Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Смешанные неравенства

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \ln(-5e^x)\geqslant -1 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

Так как \(e^x > 0\) – при любом \(x\), то \(-5e^x < 0\), следовательно, \(\ln(-5e^x)\) не определён ни при каких \(x\in\mathbb{R}\).

Ответ:

\(\varnothing\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \ln(5e^x)\geqslant 1 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

Так как \(e^x > 0\) – при любом \(x\), то

\[\begin{aligned} &\ln(5e^x)\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad\ln(5e^x)\geqslant \ln e\qquad\Leftrightarrow\qquad 5e^x\geqslant e\qquad\Leftrightarrow\qquad e^{\ln 5}e^x\geqslant e\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad e^x\geqslant \dfrac{e}{e^{\ln 5}}\qquad\Leftrightarrow\qquad e^x\geqslant e^{1 - \ln 5}\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 1 - \ln 5\,. \end{aligned}\]

Ответ:

\([1-\ln 5; +\infty)\)

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} x\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) \leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x + \dfrac{\pi}{2} > 0\\ x + \dfrac{\pi}{2}\neq 1\\ x + 3 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > -\dfrac{\pi}{2}\\ x \neq -\dfrac{\pi}{2} + 1 \end{cases} \end{aligned}\]

Заметим, что \[x + 3 > x + \dfrac{\pi}{2} + 1\]

Рассмотрим два случая:
1) \(x > -\dfrac{\pi}{2} + 1\), тогда \[\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) > 0\] и исходное неравенство равносильно \[x \leqslant 0,\] то есть в этом случае подходят \[x\in \left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\] 2) \(-\dfrac{\pi}{2} < x < -\dfrac{\pi}{2} + 1\), тогда \[\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) < 0\] и исходное неравенство равносильно \[x \geqslant 0,\] то есть в этом случае подходящих \(x\) нет.
В итоге ответ с учётом ОДЗ: \[x\in \left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\,.\]

Ответ:

\(\left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\)

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} (2x + 15)\log_{x + 2} (x^2 + 7x) \leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x + 2 > 0\\ x + 2\neq 1\\ x^2 + 7x > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0 \end{aligned}\]

На ОДЗ \(2x + 15 > 0\), \(x + 2 > 1\), следовательно, исходное неравенство на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} \log_{x + 2} (x^2 + 7x) \leqslant \log_{x + 2} 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 7x - 1\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in\left[\dfrac{-7 - \sqrt{53}}{2}; \dfrac{-7 + \sqrt{53}}{2}\right]\).
Пересечём ответ с ОДЗ: \[x\in\left(0; \dfrac{-7 + \sqrt{53}}{2}\right]\]

Ответ:

\((0; -3,5 + 0,5\sqrt{53}]\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}(x - 3)}{(e^x + 2)\cdot\log_{2}(x + 11)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1\\ x - 3 > 0\\ e^x + 2\neq 0\\ \log_{2}(x + 11)\neq 0\\ x + 11 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 3\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}(x - 3)}{(e^x + 2)\cdot\log_{2}(x + 11)}\leqslant 0\qquad&\Rightarrow\qquad \dfrac{(x - 1)(x - 3 - 1)}{(e^x + 2)\cdot(2 - 1)(x + 11 - 1)}\leqslant 0\,. \end{aligned}\]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} x - 4\leqslant 0 \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ: \[x\in (3; 4].\]

Ответ:

\((3; 4]\)

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{5^x} 25^{x + 1} + \log_{25^{x + 1}} 5^x - 2 > 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} 5^x > 0\\ 5^x \neq 1\\ 25^{x + 1} > 0\\ 25^{x + 1}\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in(-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(0; +\infty) \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\log_{5^x} 25^{x + 1} = y\):

\[\begin{aligned} y + \dfrac{1}{y} - 2 > 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{y^2 - 2y + 1}{y} > 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(y - 1)^2}{y} > 0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} y > 0\\ y\neq 1, \end{cases} \end{aligned}\]

