Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень составитель ЕГЭ

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень составитель ЕГЭ. Тренировочный вариант №5

Задание 1

Цена рулона бумажных полотенец \(40\) рублей, у Димы в кармане \(1600\) рублей. Какое наибольшее количество рулонов бумажных полотенец сможет купить Дима, если цена одного рулона вырастет на \(15\%\)?

После того, как цена рулона вырастет, она станет \(40 \cdot (1 + 0,15) = 46\) рублей. По условию задачи надо найти наименьшее целое число, при умножении которого на \(46\) результат станет не больше \(1600\). Так как \(1600\) не делится на \(46\) нацело, то это число получается после округления в меньшую сторону результата от деления \(1600\) на \(46\) и равно \(34\).

Ответ: 34

Задание 2

На рисунке показано изменение скорости автомобиля в течение \(7\) минут после обгона троллейбуса. По вертикали отложена скорость автомобиля в километрах в час, по горизонтали – время в минутах. Определите по рисунку, через сколько минут после обгона скорость автомобиля стала \(55\, км/ч\).



По рисунку видно, что скорость автомобиля стала \(55\, км/ч\) через \(6\) минут после обгона.

Ответ: 6

Задание 3

Из точки \(C\) параллелограмма \(ABCD\) опустили перпендикуляр на продолжение стороны \(AD\) за точку \(D\). Этот перпендикуляр пересёк прямую \(AD\) в точке \(E\), причём \(CE = DE\). Найдите \(\angle B\) параллелограмма \(ABCD\). Ответ дайте в градусах.



В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle EDC = \angle DCE\). Так как \(\angle DEC = 90^{\circ}\), а сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то \(\angle EDC = 45^{\circ}\), тогда \(\angle ADC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}\). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle B = \angle ADC = 135^{\circ}\).

Ответ: 135

Задание 4

В аквариуме плавает \(100\) рыбок. Известно, что из них \(17\) золотых, \(4\) исполняют желания. При этом золотых рыбок, которые исполняют желания в аквариуме \(3\). Покупатель хочет приобрести золотую рыбку, которая исполняет желания (как в сказке). Найдите вероятность того, что выбранная наугад рыбка будет соответствовать хотя бы одному требованию покупателя.

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac{17}{100} + \dfrac{4}{100} - \dfrac{3}{100} = \dfrac{18}{100} = 0,18.\]

Ответ: 0,18

Задание 5

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{13 - 2x}{10}} = \dfrac{4}{25}\).

ОДЗ: \(\dfrac{13 - 2x}{10} \geqslant 0\), что равносильно \(x \leqslant 6,5\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{13 - 2x}{10} = \dfrac{16}{625}\qquad\Leftrightarrow\qquad 13 - 2x = \dfrac{256}{1000}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 6,372.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{13 - 2\cdot 6,372}{10}} = \dfrac{4}{25}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 6,372\).

Ответ: 6,372

Задание 6

В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, \(AB = 3,5\), \(AD = 4\), \(BC = 6,5\). Найдите длину \(CD\).





Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:
\(AB + CD = AD + BC\), откуда получаем \(3,5 + CD = 4 + 6,5\), значит, \(CD = 7\).

Ответ: 7

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-3; 8,5)\). Найдите сумму точек экстремума этой функции.

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

По рисунку можно определить, что функция \(f(x)\) достигает локально минимальные значения в точках \(0\), \(4\) и \(8\), а локально максимальные значения в точках \(-2\), \(1\) и \(6\). Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна \(0 + 4 + 8 + (-2) + 1 + 6 = 17\).

Ответ: 17

Задание 8

\(ABCDE\) – пирамида, \(ABCD\) – параллелограмм со сторонами \(1\) и \(\sqrt{3}\), \(\angle BAD = 60^{\circ}\). Из точки \(E\) опущен перпендикуляр \(EN\) на плоскость \((ABCD)\), причём точка \(N\) – точка пересечения диагоналей \(ABCD\), \(AE = \sqrt{5 + 0,25\sqrt{3}}\). Найдите объем пирамиды.





Объем пирамиды может быть найден по формуле \(V = \dfrac{1}{3}S\cdot h\), где \(S\) – площадь основания пирамиды, \(h\) – высота пирамиды.

