Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку максимума функции \(y = -x^2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = -2x\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика:


 

Таким образом, \(x = 0\) – точка максимума функции \(y\).

Ответ: 0

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку минимума функции \(y = x^2 + 2x + 2\) на отрезке \([-2; 2]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 2x + 2\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x + 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-2; 2]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([-2; 2]\):


 

Таким образом, \(x = -1\) – точка минимума функции \(y\) на \([-2; 2]\).

Ответ: -1

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку минимума функции \(y = 3x^2 - 6x + \pi\) на отрезке \([-3; 3]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 6x - 6\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[6x - 6 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-3; 3]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([-3; 3]\):


 

Таким образом, \(x = 1\) – точка минимума функции \(y\) на \([-3; 3]\).

Ответ: 1

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции \(y = x^3 - 3x\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 3x^2 - 3\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 - 3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \pm 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 1\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 1

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции

\(y = x^3 - 15x^2 + 48x + e\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = 3x^2 - 30x + 48 = 3(x^2 - 10x + 16)\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\[3(x^2 - 10x + 16) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 10x + 16 = 0,\] откуда находим \(x_1 = 2, \ x_2 = 8\). Таким образом, \[y' = 3(x - 2)(x - 8).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 2\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: 2

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 8x^2 + 55x + 11\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = x^2 - 16x + 55\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\(x^2 - 16x + 55 = 0\), откуда находим корни \(x_1 = 5, \ x_2 = 11\). Таким образом, \[y' = (x-5)(x-11).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 5\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: 5

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x + 2\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = x^2 - 6x + 8\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\(x^2 - 6x + 8 = 0\), откуда находим корни \(x_1 = 2, \ x_2 = 4\). Таким образом, \[y' = (x-2)(x-4).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 4\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 4

1 2