откуда

\[\begin{aligned} \begin{cases} \log_{5^x} 25^{x + 1} > 0\\ \log_{5^x} 25^{x + 1}\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} \dfrac{2x + 2}{x} > 0\\ \dfrac{2x + 2}{x} \neq 1 \end{cases} \end{aligned}\]

Решая первое неравенство последней системы, получаем: \[x\in (-\infty; -1)\cup(0; +\infty)\] Решая второе неравенство последней системы, получаем: \[x\in (-\infty; -2)\cup(-2; 0)\cup(0; +\infty)\] В итоге: \[x\in (-\infty; -2)\cup(-2; -1)\cup(0; +\infty)\] – подходит по ОДЗ.

Ответ:

\((-\infty; -2)\cup(-2; -1)\cup(0; +\infty)\)

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решить систему \[\begin{cases} 4^x\leqslant 9\cdot 2^x+22\\ \log_3(x^2-x-2)\leqslant 1+\log_3\dfrac{x+1}{x-2} \end{cases}\]

Добавить задание в избранное

1) Решим первое неравенство системы, ОДЗ которого: \(x\in\mathbb{R}\). С помощью замены \(2^x=t\) данное неравенство сводится к квадратичному:

\[t^2-9t-22\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad (t+2)(t-11)\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad -2\leqslant t\leqslant 11\]

Сделаем обратную замену, учитывая, что показательная функция всегда положительна, то есть \(t>0\):

\[-2\leqslant 2^x\leqslant 11\quad \Leftrightarrow \quad 2^x\leqslant 11 \quad \Leftrightarrow\quad x\leqslant \log_2{11}\]

2) Решим второе неравенство системы. Найдем его ОДЗ:

\[\begin{cases} x^2-x-2>0 \\ \dfrac{x+1}{x-2}>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (x+1)(x-2)>0\\ \dfrac{x+1}{x-2}>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)\]

Тогда на ОДЗ данное неравенство равносильно:

 

\(\log_3{(x+1)(x-2)}-\log_3\dfrac{x+1}{x-2}\leqslant 1 \quad \Rightarrow \quad \log_3{\dfrac{(x+1)(x-2)^2}{x+1}}\leqslant 1\quad \Rightarrow \quad \log_3(x-2)^2\leqslant 1\quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad (x-2)^2\leqslant 3 \quad \Leftrightarrow \quad -\sqrt3\leqslant x-2\leqslant \sqrt3 \quad \Leftrightarrow \quad 2-\sqrt3\leqslant x\leqslant 2+\sqrt3\)

 

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим: \[2<x\leqslant 2+\sqrt3\]

3) Теперь необходимо пересечь решения обоих неравенств:

\[\begin{cases} x\leqslant \log_2{11}\\ 2<x\leqslant 2+\sqrt3 \end{cases}\]

Заметим, что сразу не очевидно, кто больше: \(\log_2{11}\) или \(2+\sqrt3\) (т.к. оба числа принадлежат интервалу \((3;4)\)). Поэтому выполним сравнение.

 

\(\begin{aligned} \log_2{11}&\lor 2+\sqrt3\\ 11&\lor 2^{2+\sqrt3}\\ 11&\lor 4\cdot 2^{\sqrt3} \end{aligned}\)

 

Заметим, что \(\sqrt3>1,5\), следовательно, \(2^{\sqrt3}>2^{1,5}=2^{1+0,5}=2\cdot \sqrt2\). Заметим, что \(\sqrt2>1,4\), следовательно, \[\begin{aligned} 4\cdot 2\cdot 1,4&<4\cdot 2^{\sqrt3} \\ 11,2&<4\cdot 2^{\sqrt3}\\ 11&<4\cdot 2^{\sqrt3} \end{aligned}\]

Таким образом, мы доказали, что \(\log_2{11}< 2+\sqrt3\).

 

Следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим:

\[x\in (2;\log_2{11}].\]

Ответ:

\(x\in (2;\log_2{11}]\)