Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на вписанные и описанные поверхности

\(\blacktriangleright\) Если многогранник \(M_1\) вписан в многогранник \(M_2\), то все вершины многогранника \(M_1\) обязаны лежать на поверхности многогранника \(M_2\).
Пример: куб вписан в правильную четырехугольную пирамиду


 

\(\blacktriangleright\) Если многогранник вписан в сферу, то все вершины многогранника лежат на поверхности сферы.
Пример:


 

Например, для того, чтобы конус был вписан в сферу, нужно, чтобы его вершина и граница основания лежали на поверхности сферы.


 

\(\blacktriangleright\) Если сфера вписана в многогранник, то она касается всех граней многогранника.
Пример:

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(SABCD\) – прямоугольная пирамида, вписанная в цилиндр, а \(ABCD\) – квадрат, \(SB\)– высота. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(36\pi\), а его объем равен \(72\pi\). Найдите объем пирамиды.

Добавить задание в избранное

Если разделить объем цилиндра на площадь боковой поверхности, то можно найти радиус окружностей, лежащих в основаниях цилиндра: \[\frac{V_{\text{цил.}}}{S_{\text{бок.пов.}}} = \frac{\pi R^2 H}{2\pi R H} = \frac{R}{2} = \frac{72\pi}{36\pi} = 2\] \(\Rightarrow\) \(R = 4\). Зная радиус, можно выразить высоту: \(2\pi4 H = 36\pi\) \(\Rightarrow\) \(H = 4,5\). Так как точка пересечения диагоналей квадрата совпадает с центром описанной вокруг него окружности, то диагональ квадрата равна диаметру окружности. Площадь квадрата можно найти как половину произведения диагоналей, тогда объем пирамиды равен: \[V_{SABCD} = \frac{1}{3} H \frac{1}{2}(2R)(2R) = \frac{1}{3} 4,5 \frac{1}{2}8^2 = 48\]

Ответ: 48

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Куб описан около сферы радиуса \(3\). Найдите объем куба.

Добавить задание в избранное

Так как сфера вписана в куб, то сторона куба равна диаметру сферы. Следовательно, сторона куба равна \(2\cdot 3=6\). Тогда объем куба равен \(6^3=216.\)

Ответ: 216

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен \(0,5\). Площадь боковой поверхности призмы равна \(8\). Найдите высоту цилиндра.

Добавить задание в избранное

Так как четырехугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен \(0,5\). Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть \(2\cdot 0,5=1\).
Так как все боковые грани призмы равны, то площадь одной грани равна \(8:4=2\). Каждая грань представляет собой прямоугольник, следовательно, ее площадь равна произведению бокового ребра призмы на сторону основания (квадрата). Следовательно, боковое ребро призмы равно \(2:1=2\). Высота цилиндра равна боковому ребру призмы, следовательно, ответ \(2\).

Ответ: 2

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Куб описан около шара, объем которого равен \(3\pi\). Найдите объем куба.

Добавить задание в избранное

Так как шар вписан в куб, то сторона куба равна диаметру шара. Так как объем шара равен \(3\pi\) и вычисляется по формуле \(\frac43\pi R^3\), то \[R^3=\dfrac{3\pi}{\frac43\pi}=\dfrac94\] Тогда объем куба равен \[V=(2R)^3=8R^3=18.\]

Ответ: 18

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Шар вписан в куб, площадь поверхности которого равна \(\dfrac9{\pi}\). Найдите площадь поверхности шара.

Добавить задание в избранное

Так как шар вписан в куб, то сторона куба равна диаметру шара. Так как все грани куба – равные квадраты, то площадь одной грани равна \(\frac9{\pi}:6=\frac3{2\pi}=a^2\), где \(a\) – сторона куба. Следовательно, радиус шара равен половине от \(a\): \(R=\frac12a\). Значит, \(R^2=\frac14a^2=\frac3{8\pi}\). Тогда площадь поверхности шара равна \[S=4\pi R^2=4\cdot \pi\cdot \dfrac3{8\pi}=1,5\]

Ответ: 1,5

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, объем которого равен \(7\pi\). Найдите объем призмы.

Добавить задание в избранное

Так как четырехугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат. Пусть радиус основания цилиндра равен \(R\), а сторона основания призмы \(a\). Тогда \(a=2R\). Пусть \(h\) – высота цилиндра. Тогда боковое ребро призмы также равно \(h\). Следовательно, объем цилиндра \[V_{\text{ц}}=\pi R^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad 7\pi=\pi R^2\cdot h\quad\Rightarrow\quad R^2\cdot h=7\] Объем призмы: \[V_{\text{п}}=a^2h=(2R)^2h=4R^2h=4\cdot 7=28.\]

Ответ: 28

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У правильной четырёхугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания равна \(2\sqrt{3}\), а площадь одной из боковых граней равна \(12\). Найдите радиус сферы, описанной около \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Добавить задание в избранное

Так как данная четырёхугольная призма – правильная, то её боковые грани – прямоугольники, следовательно, боковое ребро этой призмы (например, \(BB_1\)) равно \(12 : 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).


 

Пусть точка \(O\) – середина \(B_1D\), тогда \(O\) – центр описанной около \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сферы. Тогда искомый радиус равен половине \(B_1D\).

Так как \(BD\) – диагональ квадрата со стороной \(2\sqrt{3}\), то \(BD = 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{6}\). По теореме Пифагора \(B_1D^2 = BD^2 + B_1B^2\), тогда \[B_1D^2 = (2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 24 + 12 = 36\,,\] откуда находим: \(B_1D = 6\), следовательно, искомый радиус равен \(6 : 2 = 3\).

Ответ: 3