Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

Тренировочные варианты "Школково". Уровень Максим Олегович

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Основные теоремы, связанные с окружностями

Задание 1

В деревне Д живёт \(2000\) жителей. Среди них \(30\%\) имеют высшее образование. Среди жителей без высшего образования \(20\%\) работают. Сколько жителей без высшего образования не работает?

Среди жителей деревни Д не имеют высшего образования \(2000 \cdot (1 - 0,3) = 1400\) человек. Из них не работает \(1400 \cdot (1 - 0,2) = 1120\) человек.

Ответ: 1120

Задание 2

На рисунке показано изменение скорости автомобиля на протяжении \(6\) минут. По вертикальной оси отложена скорость в км/ч, по горизонтальной – время в минутах. Определите по рисунку сколько времени автомобиль разгонялся от \(30\, км/ч\) до \(40\, км/ч\). Ответ дайте в минутах.



По рисунку видно, что с \(30\, км/ч\) до \(40\, км/ч\) автомобиль разгонялся с начала первой минуты до конца второй, то есть \(2\) минуты.

Ответ: 2

Задание 3

В треугольнике \(ABC\) на сторонах \(AB\) и \(BC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно. При этом оказалось, что \(AM = MB\), \(BN = NC\), периметр треугольника \(MBN\) равен 12. Найдите периметр четырёхугольника \(AMNC\), если \(AC = 10\).



\(MN\) – средняя линия треугольника \(ABC\), тогда по свойству средней линии \(MN \parallel AC\) и \(MN = 0,5 \cdot AC\), тогда треугольники \(ABC\) и \(MBN\) подобны, так как если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Периметры подобных треугольников относятся, как пропорциональные стороны, тогда \(\dfrac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle MBN}} = \dfrac{AB}{MB} = 2\), откуда \(P_{\triangle ABC} = 2\cdot P_{\triangle MBN} = 24\); \(MN = 0,5\cdot AC = 5\).
\(P_{AMNC} = P_{\triangle ABC} - P_{\triangle MBN} + MN = 24 - 12 + 5 = 17\).

Ответ: 17

Задание 4

Каждый день Игорь ходит в магазин. По пути он переходит улицу по пешеходному переходу со светофором. Светофор работает в режиме: красный свет горит \(170\) секунд, зеленый свет горит \(30\) секунд. Сколько секунд в среднем Игорь стоит на этом светофоре? (Считаем, что Игорь переходит дорогу только на зелёный, причём делает это мгновенно).

Можно считать, что подходя к светофору, Игорь с равными вероятностями может видеть каждое из \(170\) красных чисел и с такими же вероятностями каждое из \(30\) зелёных чисел, то есть всего возможно \(200\) различных исходов.

При этом в этих исходах время ожидания: \(1\) секунда, \(2\), \(3\), ..., \(170\) секунд, \(0\) секунд, \(0\), ..., \(0\) секунд. Тогда в среднем Игорь тратит на ожидание \[\dfrac{1 + 2 + ... + 170 + 0 + ... + 0}{200} = \dfrac{1 + 2 + ... + 170}{200} = 72,675\text{ секунд}.\].

Ответ: 72,675

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{2} x\biggr)} = 1.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{2} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{2} x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 0,5 + 2n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -1,5\) при \(n = -1\).

Ответ: -1,5

Задание 6

В четырёхугольнике \(ABCD\): диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\), \(\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}\). Найдите отношение углов \(CBD\) и \(CAD\).

Если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\), то около него можно описать окружность, тогда около \(ABCD\) можно описать окружность.



\(\angle CBD\) и \(\angle CAD\) – вписанные, опирающиеся на одну дугу, тогда они равны и их отношение равно 1.

Ответ: 1

Задание 7

На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\). Вычислите по рисунку \(F(3) - F(-1)\), где \(F(x)\) – одна из первообразных функции \(y = f(x)\).

Площадь под графиком неотрицательной функции \(f(x)\) от точки \(x = a\) до точки \(x = b\) равна \(F(b) - F(a)\), где \(F(x)\) – одна из первообразных функции \(y = f(x)\).

Таким образом, \(F(3) - F(-1)\) – площадь под графиком \(y = f(x)\) от точки \(x = -1\) до точки \(x = 3\).

Площадь под графиком \(y = f(x)\) от точки \(x = -1\) до точки \(x = 3\) равна \(9\), тогда \(F(3) - F(-1) = 9\).