Площадь параллелограмма может быть найдена по формуле \(S_\text{пар.} = ab\cdot\sin\alpha\), где \(a\), \(b\) – не параллельные стороны параллелограмма, \(\alpha\) – угол между ними. \[S_{ABCD} = 1\cdot\sqrt{3}\cdot\sin 60^{\circ} = \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}.\]

Найдем \(EN\):
по теореме Пифагора для треугольника \(AEN\): \[EN^2 = AE^2 - AN^2.\]

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то \(AN = \dfrac{1}{2}AC\).
Найдем \(AC\) по теореме косинусов для треугольника \(ACD\): \[AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2\cdot AD\cdot DC\cdot\cos\angle ADC,\] но \(\angle ADC = 180^{\circ} - \angle BAD = 120^{\circ}\), тогда \[AC^2 = 1 + 3 - 2\cdot 1\cdot\sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 4 + \sqrt{3},\] откуда \[AN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}\sqrt{4 + \sqrt{3}}.\] Теперь \(EN^2 = 5 + \dfrac{\sqrt{3}}{4} - 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{4} = 4\), тогда \(EN = 2\), следовательно,
\[V_\text{пирамиды} = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot 2 = 1.\]

Ответ: 1

Задание 9

Найдите значение выражения \(\log_{xy}\left(\dfrac{x^2y^4}{y^2x}\right)\), если \(\log_{xy}x = 3\).

По свойствам логарифма при \(\dfrac{x^2y^4}{y^2x} > 0\), \(1 \neq xy > 0\):

 

\(\log_{xy}\left(\dfrac{x^2y^4}{y^2x}\right) = \log_{xy}\left(\dfrac{x^2y^2}{x}\right) = \log_{xy}(x^2y^2) - \log_{xy}x = \log_{xy}(xy)^2 - \log_{xy}x = 2\log_{xy}|xy| - \log_{xy}x = 2 - \log_{xy}x\).

При \(\log_{xy}x = 3\) получим \(2 - 3 = -1\).

Ответ: -1

Задание 10

Сила тока в неразветвлённой части некоторой полной цепи с \(n\) параллельно соединенными одинаковыми элементами ЭДС может быть найдена по формуле \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{n}},\] где \(\mathcal{E} > 0\) – ЭДС каждого источника (в вольтах), \(R = 6\, Ом\) – сопротивление цепи в Омах, \(r = 4\, Ом\) – внутреннее сопротивление каждого источника. При каком наибольшем количестве элементов ЭДС в сети сила тока составит не более, чем половину от силы тока короткого замыкания одного источника \[I_{\text{кз}} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}?\]

Количество источников, при котором сила тока составит не более, чем половину от силы тока короткого замыкания одного источника, удовлетворяет неравенству \[\dfrac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{n}} \leqslant \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{r},\] которое с учётом известных данных принимает вид \[\dfrac{\mathcal{E}}{6 + \frac{4}{n}} \leqslant \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{4},\] что в силу \(\mathcal{E} > 0\) равносильно \[\dfrac{1}{6 + \frac{4}{n}} \leqslant \dfrac{1}{8} \qquad\Leftrightarrow\qquad 6 + \dfrac{4}{n} \geqslant 8\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{4}{n} \geqslant 2,\] откуда \(0< n \leqslant 2\). Таким образом, наибольшее допустимое число элементов ЭДС равно \(2\).

Ответ: 2

Задание 11

В государстве \(\nabla\) в \(2014\) году ЕГЭ по физике не сдали \(1500\) выпускников. В \(2015\) году число не сдавших выросло на \(10\%\), а в \(2016\) году – увеличилось на \(34\%\) по сравнению с \(2015\) годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по физике в \(2016\) году в государстве \(\nabla\)?

В \(2015\) году число не сдавших составило \(100\%+10\%=110\%\) от числа не сдавших в \(2014\) году, тогда в \(2015\) году не сдали ЕГЭ по физике \[1500 \cdot \dfrac{110}{100} = 1650\ \text{выпускников}.\] В \(2016\) году число не сдавших составило \(100\%+34\%=134\%\) от числа не сдавших в \(2015\) году, тогда в \(2016\) не сдали ЕГЭ по физике \[1650 \cdot \dfrac{134}{100} = 2211\ \text{выпускников}.\]

Ответ: 2211

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции \(y = x\cdot e^{x}\cdot e - 11\).

