Найдите наименьшее значение функции \(y = e^{x^2 - 4}\) на отрезке \([-10; -2]\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = 2x\cdot e^{x^2 - 4}\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x\cdot e^{x^2 - 4} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Таким образом, \(y' = 0\) при \(x = 0\). Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-10; -2]\):
4) Эскиз графика на отрезке \([-10; -2]\):
Таким образом, наименьшего на \([-10; -2]\) значения функция достигает в \(x = -2\).
\[y(-2) = e^{4 - 4} = 1\,.\] Итого: \(1\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([-10; -2]\).
Ответ: 1