Ответ: 9

Задание 8

На высоте конуса с вершиной \(A\), центром основания \(C\) и радиусом основания \(R = 4\) отметили точку \(E\) такую, что расстояние от неё до основания равно \(\sqrt{3}(4-\pi^{-0,5})\). Известно, что угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(60^\circ\). Найдите площадь сечения \(T\) конуса, проходящего через точку \(E\) и параллельного основанию конуса.




 

Рассмотрим треугольник \(ABC\), где \(B\) – некоторая точка на окружности основания. Так как \(AC\) – высота конуса, то \(AC\perp CB\), тогда \(\angle CAB = 90^\circ - \angle ABC = 30^\circ\), следовательно, \(AB = 2CB = 8\). По теореме Пифагора \[AC = \sqrt{AB^2 - CB^2} = 4\sqrt{3}.\]

Обозначим через \(D\) точку пересечения плоскости сечения \(T\) и \(AB\). Рассмотрим треугольник \(AED\): \[AE = AC - CE = 4\sqrt{3} - \sqrt{3}(4 - \pi^{-0,5}) = \sqrt{\dfrac{3}{\pi}}.\]

Так как сечение \(T\) параллельно плоскости основания, а \(AC\) – высота конуса, то \(AC\perp ED\), тогда \(\triangle AED\) – прямоугольный и \(\angle EAD = 30^\circ\), откуда \[ED = AE\cdot \mathrm{tg}\, \angle EAD = \sqrt{\dfrac{3}{\pi}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} = r\] – радиус сечения \(T\).

Таким образом, площадь сечения \(T\) равна \(\pi r^2 = \pi\cdot\dfrac{1}{\pi} = 1\).

Ответ: 1

Задание 9

Найдите \(f(g(2\alpha))\), если \(f(x) = (x - 1)^2 + \sin x\), \(g(y) = \sin y - \sin 3\cdot(\sin^2 y + \cos^2 3)\), \(\alpha = 1,5\).

Найдём \(g(2\alpha)\), затем подставим результат в качестве аргумента функции \(f\): \[g(2\alpha) = g(3) = \sin 3 - \sin 3\cdot(\sin^2 3 + \cos^2 3) = \sin 3 - \sin 3\cdot 1 = 0.\] Теперь найдём \(f(g(2\alpha)) = f(0) = (0 - 1)^2 + \sin 0 = 1\).

Ответ: 1

Задание 10

Аня подбросила толстого плохо обтекаемого кота. Высота, на которой он находился до достижения люстры, менялась по закону \[h = 1 + 8t - 8t^2,\] где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. После достижения люстры (которая висела на высоте \(h = 3\, м\)) кот провисел на ней \(1\) секунду и упал вместе с ней. Во время падения кота его высота до благополучного приземления на лапы менялась по закону \(h = 3 - 2t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента совместного падения кота и люстры. Сколько секунд с момента подбрасывания кот находился на высоте не менее \(1\) метра?

Моменты \(t\), в которые кот находился на высоте не менее \(1\) метра пока летел вверх, удовлетворяют двойному неравенству \[1 \leqslant 1 + 8t - 8t^2 \leqslant 3.\] Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство \(1 \leqslant 1 + 8t - 8t^2\). Оно равносильно неравенству \[t^2 - t \leqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 - t = 0\): \[t_1 = 0,\qquad\qquad t_2 = 1,\] тогда:



тогда решениями этого неравенства будут \(t\in[0; 1]\).

Рассмотрим теперь неравенство \(1 + 8t - 8t^2 \leqslant 3\). Оно равносильно неравенству \[4t^2 -4t + 1 \geqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(4t^2 -4t + 1 = 0\): \[t = 0,5,\] тогда:



но с учётом того, что \(t \geqslant 0\) подходят только \(t \geqslant 0\).

По условию задачи при достижении высоты \(3\) метра (как показано выше, это произошло в момент \(t = 0,5\)) кот зацепился на люстре и его высота больше не менялась по закону \(h = 1 + 8t - 8t^2\), следовательно из решений последнего неравенства нас интересуют только \(t\in[0; 0,5]\).

Тогда общее решение двух неравенств: \(t\in [0; 0,5]\), то есть пока кот летел вверх, он находился на высоте не менее \(1\) метра в течение \(0,5 - 0 = 0,5\) секунд.

Далее \(1\) секунду он висел на люстре, потом стал падать и до падения его высота менялась по закону \(h = 3 - 2t^2\).

