Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж

Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами.
При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.

 

Пусть, например, клиент взял \(2,1\) млн рублей в банке под \(10\%\) годовых и должен погасить кредит через \(2\) года. Для того, чтобы понять, сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж \(x\), можно составить таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после платежа}\\ \hline 1&2,1&2,1\cdot 0,01(100+10)=1,1\cdot 2,1&1,1\cdot 2,1-x\\ \hline 2&1,1\cdot2,1-x&(1,1\cdot2,1-x)\cdot0,01(100+10)&1,1(1,1\cdot2,1-x)-x\\ \hline \end{array}\] Т.к. в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю. То есть \(1,1(1,1\cdot2,1-x)-x=0\Leftrightarrow 1,1^2\cdot2,1-x(1,1+1)=0\).

 

Отсюда находим ежегодный платеж \(x=1,21\) млн рублей.

 

В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула: \[{\Large{\left(\frac{100+r}{100}\right)^n\cdot A-x\left(\left(\frac{100+r}{100}\right)^{n-1}+\left(\frac{100+r}{100}\right)^{n-2}+\dots+1\right)=0}}\] где \(A\) – сумма, взятая в кредит, \(r\%\) – процентная ставка в банке, \(x\) – сумма платежа, \(n\) – количество лет (месяцев), на которое взят кредит.

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Екатерина взяла кредит в банке на сумму \(680\,000\) рублей, которую ей не хватало для покупки квартиры. Кредит она решила взять \(1\) марта на \(2\) месяца на следующих условиях:
\(17\)-ого числа каждого месяца, начиная с марта, долг увеличивается на \(12,5 \%\) по сравнению с долгом на начало текущего месяца;
– в период с \(18\)-ого по \(30\)-ые числа Екатерина должна выплатить часть долга одним платежом, причем ежемесячные платежи одинаковы.
Сколько рублей составила переплата Екатерины по данному кредиту?

Добавить задание в избранное

Заметим, что \(\dfrac{112,5}{100}=\dfrac{9}{8}\).

 

Составим таблицу (суммы будем записывать в тыс. рублей), \(x\) – ежемесячный платеж: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Сумма долга до начисления } \% & \text{Сумма долга после начисления } \% \text{ и платежа} \\[5pt] \hline 1 & 680 & \frac{9}{8}\cdot 680 - x \\[5pt] \hline 2 & \frac{9}{8}\cdot 680 - x & \frac{9}{8}\left(\frac{9}{8}\cdot 680 - x\right)-x\\[5pt] \hline \end{array}\]

\(\Rightarrow \dfrac{9}{8}\left(\dfrac{9}{8}\cdot 680 - x\right)-x=0 \Rightarrow x=405\) тыс. рублей.

 

Таким образом, переплата по кредиту составила \(2x-A=130\) тыс. рублей.

Ответ:

\(130\,000\) рублей.

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Бизнесмен Олег в январе \(2016\) года взял кредит в банке под \(20 \%\) годовых, причем выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту составила \(675\,500\) рублей?

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) рублей – сумма кредита, \(x\) рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления } \% & \text{Сумма долга после начисления } \% \text{ и платежа}\\ \hline 1 & A & 1,2A-x\\ \hline 2 & 1,2A-x & 1,2(1,2A-x)-x\\ \hline 3 & 1,2(1,2A-x)-x & 1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Следовательно, \(1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x=0 \ (*)\).

 

Всего за три года Олег выплатил банку \(3x\) рублей, а его переплата составила \(3x-A=675\,500\) рублей. Отсюда \(A=3x-675\,500\). Подставим это значение в \((*)\):

 

\(1,2^3\cdot (3x-675\,500)-x(1,2^2+1,2+1)=0 \Rightarrow \)  

\(x= \dfrac{1,2^3\cdot 675\,500}{3\cdot1,2^3-1,2^2-2,2}=\dfrac{12^3\cdot 675\,500}{1\,544}=756\,000 \Rightarrow 3x=2\,268\,000\) рублей.

Ответ:

\(2\,268\,000\) рублей.

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В банке был взял кредит на некоторую сумму денег на 3 года. Кредит необходимо выплачивать равными платежами раз в год, причем известно, что каждый год перед выплатой текущая сумма долга увеличивается на четверть.
Найдите, сколько процентов составит переплата по такому кредиту. В случае необходимости ответ округлите до целого числа.

