ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формуле синуса двойного угла:
\[2\sin x\cdot\cos x + \sin x - 2\cos x - 1 = 0.\] Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
\[\begin{aligned}
\sin x(2\cos x + 1) - (2\cos x + 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sin x - 1)(2\cos x + 1) = 0.
\end{aligned}\]
Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл:
\(\sin x - 1 = 0\) или \(2\cos x + 1 = 0\).
Решениями уравнения \(\sin x = 1\) являются \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).
Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,
решения уравнения \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) имеют вид \(x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).
б) \[-\pi \leqslant \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leqslant \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{3}{4} \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{2},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2}\).
\[-\pi \leqslant \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n \leqslant \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5}{6} \leqslant n \leqslant \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(n = 0\): \(x = \dfrac{2\pi}{3}\).
\[-\pi \leqslant -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n \leqslant \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{6} \leqslant n \leqslant \dfrac{13}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(n = 0\) и \(n = 1\): \(x = -\dfrac{2\pi}{3}\), \(x = \dfrac{4\pi}{3}\).
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(\pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).
б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(-\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{4\pi}{3}\).