9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[\Large{{\color{royalblue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad
\log_a{b}=t}}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in
\mathbb{R}\).
\(\blacktriangleright\) Если \(a,b,c\) – числа, удовлетворяющие ограничениям: \(a,b,c>0,\ a\ne 1\), то справедливы следующие формулы:
\[\begin{array}{|ccc|} \hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&\textbf{(2)} \log_aa=1\\ &&\\ \textbf{(3)} \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab&&\textbf{(4)} a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\ &&\\ \textbf{(5)} \log_a{bc}=\log_ab+\log_ac&&\textbf{(6)} \log_a{\dfrac bc}=\log_ab-\log_ac\\ &&\\ \textbf{(7)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \text{или} &\textbf{(7'}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \hline \end{array}\]
Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!
Некоторые частные случаи, которыми удобно пользоваться:
\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (3) и (4): \[m=\log_a{a^m} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ b=a^{\log_ab}\]
С помощью первой формулы нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:
\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\);
а с помощью второй – как заменить число на степень с нужным основанием:
\(4=3^{\log_34}\).
\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (7) и (7’): \[\log_ab\cdot \log_ba=1 \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \
\ \
\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\]
Пример:
\(\log_3{25}+\dfrac2{\log_{\frac15}3}={\small{\text{(применили}}} \
{\small{\text{ формулу}}} \
(2))=\log_3{25}+2\log_3{\dfrac15}=\log_3{25}+\log_3{\dfrac1{25}}=\log_3{\left(25\cdot\dfrac1{25}\right)}=0\)
Найдите значение выражения \((\log_{17}289) \cdot \left(\log_{500}\dfrac{1}{500}\right)\).
По определению логарифма \(\log_{17}289\) – это степень, в которую надо возвести 17, чтобы получить 289. Таким образом, \(\log_{17}289 = 2\). Аналогично можно сделать вывод, что \[\log_{500}\dfrac{1}{500} = -1.\] Итого: \((\log_{17}289) \cdot \left(\log_{500}\dfrac{1}{500}\right) = -2\).
Ответ: -2
Найдите значение выражения \(16^{\log_{2}5}\).
Так как \(a^{\log_{b}c} = c^{\log_{b}a}\), то \(16^{\log_{2}5} = 2^{4 \cdot \log_{2}5} = 2^{\log_{2}5^4} = 2^{\log_{2}625} = 625^{\log_{2}2} = 625^1 = 625\).
Ответ: 625
Найдите значение выражения \(\log_{81}243\).
По свойствам логарифма \(\log_{81}243 = \log_{3^4}3^5 = \dfrac{5}{4}\log_{3}3 = \dfrac{5}{4} = 1,25\).
Ответ: 1,25
Найдите значение выражения \(\log_{11}242 - \log_{121}4\).
По свойствам логарифма \[\log_{121}4 = \log_{11^2}4 = 0,5\log_{11}4 = \log_{11}(4^{0,5}) = \log_{11}2.\] Тогда \(\log_{11}242 - \log_{121}4 = \log_{11}242 - \log_{11}2 = \log_{11}\dfrac{242}{2} = \log_{11}121 = \log_{11}11^2 = 2\log_{11}11 = 2\).
Ответ: 2
Найдите значение выражения \(\log_{0,7}20 - \log_{0,7}14\).
По свойствам логарифма \[\log_{0,7}20 - \log_{0,7}14 = \log_{0,7}\dfrac{20}{14} = \log_{\frac{7}{10}}\dfrac{10}{7} = -1,\] ведь по определению логарифма \(\log_{\frac{7}{10}}\dfrac{10}{7}\) – это степень, в которую надо возвести \(\dfrac{7}{10}\), чтобы получить \(\dfrac{10}{7}\).
Ответ: -1
Найдите значение выражения \(\dfrac{\log_{15}1000}{\log_{225}{10^4}}\).
По свойствам логарифма \[\dfrac{\log_{15}1000}{\log_{225}{10^4}} = \dfrac{\log_{15}1000}{0,5\log_{15}{10^4}} = \dfrac{\log_{15}1000}{\log_{15}{(10^4})^{0,5}} = \dfrac{\log_{15}1000}{\log_{15}{10^2}} = \log_{100}1000 = \log_{10^2}10^3 = \dfrac{3}{2}\log_{10}10 = \dfrac{3}{2} = 1,5.\]
Ответ: 1,5
Найдите значение выражения \(\log_{7}144 \cdot \log_{12}343\).
По свойствам логарифма \[\log_{7}144 \cdot \log_{12}343 = \log_{7}(12^2) \cdot \log_{12}(7^3) = 2\cdot 3 \cdot \log_{7}12 \cdot \log_{12}7 = 6 \cdot \log_{7}12 \cdot \log_{12}7 = 6\cdot\log_{7}7 = 6,\] потому что \(\log_{a}b\cdot\log_{b}c = \log_{a}c\).
Ответ: 6