1) \(y' = e^{x}\cdot e + x\cdot e^{x}\cdot e = (x + 1)\cdot e^{x + 1}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1)\cdot e^{x + 1} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\) и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -1\) – точка минимума функции \(y\).
\(y(-1) = -1\cdot e^0 - 11 = -12\),

Итого: наименьшее значение функции \(y\) равно \(-12\).

Ответ: -12

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin(2x) + \sin x = 2\cos x + 1. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right]\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формуле синуса двойного угла:
\[2\sin x\cdot\cos x + \sin x - 2\cos x - 1 = 0.\] Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

\[\begin{aligned} \sin x(2\cos x + 1) - (2\cos x + 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sin x - 1)(2\cos x + 1) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл:
\(\sin x - 1 = 0\) или \(2\cos x + 1 = 0\).

 

Решениями уравнения \(\sin x = 1\) являются \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) имеют вид \(x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[-\pi \leqslant \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leqslant \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{3}{4} \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{2},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2}\).

\[-\pi \leqslant \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n \leqslant \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5}{6} \leqslant n \leqslant \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(n = 0\): \(x = \dfrac{2\pi}{3}\).

\[-\pi \leqslant -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n \leqslant \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{6} \leqslant n \leqslant \dfrac{13}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(n = 0\) и \(n = 1\): \(x = -\dfrac{2\pi}{3}\), \(x = \dfrac{4\pi}{3}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(\pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(-\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{4\pi}{3}\).

Задание 14

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) сторона \(AB\) основания равна \(12\), а высота призмы равна \(2\). На ребрах \(B_1C_1\) и \(AB\) отмечены точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причем \(PC_1=3, AQ=4\). Плоскость \(A_1PQ\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(M\).

 

а) Докажите, что точка \(M\) является серединой ребра \(BC\).

б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(A_1PQ\).

а) Обозначим \((A_1PQ)=\alpha\). Т.к. плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) параллельны, то плоскость \(\alpha\) пересечет их по параллельным прямым, т.е. \(QM\parallel A_1P\).

 

\(\bigtriangleup A_1B_1P \sim \bigtriangleup QBM \Rightarrow \dfrac{BM}{B_1P}=\dfrac{BQ}{B_1A_1} \Rightarrow BM=6=\dfrac{1}{2}BC\).

 


 

б) Расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\) равно высоте пирамиды \(BQSM\), проведенной из вершины \(B\) к основанию \(QSM\):

 

\(h_B=\dfrac{3V_{BQSM}}{S_{QSM}}\)

 

\(V_{BQSM}\) можно найти, если рассмотреть эту пирамиду как пирамиду с вершиной в точке \(S\) и с основанием \(QBM\). Тогда

 

\(V_{BQSM}=\dfrac{1}{3}SB\cdot S_{QBM}=\dfrac{1}{3}\cdot SB\cdot \dfrac{1}{2}QB\cdot BM\cdot \sin\angle QBM\)

 

Из подобия треугольников \(SBM\) и \(SB_1P\) найдем \(SB=4 \Rightarrow V_{BQSM}=16\sqrt3\).

Из этого же подобия \(SM=2\sqrt{13}\). Из подобия треугольников \(QBS\) и \(A_1B_1S\) найдем \(SQ=4\sqrt5\).

 

По теореме косинусов из треугольника \(QBM\) найдем \(QM=2\sqrt{13}\).

 

Следовательно, \(\bigtriangleup QSM\) – равнобедренный (\(QM=MS\)). Найдя высоту, проведенную к основанию \(QS\), найдем \(S_{QSM}=8\sqrt{10}\).

 

Таким образом, \(h_B=\dfrac{3V_{BQSM}}{S_{QSM}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}\)

Ответ:

б) \(\dfrac{3\sqrt{10}}{5}\)

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x^2}(x - 5)\cdot\ln (2x)}{(7^x - 1)\cdot\log_{(x^2 + 2x)}(x + 11)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 > 0\\ x^2\neq 1\\ x - 5 > 0\\ 2x > 0\\ 7^x - 1\neq 0\\ \log_{(x^2 + 2x)}(x + 11)\neq 0\\ x^2 + 2x > 0\\ x^2 + 2x\neq 1\\ x + 11 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 5\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x^2}(x - 5)\cdot\ln (2x)}{(7^x - 1)\cdot\log_{(x^2 + 2x)}(x + 11)}\geqslant 0\qquad&\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x^2 - 1)(x - 5 - 1)(2x - 1)}{(7^x - 1)(x^2 + 2x - 1)(x + 11 - 1)}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{x - 6}{x^2 + 2x - 1}\geqslant 0\,, \end{aligned}\]

