Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи формата ЕГЭ

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от \(1\) до \(21\) (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

 

а) Могли ли все полученные разности быть не меньше \(11\)?

 

б) Могли ли все полученные разности быть не меньше \(10\)?

 

в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа \(k\) можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше \(k\)?

Добавить задание в избранное

а) Ответ: нет.
Найдем среди всех чисел число \(11\). Несложно проверить, что все выражения \[11-1;\quad 11-2;\quad 11-3;\quad ...\quad 11-10\] меньше \(11\). Аналогично, все выражения \[21-11; \quad 20-11;\quad ...\quad 12-11\] также меньше \(11\). То есть какое бы число \(x\) ни стояло рядом с \(11\) (слева или справа), модуль разности между \(x\) и \(11\) будет меньше \(11\).

 

б) Ответ: да.
Приведем пример:

Объясним, как мы его построили. Мы уже поняли, что \(11\) – особенное число и что рядом с ним могут стоять только числа \(1\) или \(21\), чтобы разность между наибольшим из них и \(11\) была равна \(10\).
Разобьем все числа на группы:
— числа от \(1\) до \(10\);
— числа от \(12\) до \(21\).
Заметим, что числа из одной группы не могут стоять рядом, так как разность наибольшего и наименьшего будет меньше \(10\). Поэтому при расстановке будем чередовать числа из разных групп. Начнем: \[11;\quad 1; \quad 12;\quad 2;\quad 13;\quad 3; ...\] Закономерность легко прослеживается. Такими наводящими рассуждениями можно построить искомый пример.

 

в) Разобьем все числа на три группы:
— группа 1: от \(1\) до \(7\);
— группа 2: от \(8\) до \(14\);
— группа 3: от \(15\) до \(21\).
Все расставленные по кругу числа разобьем на 7 блоков по 3 числа в каждом:

Докажем, что \(k\leqslant 6\), от противного. Пусть \(k=7\). Тогда числа из одной группы не могут находиться в одном блоке, так как иначе разность либо соседних, либо стоящих через одно чисел по модулю будет меньше \(7\) (так как разность наибольшего и наименьшего чисел в одном блоке меньше \(7\)) \((*)\). Заметим, что не может быть блока, в котором не будет числа из группы 1: в противном случае 7 чисел из группы 1 должны разместиться не более чем в 6 блоках. Но тогда по принципу Дирихле найдется блок, в котором будут два числа из группы 1, что противоречит доказанному условию \((*)\).
Аналогично можно сказать про числа из группы 2 и группы 3.
Поэтому, не умаляя общности, можно считать, что справа от числа из группы 1 стоит число из группы 2, справа от числа из группы 2 – число из группы 3, справа от числа из группы 3 – число из группы 1 и т.д. (см. рисунок выше)

 

Следовательно, в каждом блоке будет ровно один представитель из каждой группы.
Пусть синие числа – представители группы 1, красные – группы 2, зеленые – группы 3.
Найдем число \(8\) на окружности. Тогда рядом с ним (справа или слева) и через один от него обязательно будут стоять числа \(a\) и \(b\) из группы 1. Так как наименьшие числа из группы 1 – это \(1\) и \(2\), то наибольшая разность среди \(8-a\) и \(8-b\) – это \(8-2=6\). Получили противоречие, следовательно, предположение неверно.
Покажем пример для \(k=6\):

 

Ответ:

а) нет

б) да

в) \(6\)

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Известно, что \(a, b, c, d\) – попарно различные положительные двузначные числа.

 

а) Может ли выполняться равенство \(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac7{23} \ ?\)

 

б) Может ли дробь \(\dfrac{a+c}{b+d}\) быть в 12 раз меньше, чем сумма \(\dfrac ab+\dfrac cd \ ?\)

 

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\dfrac{a+c}{b+d}\), если \(a>4b\) и \(c>7d \ ?\)

 

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Добавить задание в избранное

а) Предположим, что выполняется равенство \[\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac7{23}\] Тогда \(a+c=7k\), \(b+d=23k\), где \(k\) – натуральное число. Так как \(a, c\) – двузначные числа, то наименьшее значение \(a+c\geqslant 10+11=21\), следовательно, \(7k\geqslant 21 \quad\Rightarrow\quad k\geqslant 3\).
Возьмем \(k=3\). Тогда \(a+c=21\), \(b+d=69\). Следовательно, можно взять, например, \(a=10\), \(c=11\), \(b=16\), \(d=53\).
Ответ: да.

 

б) Предположим, что может быть \[12\cdot \dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac ab+ \dfrac cd\] Перепишем это равенство в другом виде: \[12\cdot \dfrac a{b+d}+12\cdot \dfrac c{b+d} = \dfrac ab+\dfrac cd\] Докажем, что \[12\cdot \dfrac a{b+d}>\dfrac ab \quad {\small{\text{и}}} \quad 12\cdot \dfrac c{b+d}>\dfrac cd\] Из этого будет следовать, что предположение неверно и такое равенство невозможно. Рассмотрим первое неравенство. \[12\cdot \dfrac a{b+d}>\dfrac ab \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac a{b+d}>\dfrac a{12b}=\dfrac a{b+11b}\] Так как все числа двузначные, то \(11b \geqslant 11\cdot 10=110\). Следовательно, \(d<11b\), а значит и левая дробь всегда строго больше правой.
Аналогично доказывается второе неравенство.
Следовательно, ответ: нет.

 

в) Так как все числа натуральные, то из \(a>4b\) можно сделать вывод, что \(a\geqslant 4b+1\). Аналогично \(c\geqslant 7d+1\). Подставим: \[\dfrac{a+c}{b+d} \geqslant \dfrac{4b+1+7d+1}{b+d}=4+\dfrac{3d+2}{b+d}\] Таким образом, наименьшее значение выражение будет принимать при наименьшем значении выражения \(\dfrac{3d+2}{b+d}\). Так как дробь тем меньше, чем больше ее знаменатель (при фиксированном числителе), то максимизируем знаменатель (то есть максимизируем \(b\)).
Так как \(a\) – двузначное, то максимальное значение для \(a\) – это 99, следовательно, \(4b+1\leqslant 99\), следовательно, \(b\leqslant 24\). Таким образом, получаем: \[\dfrac{a+c}{b+d} \geqslant 4+\dfrac{3d+2}{24+d}=4+\dfrac{3(d+24)+2-72}{d+24} =4+3-\dfrac{70}{d+24}\]

Теперь для того, чтобы полученное справа выражение было как можно меньше, нужно сделать как можно больше \(\dfrac{70}{d+24}\), то есть сделать как можно меньше \(d\).
Наименьшее значение для \(d\) – это \(10\). Следовательно: \[\dfrac{a+c}{b+d} \geqslant4+3-\dfrac{70}{10+24}=4\frac{16}{17}\] Таким образом, если наименьшее значение \(4\frac{16}{17}\) достигается, то \(b=24\), \(d=10\), \(a= 4\cdot 24+1=97\), \(c= 7\cdot 10+1=71\).

Ответ:

а) да

б) нет

в) \(4\frac{16}{17}\)