Моменты \(t\), в которые он был на высоте не менее \(1\) метра, удовлетворяют неравенству \(3 - 2t^2 \geqslant 1\), которое равносильно \[t^2 \leqslant 1.\] Решим его методом интервалов. Найдём корни уравнения \(3 - 2t^2 = 1\): \[t_1 = -1,\qquad\qquad t_2 = 1,\] тогда:



так как нас интересуют только \(t \geqslant 0\), то в итоге, падая, кот находился на высоте не менее \(1\) метра в моменты \(t\in[0; 1]\), то есть в течение \(1 - 0 = 1\) секунды. В сумме он был на высоте не менее одного метра в течение \(0,5 + 1 + 1 = 2,5\) секунд.

Ответ: 2,5

Задание 11

Поезд едет с постоянной скоростью \(60\, км/ч\). Он проезжает мимо столба за \(45\) секунд. За сколько секунд он полностью переедет мост длиной \(1500\) метров?

За \(45\) секунд поезд проезжает \(750\, метров\), значит длина поезда и есть \(750\, метров\) (когда поезд проезжает мимо столба, изначально расстояние от последнего вагона до столба равно длине поезда, а в конце последний вагон проезжает мимо столба, значит, он перемещается на расстояние, равное длине поезда).

Чтобы полностью переехать мост длиной \(1500\, метров\) поезду длиной \(750\, метров\) понадобится \(45 \cdot 3 = 135\) секунд. Действительно, через \(45\) секунд после начала переезда первый вагон поезда окажется на середине моста.

Ещё через \(45\) секунд первый вагон начнёт покидать мост, а ещё через \(45\) секунд последний вагон покинет мост.

Ответ: 135

Задание 12

Найдите точку локального минимума функции

\(y = e^x \cdot \dfrac{x^2 + 4}{x^3}\).

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = e^x\left(\dfrac{x^2 + 4}{x^3} + \dfrac{2x^4 - 3x^2(x^2 + 4)}{x^6}\right) = \dfrac{e^x}{x^6}(x^5 - x^4 + 4x^3 - 12x^2).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{e^x}{x^6}(x^5 - x^4 + 4x^3 - 12x^2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^5 - x^4 + 4x^3 - 12x^2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^3 -x^2 + 4x - 12 = 0\] – на ОДЗ. Можно угадать корень \(x = 2\). После деления \(x^3 - x^2 + 4x - 12\) на \((x - 2)\) получим: \[x^2 + x + 6 = (x + 0,5)^2 + 5,75 > 0.\] Производная функции \(y\) не определена при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = \dfrac{e^x}{x^4}(x - 2)(x^2 + x + 6).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Значит \(x = 2\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 2

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \cos^4 x + \cos (4x) - 0,5\sin^2 (2x) + 15\sin^2 x + \sin^4 x = 5\cos^2 x + 1. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; \pi)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Используя формулу для косинуса двойного угла, исходное уравнение можно переписать в виде:

\[\begin{aligned} \cos^4 x - 0,5\sin^2 (2x) + \sin^4 x + (2\cos^2 (2x) - 1) + 15\sin^2 x - 5\cos^2 x - 1 = 0. \end{aligned}\]

Используя формулу для синуса двойного угла, полученное уравнение можно переписать в виде:

\[\begin{aligned} \cos^4 x - 2\sin^2 x\cdot\cos^2 x + \sin^4 x + (2\cos^2 (2x) - 1) + 15\sin^2 x - 5\cos^2 x - 1 = 0. \end{aligned}\]

Так как \(\cos^2 (2x) = (\cos^2 x - \sin^2 x)^2 = \cos^4 x - 2\sin^2 x\cdot\cos^2 x + \sin^4 x\), то последнее уравнение можно переписать в виде:

\[\begin{aligned} &\cos^2 (2x) + (2\cos^2 (2x) - 1) + 15\sin^2 x - 5\cos^2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\ &3\cos^2 (2x) + 10\sin^2 x + (5\sin^2 x - 5\cos^2 x) - 2 = 0\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\ &3\cos^2 (2x) + (5\sin^2 x - 5\cos^2 x) + (10\sin^2 x - 5) + 5 - 2 = 0. \end{aligned}\]

Используя формулы для косинуса двойного угла, последнее уравнение можно переписать в виде:

\[\begin{aligned} 3\cos^2 (2x) - 10\cos (2x) + 3 = 0. \end{aligned}\]

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\cos (2x)\).

