Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Признаки и свойства равнобедренной трапеции

\(\blacktriangleright\) Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

 

Свойства равнобедренной трапеции:

 

\(\blacktriangleright\) Углы при каждом основании равны;

 

\(\blacktriangleright\) Диагонали равны;

 

\(\blacktriangleright\) Два треугольника, образованные диагоналями и одним из оснований, являются равнобедренными;

 

\(\blacktriangleright\) Два треугольника, образованные диагоналями и боковой стороной, равны.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В трапеции \(ABCD\): \(AB = CD\), \(\angle C - \angle A = 80^{\circ}\). Найдите \(\angle D + \angle B - \angle C\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда \(\angle B = \angle C\) и, следовательно, \(\angle D + \angle B - \angle C = \angle D = \angle A\).

У равнобедренной трапеции сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\) (так как \(\angle C = \angle B\), а \(\angle A + \angle B = 180^{\circ}\), как сумма односторонних при параллельных прямых и секущей).

\(\angle A + \angle C = 180^{\circ}\),

\(\angle C - \angle A = 80^{\circ}\)
тогда, вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем \(2\cdot \angle A = 100^{\circ}\). В итоге имеем: \(\angle D + \angle B - \angle C = \angle A = 50^{\circ}\).

Ответ: 50

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ


 

Диагонали в равнобедренной трапеции \(ABCD\) перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если диагональ \(AC\) равна \(2\).

Добавить задание в избранное

В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому \(AC = BD = 2\). Пускай \(O\) – точка пересечения диагоналей.

\[\begin{gathered} S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BO + \frac{1}{2}\cdot AC \cdot OD =\\ =\frac{1}{2}\cdot AC \cdot(BO + OD) = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\end{gathered}\]

 

Ответ: 2

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ


 

Найдите диагонали равнобедренной трапеции, если они перпендикулярны, а площадь трапеции равна \(8\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(ABCD\) — трапеция с диагоналями \(AC\) и \(BD\), \(O\) – точка их пересечения, тогда
\(S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BO + \frac{1}{2}\cdot AC \cdot OD = \)
\(\frac{1}{2}\cdot AC \cdot(BO + OD) = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2}\cdot AC^2 = 8\) \(\Rightarrow\) \(AC = 4\).

Ответ: 4

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) вдвое длиннее основания \(BC\) и боковой стороны. Найдите острый угол трапеции.

Добавить задание в избранное


 

Если опустить высоты \(BH\) и \(CK\) на основание \(AD\), то они отсекут равные отрезки \(AH\) и \(KD\), причем \(AB = BC = HK\) \(\Rightarrow\) \(AH = \frac{AD - HK}{2} = \frac{HK}{2} = \frac{AB}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\angle ABH = 30^\circ\), как угол в прямоугольном треугольнике, противолежащий катету, равному половине гипотенузы \(\Rightarrow\) \(\angle BAK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Ответ: 60

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(ABCD\) – трапеция с основаниями \(AD\) и \(BC\). При этом \(AB = CD = 6\), \(BC = 4\), один из углов трапеции \(ABCD\) равен \(60^{\circ}\). Найдите \(AD\).



Добавить задание в избранное

Пусть \(\angle A = 60^{\circ}\), \(BE\) – высота в треугольнике \(ABD\). \(\angle ABE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы, тогда \(AE = 0,5\cdot 6 = 3\).



У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда \(\angle D = 60^{\circ}\). Пусть \(CF\) – высота в треугольнике \(ACD\), тогда аналогично тому, как находили \(AE\), находим, что \(FD = 3\). \(EF = BC\), так как \(BCFE\) – прямоугольник. Тогда \(AD = AE + EF + FD = 3 + 4 + 3 = 10\).

Ответ: 10

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагонали в равнобедренной трапеции \(ABCD\) перпендикулярны. \(O\) – точка пересечения диагоналей, причем \(AO:OC = 7:1\). Найдите периметр трапеции, если меньшее основание равно \(1\).

Добавить задание в избранное


 

\(BC\) – меньшее основание, треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\) подобны и их стороны относятся как \(1:7\) \(\Rightarrow\) \(BC:AD = 1:7\) \(\Rightarrow\) \(AD = 7\); \(OB = OC\), \(OB^2 + OC^2 = 1^2\) \(\Rightarrow\) \(OB = OC = \frac{1}{\sqrt2}\) \(\Rightarrow\) \(AO = \frac{7}{\sqrt2}\). В \(\triangle ABO\): \(AO^2 + OB^2 = AB^2\) \(\Rightarrow\) \(AB = 5\). Тогда \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 1 + 7 + 5 + 5 = 18\).

Ответ: 18

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) биссектриса \(\angle ABC\) параллельна боковой стороне \(CD\) и пересекает основание \(AD\) в точке \(K\), которая делит \(AD\) в отношении \(AK:KD = 1:2\). Найдите периметр трапеции, если меньшее основание равно \(4\).

Добавить задание в избранное


 

\(BCDK\) – параллелограмм, т.к. противоположные стороны попарно параллельны; \(\angle AKB = \angle KBC\), т.к. накрест лежащие при параллельных \(BC\) и \(AD\); \(\angle BAK = \angle CDK = \angle KBC\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABK\) – равносторонний треугольник. \(BC = KD = 4\) \(\Rightarrow\) \(AK = 2 = AB = CD\) \(\Rightarrow\) \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + KD + AK = 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 14\).

Ответ: 14

Учащимся старших классов, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике, в обязательном порядке стоит повторить тему «Равнобедренная трапеция» и освежить в памяти ее основные свойства и признаки. Многолетняя практика показывает, что подобные задания ежегодно встречаются в программе аттестационного испытания. Поэтому, если вы хотите успешно решить задачи ЕГЭ на применение основных свойств диагоналей или углов равнобедренной трапеции, вам непременно стоит разобраться в этой теме.

Образовательный портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс позволяет учащимся определить наиболее сложные темы и ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и изложили весь материал в максимально доступной форме.

Чтобы выпускники могли успешно справляться с геометрическими задачами, мы рекомендуем вспомнить определение равнобедренной трапеции, свойства ее сторон, углов и диагоналей, а также формулу для вычисления площади. Эта информация представлена в разделе «Теоретическая справка».

Вспомнив основные свойства углов, диагоналей и сторон равнобедренной трапеции, учащиеся имеют возможность закрепить усвоенный материал, выполнив практические задания. Упражнения различного уровня сложности представлены в разделе «Каталог». В каждом из них вы найдете подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Практиковаться в выполнении заданий при подготовке к ЕГЭ выпускники могут в режиме онлайн, находясь не только в Москве, но и в любом другом городе России. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.