Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

 

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.

 

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).

 

\(\blacktriangleright\) Производная сложной функции \(f(t(x))\) ищется по правилу: \[{\Large{f'(x)=f'(t)\cdot t'(x)}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = e^{x^2 - 4}\) на отрезке \([-10; -2]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 2x\cdot e^{x^2 - 4}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x\cdot e^{x^2 - 4} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Таким образом, \(y' = 0\) при \(x = 0\). Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-10; -2]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([-10; -2]\):


 

Таким образом, наименьшего на \([-10; -2]\) значения функция достигает в \(x = -2\).

\[y(-2) = e^{4 - 4} = 1\,.\] Итого: \(1\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([-10; -2]\).

Ответ: 1

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = \sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2 + 1}\) на отрезке \([-1; 1]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = \sqrt{2}\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{2}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\sqrt{2}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-1; 1]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([-1; 1]\):


 

Таким образом, наибольшего на \([-1; 1]\) значения функция достигает в \(x = -1\) или в \(x = 1\). Сравним значения функции в этих точках.

\[y(-1) = \sqrt{2}\cdot\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2\qquad y(1) = \sqrt{2}\cdot\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2\,.\] Итого: \(2\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([-1; 1]\).

Ответ: 2

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = \cos 2x\) на отрезке \([0; \pi]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = -2\cdot \sin 2x\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb{Z}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac{\pi n}{2}, n\in\mathbb{Z}\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


(здесь бесконечное число промежутков, в которых чередуются знаки производной).

 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; \pi]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([0; \pi]\):


 

Таким образом, наименьшего на \([0; \pi]\) значения функция достигает в \(x = \dfrac{\pi}{2}\).

\[y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos \pi = -1\,.\] Итого: \(-1\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([0; \pi]\).

Ответ: -1

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции

\(y = -\log_{17}(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 > 0\). Решим на ОДЗ:

1) Обозначим \(2x^2-2\sqrt{2}x+2=t(x)\), тогда \(y(t)=-\log_{17}t\).

\[y' = y'_t\cdot t'_x = (-\log_{17}t)'\cdot(2x^2-2\sqrt{2}x+2)' = -\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{1}{t}\cdot(4x-2\sqrt{2}) = -\dfrac{1}{\ln 17}~\cdot~\dfrac{4x-2\sqrt{2}}{2x^2-2\sqrt{2}x+2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{4x-2\sqrt{2}}{2x^2-2\sqrt{2}x+2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt{2} = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корень \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Производная функции \(y\) не существует при \(2x^2-2\sqrt{2}x+2 = 0\), но у данного уравнения отрицательный дискриминант, следовательно, у него нет решений. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика:



Таким образом, наибольшее значение функция достигает в \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\):

\(y\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\log_{17}1 = 0\),

Итого: \(0\) – наибольшее значение функции \(y\).

Ответ: 0

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции

\(y = \log_{3}(x^2 + 8x + 19)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\). Решим на ОДЗ:

1) Обозначим \(x^2 + 8x + 19=t(x)\), тогда \(y(t)=\log_{3}t\).

\[y' = y'_t\cdot t'_x = (\log_{3}t)'\cdot(x^2 + 8x + 19)' = \dfrac{1}{\ln 3}\cdot\dfrac{1}{t}\cdot(2x+8) = \dfrac{1}{\ln 3}~\cdot~\dfrac{2x+8}{x^2 + 8x + 19}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{1}{\ln 3}\cdot\dfrac{2x+8}{x^2 + 8x + 19} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корень \(x = -4\). Производная функции \(y\) не существует при \(x^2 + 8x + 19 = 0\), но у данного уравнения отрицательный дискриминант, следовательно, у него нет решений. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика:



Таким образом, \(x = -4\) – точка минимума функции \(y\) и наименьшее значение достигается в ней:

\(y(-4) = \log_{3}3 = 1\).

Итого: \(1\) – наименьшее значение функции \(y\).

Ответ: 1

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции

\(y = -e^{(x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2)}\).

Добавить задание в избранное

1) Обозначим \(x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2=t(x)\), тогда \(y(t)=-e^{t}\).

\[y' = y'_t\cdot t'_x = (-e^{t})'\cdot(x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2)' = -e^{t}\cdot(2x-12) = -e^{x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2}\cdot(2x-12).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-e^{x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2}\cdot(2x-12) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x-12 = 0\] (так как \(e^{x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2} = e^{t}\), но \(e^{t} > 0\) при любом \(t\)), откуда находим корень \(x = 6\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика:



Таким образом, \(x = 6\) – точка максимума функции \(y\) и наибольшее значение достигается в ней:

\(y(6) = -e^{(2\ln 2)}=-e^{\ln 4} = -4\).

Итого: \(-4\) – наибольшее значение функции \(y\).

Ответ: -4

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции

\(y = e^{\cos x + \sin x - \sqrt{2}}\).

Добавить задание в избранное

1) Обозначим \(\cos x + \sin x - \sqrt{2}=t(x)\), тогда \(y(t)=e^{t}\). \[y' = y'_t\cdot t'_x = (e^{t})'\cdot(\cos x + \sin x - \sqrt{2})' = e^{t}\cdot(-\sin x + \cos x) = e^{\cos x + \sin x - \sqrt{2}}\cdot(-\sin x + \cos x).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[e^{\cos x + \sin x - \sqrt{2}}\cdot(-\sin x + \cos x) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad -\sin x + \cos x = 0\] (так как \(e^{\cos x + \sin x - \sqrt{2}} = e^{t}\), но \(e^{t} > 0\) при любом \(t\)), что равносильно \(\mathrm{tg}\, x = 1\) при \(\cos x \neq 0\), откуда находим корни \(x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, k \in -\mathbb{Z}\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\): (их бесконечно много, но они чередуются)



3) Эскиз графика:



Таким образом, \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) – точки локальных максимумов функции \(y\) и наибольшее значение достигается в одной из них:

\(y\left(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\right) = e^{\cos\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) - \sqrt{2}} = e^{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}} = e^{0} = 1\).

Итого: \(1\) – наибольшее значение функции \(y\).

Ответ: 1