Сделаем замену \(\cos (2x) = t\), тогда уравнение примет вид \[3t^2 - 10t + 3 = 0.\] Его дискриминант \(D = 100 - 36 = 64\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{10\pm 8}{6}\), откуда \(t_1 = 3\), \(t_2 = \dfrac{1}{3}\), следовательно,
\(\cos (2x) = 3\) или \(\cos (2x) = \dfrac{1}{3}\).

Так как \(\cos (2x)\leqslant 1\), то \(\cos (2x) = 3\) быть не может, следовательно, \(\cos (2x) = \dfrac{1}{3}\).

 

Уравнение \(\cos y = a\) имеет решения \(y = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   уравнение \(\cos (2x) = \dfrac{1}{3}\) имеет решения, для которых выполнено \(2x = \pm\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), тогда \[x = \pm\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}.\]

 

б) \[0 < \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} + \pi k < \pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} < \pi k < \pi - \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\quad\Leftrightarrow\] \[-\dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} < k < 1 - \dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\]

Так как \(\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\in (0; \pi)\), то \(-\dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\in (-0,5; 0)\). При этом \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\).

\[0 < -\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} + \pi k < \pi\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} < \pi k < \pi + \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\quad\Leftrightarrow\] \[\dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} < k < 1 + \dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\]

Так как \(\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\in (0; \pi)\), то \(\dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\in (0; 0,5)\). При этом \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = 1\): \(x = \pi - \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\).

Ответ:

а) \(\pm\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\), \(\pi - \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\).

Задание 14

\(ABCD\) – правильный тетраэдр с ребром \(6\). \(M, N, K\) – такие точки на ребрах \(AB, AD, CD\) соответственно, что \(AM=MB, DN=2NA=CK\). Плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(P\). Найдите расстояние от точки \(P\) до плоскости \(ACD\).

1) По условию \(ABCD\) представляет собой правильную треугольную пирамиду, все ребра которой равны \(6\). Найдем, в каком отношении точка\(P\) делит отрезок \(BC\). Для этого построим сечение пирамиды плоскостью \(MNK\). Продлим прямую \(NK\) до пересечения с прямой \(AC\) – получим точку \(Q\). Соединив точки \(Q\) и \(M\), получим линию пересечения основания – отрезок \(MP\) (сечением является четырехугольник \(MNKP\)).


 

По теореме Менелая для \(\triangle ADC\) и прямой \(QK\) имеем:

 

\(\dfrac{AN}{ND}\cdot \dfrac{DK}{KC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}=1 \Rightarrow QA=2\).

 

Аналогично для \(\triangle ABC\) и прямой \(QP\):

 

\(\dfrac{BM}{MA}\cdot \dfrac{AQ}{QC}\cdot \dfrac{CP}{PB}=1 \Rightarrow BP=\dfrac{6}{5}\).

 

2) Проведем \(PH\perp ADC\) и \(PF\perp AC\). Тогда по теореме о трех перпендикулярах \(HF\perp AC\), следовательно, \(\angle HFP=\angle (ABC, ACD)=\angle \alpha\). Найдем \(PH\) из треугольника \(PHF\). Для этого найдем \(PF\) и \(\angle \alpha\).

Проведем \(BL\perp AC\), тогда \(\angle BLD=\angle \alpha\). Треугольник \(BLD\) – равнобедренный (\(BL=LD=3\sqrt3, BD=6\)). По теореме косинусов найдем \(\cos \angle \alpha=\dfrac{1}{3}\)

 

Тогда \(\sin \angle \alpha = \dfrac{2\sqrt2}{3}=\dfrac{PH}{PF}\).

\(\triangle BLC \sim \triangle PFC \Rightarrow PF=\dfrac{12\sqrt3}{5}\)

Таким образом, \(PH=\dfrac{8\sqrt{6}}{5}\).

Ответ:

\(\dfrac{8\sqrt{6}}{5}\).

Задание 15

Может ли множество решений неравенства вида

\[\begin{aligned} \log_2 f(x)\leqslant \log_2 g(x) \end{aligned}\]

совпадать с \[(0; 1)\cup(2; 3)\cup(4; 5)\cup ...\] при некоторых функциях \(f(x)\) и \(g(x)\), таких что у них совпадает область определения и на области определения всюду \(f(x) > 0\), \(g(x) > 0\)?

ОДЗ:\[\begin{cases} f(x) > 0\\ g(x) > 0\\ \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} f(x)\leqslant g(x)\,. \end{aligned}\]

Таким образом, достаточно положить \(g(x) = f(x) + 1\), а \(f(x)\) выбрать так, чтобы \(f(x) > 0\) выполнялось на \((0; 1)\cup(2; 3)\cup(4; 5)\cup ...\).

