Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Смешанные неравенства

Задание 1 #1607
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \ln(-5e^x)\geqslant -1 \end{aligned}\]

Так как \(e^x > 0\) – при любом \(x\), то \(-5e^x < 0\), следовательно, \(\ln(-5e^x)\) не определён ни при каких \(x\in\mathbb{R}\).

Ответ:

\(\varnothing\)

Задание 2 #1608
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \ln(5e^x)\geqslant 1 \end{aligned}\]

Так как \(e^x > 0\) – при любом \(x\), то

\[\begin{aligned} &\ln(5e^x)\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad\ln(5e^x)\geqslant \ln e\qquad\Leftrightarrow\qquad 5e^x\geqslant e\qquad\Leftrightarrow\qquad e^{\ln 5}e^x\geqslant e\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad e^x\geqslant \dfrac{e}{e^{\ln 5}}\qquad\Leftrightarrow\qquad e^x\geqslant e^{1 - \ln 5}\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 1 - \ln 5\,. \end{aligned}\]

Ответ:

\([1-\ln 5; +\infty)\)

Задание 3 #1612
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} x\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) \leqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x + \dfrac{\pi}{2} > 0\\ x + \dfrac{\pi}{2}\neq 1\\ x + 3 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > -\dfrac{\pi}{2}\\ x \neq -\dfrac{\pi}{2} + 1 \end{cases} \end{aligned}\]

Заметим, что \[x + 3 > x + \dfrac{\pi}{2} + 1\]

Рассмотрим два случая:
1) \(x > -\dfrac{\pi}{2} + 1\), тогда \[\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) > 0\] и исходное неравенство равносильно \[x \leqslant 0,\] то есть в этом случае подходят \[x\in \left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\] 2) \(-\dfrac{\pi}{2} < x < -\dfrac{\pi}{2} + 1\), тогда \[\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) < 0\] и исходное неравенство равносильно \[x \geqslant 0,\] то есть в этом случае подходящих \(x\) нет.
В итоге ответ с учётом ОДЗ: \[x\in \left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\,.\]

Ответ:

\(\left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\)

Задание 4 #1609
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} (2x + 15)\log_{x + 2} (x^2 + 7x) \leqslant 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 12:00

Задание 5 #1611
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}(x - 3)}{(e^x + 2)\cdot\log_{2}(x + 11)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1\\ x - 3 > 0\\ e^x + 2\neq 0\\ \log_{2}(x + 11)\neq 0\\ x + 11 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 3\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}(x - 3)}{(e^x + 2)\cdot\log_{2}(x + 11)}\leqslant 0\qquad&\Rightarrow\qquad \dfrac{(x - 1)(x - 3 - 1)}{(e^x + 2)\cdot(2 - 1)(x + 11 - 1)}\leqslant 0\,. \end{aligned}\]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} x - 4\leqslant 0 \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ: \[x\in (3; 4].\]

Ответ:

\((3; 4]\)

Задание 6 #3901
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[4^{\frac{9x^2}4}- \left(\left(\frac32x+1\right)^{\log_{\frac32x+1}2}\right)^ {\frac{9x^2-4}4}\leqslant 3\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 12:00

Задание 7 #1614
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{5^x} 25^{x + 1} + \log_{25^{x + 1}} 5^x - 2 > 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 12:00