Добавить задание в избранное

Так как кредит нужно выплачивать равными ежегодными платежами, то платежи аннуитетные. Пусть \(x\) рублей — этот ежегодный платеж, \(A\) рублей – сумма кредита.
Сумма долга каждый год увеличивается на четверть, то есть на \(\frac14\). Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг на начало года}&\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\[2ex] \hline 1& A&A+\frac 14A=\frac 54A&\frac 54A-x\\[2ex] \hline 2& \frac 54A-x& \frac54\left(\frac54A-x\right)& \frac54\left(\frac54A-x\right)-x\\[2ex] \hline 3&\frac54\left(\frac54A-x\right)-x& \frac54\left(\frac54\left(\frac54A-x\right)-x\right)& \frac54\left(\frac54\left(\frac54A-x\right)-x\right)-x\\[2ex] \hline \end{array}\] Таким образом, имеем: \[\frac54\left(\frac54\left(\frac54A-x\right)-x\right)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\left(\frac54\right)^3}{\left(\frac54\right)^2+\frac54+1}\cdot A\]

Переплата по кредиту равна \(3x-A\), следовательно, необходимо найти: \[\dfrac{3x-A}{A}\cdot 100\%= \left(\dfrac{3\cdot \left(\frac54\right)^3} {\left(\frac54\right)^2+\frac54+1}-1\right)\cdot 100\%=\left(\dfrac{3\cdot 5^3}{5^2\cdot 4+5\cdot 4^2+4^3}-1\right)\cdot 100\%=\dfrac{131}{244}\cdot 100\%\sim 54\%.\]

Ответ: 54

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Банк выдает кредит скором на 4 года под \(25\%\) годовых. Вычислите, на сколько процентов переплата по такому кредиту превышает платеж, если гасить кредит нужно равными ежегодными выплатами.

Добавить задание в избранное

Пусть кредит взят на сумму \(A\), пусть \(x\) – ежегодный платеж. Составим таблицу. \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг на начало года}&\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\ \hline 1&A&1,25\cdot A&1,25\cdot A-x\\ \hline 2&1,25\cdot A-x&1,25(1,25\cdot A-x)&1,25(1,25\cdot A-x)-x\\ \hline 3&1,25(1,25\cdot A-x)-x&1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-x)&1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-x)-x\\ \hline 4&1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-&1,25(1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-& 1,25(1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-\\ &-x)-x&-x)-x)&-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Тогда имеем уравнение: \[1,25(1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac Ax=\dfrac{1,25^3+1,25^2+1,25+1}{1,25^4}\]

Переплата по кредиту равна \(4x-A\). Следовательно, число процентов, которое составляет переплата от платежа, равно: \[\dfrac{4x-A}{x}\cdot 100\%=\left(4-\dfrac Ax\right)\cdot 100\%\]

Заметим, что \(1,25=\frac54\). Тогда: \[\left(4-\dfrac{5^3\cdot 4+5^2\cdot 4^2+5\cdot 4^3+4^4}{5^4}\right)\cdot 100\%= \left(4-\dfrac{500+400+320+256}{625}\right)\cdot 100\%=\dfrac{1024\cdot 4}{25}\%=\dfrac{1024\cdot 4^2}{100}\%=163,84\%\]

Значит, переплата превышает платеж на \(63,84\%\).

Ответ: 63,84

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Банк “Европа”  предлагает потребительский кредит на сумму \(664\,200\) рублей под \(25 \%\) годовых при условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами. Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на условия банка?

Добавить задание в избранное

Составим таблицу, обозначив за \(x\) рублей ежегодный платеж, \(A=664\,200\) рублей.

 

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\text{ и платежа} \\ \hline 1 & A & 1,25A-x\\ \hline 2 & 1,25A-x & 1,125(1,25A-x)-x\\ \hline 3 & 1,25(1,25A-x)-x & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x \\ \hline 4 & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x & 1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, \(1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x=0\).

Отсюда \(x=\dfrac{1,25^4\cdot A}{(1,25^2+1)(1,25+1)}\).

Заметим, что \(1,25=\dfrac{5}{4} \Rightarrow\)

\(x=\dfrac{5^4\cdot 664\,200}{4\cdot 9\cdot 41}\).

Выполнив сокращения, получим, что \(x=281\,250\) рублей.

Ответ:

\(281\,250\) рублей.

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под \(12,5\%\) годовых. Кредит он должен выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила \(65\,240\) рублей.

Добавить задание в избранное

Составим таблицу, обозначив за \(A\) руб. сумму кредита, а за \(x\) руб. ежегодный платеж.

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг в руб.} & \text{Долг в руб.} & \text{Долг в руб.}\\ & \text{до начисления} & \text{после начисления} & \text{после внесения} \\ & \text{процентов} & \text{процентов} & \text{платежа} \\ \hline 1&A &1,125A &1,125A-x \\ \hline 2&1,125A-x &1,125(1,125A-x) &1,125(1,125A-x)-x \\ \hline 3&1,125(1,125A-x)-x &1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125A- \\ & &-x)-x) &-x)-x)-x\\ \hline 4&1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A-x)- \\ & -x)-x)-x &-x)-x)-x) &-x)-x)-x \\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то

\[1,125(1,125(1,125(1,125A-x)-x)-x)-x=0\]

Это уравнение преобразуется в уравнение вида:

\[1,125^4A-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0 \ \ (*)\]

Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку \(4x\) рублей, а, значит, его переплата составила \(4x-A\) рублей. Т.к. \(4x-A=65\,240\), то \(A=4x-65\,240\). Значит:

\[1,125^4(4x-65\,240)-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0\]

Заметим также, что \(1,125=\dfrac{9}{8} \Rightarrow\)

\[x=\dfrac{9^4\cdot 2^3\cdot 5\cdot 7\cdot233}{9^4\cdot4-8(9^3+9^2\cdot8+9\cdot8^2+8^3)}=65\,610\]

Значит, ежегодный платеж составил \(65\,610\) рублей.