Например, определим \(f(x)\) как функцию, область определения которой \((0; 1)\cup(2; 3)\cup(4; 5)\cup ...\) и на области определения \[f(x) = 1\] – при такой \(f(x)\) множество решений неравенства \[\log_2 f(x)\leqslant \log_2 \bigl(f(x) + 1\bigr)\] совпадает с требуемым в условии.

Ответ:

Да

Задание 16

Радиус окружности, вписанной в неравносторонний треугольник \(ABC\), равен \(r\), а длины его сторон – целые числа, образующие арифметическую прогрессию.

а) Докажите, что \(r\neq\dfrac{1}{2}\).

б) Найдите наименьшее возможное значение периметра треугольника \(ABC\), если \(r = 1\).

а) Так как стороны треугольника \(ABC\) образуют арифметическую прогрессию, то их длины можно представить в виде \(a\), \(a + d\), \(a + 2d\), где \(d > 0\) – натуральное.

Используя формулу Герона, можно получить равенство \[p\cdot r = S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - (a + d))(p - (a + 2d))},\] где \(p = \dfrac{3a + 3d}{2}\) – полупериметр, откуда \[12(a + d)\cdot r^2 = (a + 3d)(a + d)(a - d)\qquad\Rightarrow\qquad 12\cdot r^2 = (a + 3d)(a - d) = a^2 + 2ad - 3d^2,\] то есть \(a^2 + 2ad - 3(d^2 + 4r^2) = 0\), откуда \[a = -d\pm \sqrt{4d^2 + 12r^2},\] но при учёте \(a > 0\), получим \(a = \sqrt{4d^2 + 12r^2} - d\).

 

Пусть \(r = \dfrac{1}{2}\), тогда \(a = \sqrt{4d^2 + 3} - d\), откуда \(\sqrt{4d^2 + 3}\) – целое (следовательно, натуральное, ведь \(4d^2 > 0\)) число, то есть \(\sqrt{4d^2 + 3} = k\), где \(k\) – натуральное.

\(4d^2 + 3 = k^2\), откуда \[3 = (k - 2d)(k + 2d),\] то есть \(k + 2d\) – натуральный делитель числа \(3\) при том, что \(k\) и \(d\) натуральные, откуда \(k = d = 1\), но тогда \[(k - 2d)(k + 2d) = -3\neq 3.\] Полученное противоречие завершает доказательство.

 

б) Так как \(r = 1\), то \(a = \sqrt{4d^2 + 12} - d\), откуда \(\sqrt{4d^2 + 12}\) – целое (следовательно, натуральное) число, то есть \(\sqrt{4d^2 + 12} = k\), где \(k\) – натуральное.

\(4d^2 + 12 = k^2\), откуда \[12 = (k - 2d)(k + 2d).\] Так как \(k\) и \(d\) натуральные, то \(k - 2d\) целое, а \(k + 2d\) – натуральное, следовательно, число \(k - 2d\) – целое положительное (иначе его произведение с \(k + 2d\) отрицательно, но \(12 > 0\)), то есть натуральное число.

\[k + 2d - (k - 2d) = 4d\] – делится на \(4\). Среди всевозможных пар натуральных чисел, в произведнии дающих \(12\), только пара \(\{6; 2\}\) подходит под последнее условие, следовательно, \(d = 1\), \(k = 4\), что подходит, тогда \(a = 3\).

При этом у треугольника с длинами сторон \(3\), \(4\) и \(5\) площадь равна \(6\), следовательно, \(r = 1\) – подходит под условие, тогда периметр \(ABC\) равен \(12\).

Ответ:

б) \(12\).

Задание 17

Фермер взял кредит в банке на \(2\) года под \(y \%\) годовых, причем выплачивать кредит он должен равными ежегодными платежами. Под какое наибольшее целое число \(y\) процентов годовых он должен был взять кредит, чтобы его переплата по кредиту в конце второго года не превысила ежегодный платеж?

Введем обозначение: \(\dfrac{100+y}{100}=t, A\) – сумма кредита, \(x\) – ежегодный платеж. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{сумма долга до начисления } \% & \text{сумма долга после начисления } \% \text{и платежа}\\ \hline 1 & A & t\cdot A-x\\ \hline 2 & t\cdot A -x & t\cdot (t\cdot A-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце второго года он выплатил кредит, то \(t\cdot (t\cdot A-x)-x=0 \ (*)\).

