sin 2x}=2^{2\sqrt3\sin x}\quad\Leftrightarrow\quad 2\cdot 2\sin x\cos x=2\sqrt3\sin x\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(2\cos x-\sqrt3)=0\] Следовательно:

1) \(\sin x=0\). Данное уравнение не удовлетворяет ОДЗ \(\sin x>0\).

или

2) \(\cos x=\dfrac{\sqrt3}2\), что равносильно \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi n\) или \(x=-\dfrac{\pi}6+2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\).
Так как по ОДЗ \(\sin x>0\), то серия корней \(x=-\dfrac{\pi}6+2\pi m\) нам не подходит, так как эти углы находятся в четвертой четверти, где \(\sin x<0\).

Следовательно, ответом будут: \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\).

б) Отберем корни.

\(-\dfrac{13\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant -5\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{10}3\leqslant n\leqslant -\dfrac{31}{12}\quad\Rightarrow\quad n=-3\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{35\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{35\pi}6\)

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю: \[\begin{cases} \log^2_2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0\\[1ex] 2\cos x-\sqrt3\ne 0\end{cases}\] Неравенство \(\cos x\ne \dfrac{\sqrt3}2\) назовем ОДЗ.
Рассмотрим уравнение системы: \(\log^2_2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0\).
Сделаем замену \(\log_2(\sin x)=t\). Тогда уравнение примет вид \[t^2+t=0\quad\Leftrightarrow\quad t(t+1)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=0\\ &t=-1\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_2(\sin x)=0\\ &\log_2(\sin x)=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=2^0=1\\[1ex] &\sin x=2^{-1}=\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}2+2\pi n\\[2ex] &x_2=\dfrac{\pi}6+2\pi m\\[2ex] &x_3=\dfrac{5\pi}6+2\pi k \end{aligned}\end{gathered}\right.\] \(n,m,k\in\mathbb{Z}\).
Вернемся к ОДЗ. По ОДЗ \(x\ne \dfrac{\pi}6+2\pi l\) и \(x\ne -\dfrac{\pi}6+2\pi p\), \(l,p\in\mathbb{Z}\).
Таким образом мы видим, что серия корней \(x_2\) не подходит под ОДЗ, значит, не будет входить в ответ.
Ответом будут являться серии \(x_1\) и \(x_3\).

б) Отберем корни.   1) \(\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi n\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad 0\leqslant n\leqslant \dfrac34\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2\)   2) \(\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac16\leqslant k\leqslant \dfrac7{12}\quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+2\pi n, \dfrac{5\pi}6+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{5\pi}6\)

а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &10\cos^2x-7\cos x-6=0\\ &\log_{8}(-\sin x)=0 \end{aligned}\end{gathered}\right. \\ -\sin x>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &10\cos^2x-7\cos x-6=0\\ &\sin x=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right. \\ \sin x<0\end{cases}\] Назовем \(\sin x<0\) – ОДЗ.

1) Рассмотрим первое уравнение. Заменой \(\cos x=t\), \(-1\leqslant t\leqslant 1\), данное уравнение сводится к квадратному \(10t^2-7t-6=0\). Корнями будут \(t=-\frac12\) и \(t=\frac65\). Видим, что второй корень не подходит. Таким образом: \[\cos x=-\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\] Заметим, что углы \(x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\) находятся во второй четверти, где \(\sin x>0\), следовательно, не подходят по ОДЗ. Углы \(x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\) находятся в третьей четверти, где \(\sin x<0\), следовательно, подходят по ОДЗ. Итог: \[x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

2) Рассмотрим второе уравнение: \(\sin x=-1\) (подходит по ОДЗ). Решением будут \[x=-\dfrac{\pi}2+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   \(2\pi\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac43\leqslant n\leqslant \dfrac{25}{12}\quad\Rightarrow\quad n=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{10\pi}3\)   \(2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}2+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac54\leqslant k\leqslant 2\quad\Rightarrow\quad k=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}2\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{2\pi}3+2\pi n, -\dfrac{\pi}2+2\pi k, n,k\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{10\pi}3; \dfrac{7\pi}2\)

а) ОДЗ уравнения: \(\sin x>0\) и \(\cos x\ne -\frac{\sqrt3}2\).
Решим уравнение на ОДЗ: \[\dfrac{\log_2(\sin x)\cdot \left(\log_2(\sin x)+1\right)}{2\cos x+\sqrt3}=0 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_2(\sin x)=0\\ &\log_2(\sin x)=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=1\\[2ex] &\sin x=\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Видим, что оба уравнения подходят под условие \(\sin x>0\) из ОДЗ.
Таким образом, нам нужно отобрать корни, которые подходят под условие \(\cos x\ne -\dfrac{\sqrt3}2\). Сделаем это по окружности:


Таким образом, видим, что отбрасывается только одна серия корней: \(\dfrac{5\pi}6+2\pi k\). Итоговый ответ: \[x= \dfrac{\pi}2+2\pi n; \ \dfrac{\pi}6+2\pi m; \ n,m\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.   \(0\leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac14\leqslant n\leqslant \dfrac12\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2\)   \(0\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi m\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1{12}\leqslant m\leqslant \dfrac23\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+2\pi n, \dfrac{\pi}6+2\pi m, n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{\pi}6; \dfrac{\pi}2\)