Ответ:

\(65\,610\) рублей.

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Для покупки квартиры Алексею не хватало \(1\,209\,600\) рублей, поэтому в январе \(2015\) года он решил взять в банке кредит под \(10 \%\) годовых на \(2\) года. Условия пользования кредитом таковы:
– раз в год \(15\) декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты (т.е. долг увеличивается на \(10\%\));
– в период с \(16\) по \(31\) декабря Алексей обязан перевести в банк некоторую сумму \(x\) рублей (сделать платеж).
Какова должна быть сумма \(x\), чтобы Алексей выплатил долг равными платежами?

Добавить задание в избранное

Т.к. процентная ставка в банке равна \(10 \%\), то \(15\) декабря \(2015\) года долг Алексея составит \(110 \%\) от первоначальной суммы (\(1\,209\,600\) рублей), т.е. будет равен \(1,1\cdot 1\,209\,600\) рублей. После этого Алексей переводит банку \(x\) рублей, то есть его долг уменьшается на \(x\) и будет равен \((1,1\cdot 1\,209\,600 -x)\) рублей.

 

До \(15\) декабря \(2016\) года долг Алексея остается неизменным, т.е. равен \((1,1\cdot 1\,209\,600 -x)\) рублей. \(15\) декабря \(2016\) банк снова увеличивает долг на \(10 \%\), т.е. долг Алексея уже будет равен \(1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)\) рублей.

 

После этого Алексей снова переводит банку \(x\) рублей, следовательно, долг равен \(1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)-x\).

 

Т.к. в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то
\(1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)-x=0 \Rightarrow\)
\(1,1^2\cdot 1\,209\,600-1,1x-x=0 \Rightarrow x=\dfrac{1,1^2 \cdot 1\,209\,600}{1,1+1}=696\,960\)

 

Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} &\text{Сумма долга до начисления }\% &\text{После начисления } \% &\text{После платежа}\\ & \text{(до 15 декабря)} &\text{(15 декабря)} &\text{(с 16 по 31 декабря)}\\ \hline 1 & 1\,209\,600 &1,1\cdot 1\,209\,600 &1,1\cdot 1\,209\,600-x\\ \hline 2 & 1,1\cdot 1\,209\,600-x &1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x) &1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)-x\\ \hline \end{array}\]

Ответ:

\(696\,960\) рублей.

1 2 3

Задачи, затрагивающие сферу финансовой математики, к примеру, на расчет аннуитетного платежа по кредиту, с недавнего времени добавлены во вторую часть ЕГЭ.

Именно поэтому выпускники, которые готовятся к сдаче аттестационного испытания, должны в обязательном порядке уметь справляться с подобными заданиями.

Решение задач по банковскому делу по кредиту предполагает наличие у учащихся базовых навыков анализа числовых данных и осуществления практических расчетов по формулам. Если подобные задания являются для вас достаточно сложными, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». Наши специалисты подобрали задачи на аннуитетные платежи, подобные тем, которые встречаются в аттестационном испытании. Поняв, как правильно решать такие задания, учащиеся смогут успешно справиться с экзаменом и получить достойные баллы.

Необходимо запомнить!

Когда будете решать задачи по банковскому кредиту, рекомендуем учесть несколько важных нюансов.

При аннуитетном платеже выплата долга осуществляется фиксированной суммой, которая остается единой в течение всего периода оплаты. Такой способ имеет важное преимущество. В первые месяцы пользования займом аннуитетный платеж будет меньше, чем суммарная выплата по классической схеме. При этом важно учесть, что досрочное погашение кредита в данном случае не будет выгодным.

Как подготовиться к экзамену?

Для того чтобы задачи, содержащие конкретные примеры расчета банковского кредита в ЕГЭ, давались вам легко, рекомендуем ознакомиться с базовым материалом, собранным специалистами образовательного портала «Школково». Для этого необходимо посетить раздел «Теоретическая справка».

Отработать полученные знания вам помогут задачи по данной теме, представленные на сайте. Для каждого задания наши специалисты прописали алгоритм решения и привели правильный ответ.

Изучить пример расчета аннуитетного платежа и выполнить аналогичные задачи школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн.