Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Смешанные неравенства

Задание 1 #1607
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \ln(-5e^x)\geqslant -1 \end{aligned}\]

Так как \(e^x > 0\) – при любом \(x\), то \(-5e^x < 0\), следовательно, \(\ln(-5e^x)\) не определён ни при каких \(x\in\mathbb{R}\).

Ответ:

\(\varnothing\)

Задание 2 #1608
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \ln(5e^x)\geqslant 1 \end{aligned}\]

Так как \(e^x > 0\) – при любом \(x\), то

\[\begin{aligned} &\ln(5e^x)\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad\ln(5e^x)\geqslant \ln e\qquad\Leftrightarrow\qquad 5e^x\geqslant e\qquad\Leftrightarrow\qquad e^{\ln 5}e^x\geqslant e\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad e^x\geqslant \dfrac{e}{e^{\ln 5}}\qquad\Leftrightarrow\qquad e^x\geqslant e^{1 - \ln 5}\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 1 - \ln 5\,. \end{aligned}\]

Ответ:

\([1-\ln 5; +\infty)\)

Задание 3 #1612
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} x\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) \leqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x + \dfrac{\pi}{2} > 0\\ x + \dfrac{\pi}{2}\neq 1\\ x + 3 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > -\dfrac{\pi}{2}\\ x \neq -\dfrac{\pi}{2} + 1 \end{cases} \end{aligned}\]

Заметим, что \[x + 3 > x + \dfrac{\pi}{2} + 1\]

Рассмотрим два случая:
1) \(x > -\dfrac{\pi}{2} + 1\), тогда \[\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) > 0\] и исходное неравенство равносильно \[x \leqslant 0,\] то есть в этом случае подходят \[x\in \left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\] 2) \(-\dfrac{\pi}{2} < x < -\dfrac{\pi}{2} + 1\), тогда \[\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) < 0\] и исходное неравенство равносильно \[x \geqslant 0,\] то есть в этом случае подходящих \(x\) нет.
В итоге ответ с учётом ОДЗ: \[x\in \left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\,.\]

Ответ:

\(\left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\)

Задание 4 #1609
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} (2x + 15)\log_{x + 2} (x^2 + 7x) \leqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x + 2 > 0\\ x + 2\neq 1\\ x^2 + 7x > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0 \end{aligned}\]

На ОДЗ \(2x + 15 > 0\), \(x + 2 > 1\), следовательно, исходное неравенство на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} \log_{x + 2} (x^2 + 7x) \leqslant \log_{x + 2} 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 7x - 1\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in\left[\dfrac{-7 - \sqrt{53}}{2}; \dfrac{-7 + \sqrt{53}}{2}\right]\).
Пересечём ответ с ОДЗ: \[x\in\left(0; \dfrac{-7 + \sqrt{53}}{2}\right]\]

Ответ:

\((0; -3,5 + 0,5\sqrt{53}]\)

Задание 5 #1611
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}(x - 3)}{(e^x + 2)\cdot\log_{2}(x + 11)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1\\ x - 3 > 0\\ e^x + 2\neq 0\\ \log_{2}(x + 11)\neq 0\\ x + 11 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 3\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}(x - 3)}{(e^x + 2)\cdot\log_{2}(x + 11)}\leqslant 0\qquad&\Rightarrow\qquad \dfrac{(x - 1)(x - 3 - 1)}{(e^x + 2)\cdot(2 - 1)(x + 11 - 1)}\leqslant 0\,. \end{aligned}\]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} x - 4\leqslant 0 \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ: \[x\in (3; 4].\]

Ответ:

\((3; 4]\)

Задание 6 #3901
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[4^{\frac{9x^2}4}- \left(\left(\frac32x+1\right)^{\log_{\frac32x+1}2}\right)^ {\frac{9x^2-4}4}\leqslant 3\]

ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} \dfrac32x+1>0\\[2ex] \dfrac32x+1\ne 1\end{cases}\quad \Leftrightarrow\quad x\in \left(-\dfrac23;0\right)\cup(0;+\infty)\] Решим неравенство на ОДЗ. Так как \(a^{\log_ab}=b\), то \[4^{\frac{9x^2}4}-2^{\frac{9x^2}4-1}\leqslant 3\] Сделаем замену \(t=2^{\frac{9x^2}4}\), \(t>0\), тогда \[t^2-0,5t-3\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(t+\frac32\right)(t-2)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t\in \left[-\dfrac32;2\right]\] Так как \(t>0\), то получаем \(t\leqslant 2\). Сделаем обратную замену: \[\begin{aligned} &2^{\frac{9x^2}4}\leqslant 2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{9x^2}4\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \left(x-\dfrac23\right)\left(x+\dfrac23\right)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &x\in \left[-\dfrac23;\dfrac23\right]\end{aligned}\] Пересечем ответ с ОДЗ и получим \[x\in \left(-\dfrac23; 0\right)\cup\left(0;\dfrac23\right]\]

Ответ:

\(x\in \left(-\frac23; 0\right)\cup\left(0;\frac23\right]\)

 

Задание 7 #1614
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{5^x} 25^{x + 1} + \log_{25^{x + 1}} 5^x - 2 > 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} 5^x > 0\\ 5^x \neq 1\\ 25^{x + 1} > 0\\ 25^{x + 1}\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in(-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(0; +\infty) \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\log_{5^x} 25^{x + 1} = y\):

\[\begin{aligned} y + \dfrac{1}{y} - 2 > 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{y^2 - 2y + 1}{y} > 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(y - 1)^2}{y} > 0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} y > 0\\ y\neq 1, \end{cases} \end{aligned}\]

откуда

\[\begin{aligned} \begin{cases} \log_{5^x} 25^{x + 1} > 0\\ \log_{5^x} 25^{x + 1}\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} \dfrac{2x + 2}{x} > 0\\ \dfrac{2x + 2}{x} \neq 1 \end{cases} \end{aligned}\]

Решая первое неравенство последней системы, получаем: \[x\in (-\infty; -1)\cup(0; +\infty)\] Решая второе неравенство последней системы, получаем: \[x\in (-\infty; -2)\cup(-2; 0)\cup(0; +\infty)\] В итоге: \[x\in (-\infty; -2)\cup(-2; -1)\cup(0; +\infty)\] – подходит по ОДЗ.

Ответ:

\((-\infty; -2)\cup(-2; -1)\cup(0; +\infty)\)