 

Заметим, что за два года он заплатил банку \(2x\) рублей, значит, его переплата по кредиту составила \(2x-A\) рублей. Т.к. переплата не должна превышать ежегодный платеж, то имеем следующее неравенство:
\(2x-A \leqslant x \Rightarrow x-A \leqslant 0\).
Выразим из \((*)\) ежегодный платеж: \(x=\dfrac{t^2A}{t+1}\) и подставим в неравенство:

\(A\cdot \dfrac{t^2-t-1}{t+1} \leqslant 0 \Rightarrow \dfrac{t^2-t-1}{t+1} \leqslant 0\), т.к. \(A>0\).

Решив данное неравенство методом интервалов, получим: \(0 \leqslant t \leqslant \dfrac{1+\sqrt5}{2}\) (т.к. \(t\) не может быть отрицательным).

Сделав обратную замену \(\dfrac{100+y}{100}=t\), получим: \(y \leqslant 50\cdot(\sqrt5-1)\).

Для того, чтобы найти наибольшее целое \(y\), необходимо оценить \(50\cdot(\sqrt5-1)\).

\(223<\sqrt{50000}<224 \Rightarrow \\ 223<100\sqrt5<224 \Rightarrow \\ 2,23<\sqrt5<2,24 \Rightarrow \\ 61,5<50\cdot(\sqrt5-1)<62\).
Таким образом, наибольшее целое \(y=61\).

Ответ:

\(61 \%\).

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[2^{ax-\sqrt{x+1}}\cdot \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{ax+2}}+\log_9{(\sqrt{x+1}+2)}=0\]

имеет единственное решение.

Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\) (т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\)) и перепишем уравнение в виде: \[2^{ax}\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(ax+2)}=2^{\sqrt{x+1}}\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(\sqrt{x+1}+2)}\]

Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\) при \(t\geqslant 0\) (т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)).

Производная \(y'=\left( -2^t\cdot \log_9{(t+2)}\right)'=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left( \ln 2\cdot \ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\).

Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\) при всех \(t\geqslant 0\), то \(y'<0\) при всех \(t\geqslant 0\).

 

Следовательно, при \(t\geqslant 0\) функция \(y\) монотонно убывает.

 

Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\), где \(z=ax, t=\sqrt{x+1}\). Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\).

Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\), которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases} a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end{cases}\]

При \(a=0\) система имеет одно решение \(x=-1\), которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\).

 

Рассмотрим случай \(a\ne 0\). Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\) при всех \(a\). Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\)).

Это значит, что при \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Значит, \(a\in \mathbb{R}\).

Ответ:

\(a\in \mathbb{R}\).

Задание 19

Иван придумал функцию \(f(x)\), область определения которой \(\mathbb{R}\), а область значений – конечное подмножество \(\mathbb{R}\).

Настя придумала бесконечную последовательность, в которой каждый член, начиная с пятого, имеет вид \[a_n = f(f(f(a_{n - 4}) + a_{n - 3}) - a_{n - 1}).\] Можно ли с уверенностью утверждать, что начиная с некоторого номера \(N\) члены этой последовательности повторяются периодически c некоторым периодом \(T > 0\) (т.е. при любых \(k\in\mathbb{N}\) выполнено равенство \(a_{N + k} = a_{N + k + T}\))?

Заметим, что каждый член последовательности, начиная с пятого, однозначно определяется предыдущими четырьмя членами, следовательно, если в данной последовательности дважды встречается фрагмент \(a, b, c, d\), то есть она имеет вид \(a_1..., a, b, c, d, ..., a, b, c, d, ...\), то она периодическая.

Остаётся показать, что некоторый фрагмент такого вида действительно встретится в последовательности Насти не менее двух раз.

Так как область значений \(f(x)\) – конечное множество, то в этом множестве найдётся элемент, который встречается в последовательности бесконечное число раз. Обозначим этот элемент через \(a\).

Так как \(a\) встречается бесконечное число раз, а претендентов на роль правого соседа \(a\) лишь конечное число, то найдётся число \(b\), такое, что фрагмент \(a, b\) встречается в последовательности бесконечное число раз.

Так как фрагмент \(a, b\) встречается бесконечное число раз, а претендентов на роль правого соседа фрагмента \(a, b\) лишь конечное число, то найдётся число \(c\), такое, что фрагмент \(a, b, c\) встречается в последовательности бесконечное число раз.

Аналогично, найдётся число \(d\) такое, что фрагмент \(a, b, c, d\) встречается в последовательности бесконечное число раз, следовательно, Настина последовательность периодична.

Ответ:

Да