что на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{x - 6}{(x + 1)^2 - 2}\geqslant 0\,, \end{aligned}\]

что на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} x - 6\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 6\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ: \[x\in [6; +\infty).\]

Ответ:

\([6; +\infty)\)

Задание 16

Основания трапеции равны \(a\) и \(b\). Диагонали трапеции пересекаются в точке \(O\) под прямым углом. Одна из диагоналей делится точкой \(O\) на отрезки с длинами \(c_1\) и \(d_1\), а другая – на отрезки с длинами \(c_2\) и \(d_2\).

а) Докажите, что величина \[\dfrac{c_1d_1 + c_2d_2}{2}\] равна площади прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\).

б) Найдите площадь данной трапеции, если \(ab = 100\), а \(c_2\), \(d_1\) и \(d_2\) удовлетворяют уравнению \[100\cdot\dfrac{c_2 + d_2}{d_1} - \dfrac{{c_2}^2d_2 + c_2{d_2}^2}{d_1} + d_1(c_2 + d_2) - 500 = 0.\]





а) Пусть \(ABCD\) – данная трапеция, \(BC = a\), \(AD = b\).

Рассмотрим треугольники \(BOC\) и \(AOD\): \(\angle CBD = \angle BDA\) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(BC\), \(AD\) и секущей \(BD\)).

Аналогично \(\angle BCA = \angle CAD\), следовательно, треугольники \(BOC\) и \(AOD\) подобны по двум углам, откуда \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{d_2}{c_2} = \dfrac{d_1}{c_1}.\]

\(d_2 = \dfrac{a}{b}\cdot c_2\), \(d_1 = \dfrac{a}{b}\cdot c_1\), тогда \[c_1d_1 + c_2d_2 = \dfrac{a}{b}\cdot {c_1}^2 + \dfrac{a}{b}\cdot {c_2}^2 = \dfrac{a}{b}({c_1}^2 + {c_2}^2),\] но треугольник \(AOD\) – прямоугольный (\(\angle AOD = 90^\circ\)), следовательно, \(b^2 = {c_1}^2 + {c_2}^2\), откуда \[c_1d_1 + c_2d_2 = \dfrac{a}{b}({c_1}^2 + {c_2}^2) = ab\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{c_1d_1 + c_2d_2}{2} = \dfrac{ab}{2},\] что и требовалось доказать.

 

б) Площадь четырёхугольника равна полупроизведению его диагоналей на синус угла между ними, откуда \[S_{ABCD} = (c_1 + d_1)(c_2 + d_2).\]

Так как \(c_1d_1 + c_2d_2 = ab = 100\), то \(c_1 = \dfrac{100 - c_2d_2}{d_1}\), откуда \[S_{ABCD} = \left(\dfrac{100 - c_2d_2}{d_1} + d_1\right)(c_2 + d_2) = 100\cdot\dfrac{c_2 + d_2}{d_1} - \dfrac{{c_2}^2d_2 + c_2{d_2}^2}{d_1} + d_1(c_2 + d_2).\] Но по условию \[100\cdot\dfrac{c_2 + d_2}{d_1} - \dfrac{{c_2}^2d_2 + c_2{d_2}^2}{d_1} + d_1(c_2 + d_2) - 500 = 0,\] тогда \[100\cdot\dfrac{c_2 + d_2}{d_1} - \dfrac{{c_2}^2d_2 + c_2{d_2}^2}{d_1} + d_1(c_2 + d_2) = 500,\] следовательно, \(S_{ABCD} = 500\).

Ответ:

б) \(500\).

Задание 17

\(10\) лет назад Григорий брал в банке кредит на \(4\) года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными платежами и переплата по кредиту составила \(32,5\%\) от кредита. Под какой годовой процент был взят тогда кредит?

Обозначим за \(y\) - годовой процент по кредиту, а за \(A\) руб. – сумму кредита. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до} & \text{Долг после} & \text{Сумма}& \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\%& \text{начисления }\% &\text{платежа}& \text{платежа} \\ \hline &&&&\\ 1& A&A+\dfrac{y}{100}\cdot A &\dfrac{y}{100}\cdot A+\dfrac{1}{4}\cdot A& \dfrac{3}{4}\cdot A\\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 2&\dfrac{3}{4}\cdot A & \dfrac{3}{4}\cdot A+\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot A&\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot A+\dfrac{1}{4}\cdot A&\dfrac{2}{4}\cdot A \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 3&\dfrac{2}{4}\cdot A &\dfrac{2}{4}\cdot A+\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot A &\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot A+\dfrac{1}{4}\cdot A&\dfrac{1}{4}A \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 4&\dfrac{1}{4}\cdot A &\dfrac{1}{4}\cdot A+\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot A &\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot A+\dfrac{1}{4}\cdot A&0 \\ &&&&\\ \hline \end{array}\]

Переплата по кредиту составит:

 

\(\dfrac{y}{100}\cdot A +\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot A+\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot A+\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot A=\dfrac{y}{100}\cdot A\cdot \dfrac{5}{2}=\dfrac{yA}{40}\)

 

Т.к. переплата в итоге составила \(32,5\%\) от суммы кредита, то \(\dfrac{yA}{40}=0,325A \Rightarrow y=13\%\)

Ответ:

\(13 \%\).

Задание 18

При каких \(a\) множество решений неравенства \((a^2-3a+2)x -a+2\geqslant 0\) содержит полуинтервал \([2;3)\) ?

Преобразуем неравенство: \((a-1)(a-2)x \geqslant a-2\). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:

 

1) \(a=2\). Тогда неравенство примет вид \(0 \geqslant 0\), что верно при любых значениях \(x\), следовательно, множество решений содержит полуинтервал \([2;3)\).

 

2) \(a=1\). Тогда неравенство примет вид \(0 \geqslant -1\), что верно при любых значениях \(x\), следовательно, множество решений содержит полуинтервал \([2;3)\).

 

3) \((a-1)(a-2)>0 \Leftrightarrow a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\). Тогда:

\(x\geqslant \dfrac{1}{a-1}\). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал \([2;3)\), необходимо, чтобы

 

\(\dfrac{1}{a-1} \leqslant 2 \Leftrightarrow \dfrac{3-2a}{a-1} \leqslant 0 \Rightarrow a\in (-\infty; 1)\cup [1,5; +\infty)\).

 

Учитывая условие \(a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\), получаем \(a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\).

 

4) \((a-1)(a-2)<0 \Leftrightarrow a\in (1;2)\). Тогда:

 

\(x\leqslant \dfrac{1}{a-1} \Rightarrow \dfrac{1}{a-1} \geqslant 3\).

Действуя аналогично случаю 3), получаем \(a\in (1; \dfrac{4}{3}\big]\).

Ответ:

\(a\in (-\infty;\dfrac{4}{3}\big]\cup [2;+\infty)\).

Задание 19

Решите уравнение \[x^2 + 8y = 32\] в целых числах.

Так как в равенстве \[x^2 + 8y = 32\] все слагаемые, кроме первого, делятся на \(8\), то и первое слагаемое должно делиться на \(8\).

Докажем от противного, что если \(x^2\, \vdots \,8\) при целом \(x\), то \(x\, \vdots \, 4\):
Пусть \(x\) не делится на \(4\). Если \(x\) не делится на \(2\), то \(x^2\) не делится на \(2\), что неверно. Если \(x\) делится на \(2\), то \(x = 2y\), где \(y\) – целое нечётное, тогда \(x^2 = 4y^2\), но \(y^2\) – нечётное, следовательно, \(x^2\) не делится на \(8\) – противоречие.

Таким образом, \(x\) во всех решениях имеет вид \(x = 4k\), где \(k\) – целое. Но все ли \(x\) вида \(x = 4k\) подходят? Выразим \(y\) при условии \(x = 4k\):\[16k^2 + 8y = 32\qquad\Leftrightarrow\qquad y = 4 - 2k^2\] – целое при \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, решениями уравнения являются всевозможные пары вида \((4k; 4 - 2k^2)\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Ответ:

\(\{(4k; 4 - 2k^2)\)| \(k\in\mathbb{Z}\}\)