Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Исследование уравнений/неравенств при всех значениях параметра

Параметр \(a\) – это число, которое может принимать любые значения из \(\mathbb{R}\).

 

Исследовать уравнение/неравенство при всех значениях параметра – это значит указать, при каких значениях параметра какое именно решение имеет данное уравнение/неравенство.

 

Примеры:

 

1) уравнение \(ax=2\) при всех \(a\ne 0\) имеет единственное решение \(x=\dfrac 2a\), а при \(a=0\) не имеет решений (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=2\)).

 

2) уравнение \(ax=0\) при всех \(a\ne 0\) имеет единственное решение \(x=0\), а при \(a=0\) имеет бесконечно много решений, т.е. \(x\in \mathbb{R}\) (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=0\)).

 

Заметим, что

 

I) обе части уравнения нельзя делить на выражение, содержащее параметр (\(f(a)\)), если это выражение может быть равно нулю. Но можно рассмотреть два случая:
первый, когда \(f(a)\ne0\), и в этом случае можно разделить обе части равенства на \(f(a)\);
второй случай, когда \(f(a)=0\), и этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\) (см. пример 1, 2).

II) обе части неравенства нельзя делить на выражение, содержащее параметр, если неизвестен знак этого выражения. Но можно рассмотреть три случая:
первый, когда \(f(a)>0\), и в этом случае можно делить обе части неравенства на \(f(a)\);
второй, когда \(f(a)<0\), и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\) мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
третий, когда \(f(a)=0\), и в этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\).

 

Пример:

 

3) неравенство \(ax>3\) при \(a>0\) имеет решение \(x>\dfrac3a\), при \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\), а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\).

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \(ax+3=0\) при всех значениях параметра \(a\).

Добавить задание в избранное

Уравнение можно переписать в виде \(ax=-3\). Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). В этом случае левая часть равна \(0\), а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

2) \(a\ne 0\). Тогда \(x=-\dfrac{3}{a}\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in \varnothing; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-\dfrac{3}{a}\).

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \(ax+a^2=0\) при всех значениях параметра \(a\).

Добавить задание в избранное

Уравнение можно переписать в виде \(ax=-a^2\). Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). В этом случае левая и правая части равны \(0\), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной \(x\).

2) \(a\ne 0\). Тогда \(x=-a\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb{R}; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-a\).

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \(2ax+5\cos\dfrac{\pi}{3}\geqslant 0\) при всех значениях параметра \(a\).

Добавить задание в избранное

Неравенство можно переписать в виде \(ax\geqslant -\dfrac{5}{4}\). Рассмотрим три случая:

1) \(a=0\). Тогда неравенство принимает вид \(0\geqslant -\dfrac{5}{4}\), что верно при любых значениях переменной \(x\).

2) \(a>0\). Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, \(x\geqslant -\dfrac{5}{4a}\).

3) \(a<0\). Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb{R}; \\ a>0 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac{5}{4a}; \\ a<0 \Rightarrow x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\).

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \(a(x^2-6) \geqslant (2-3a^2)x\) при всех значениях параметра \(a\).

Добавить задание в избранное

Преобразуем неравенство к виду: \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\). Рассмотрим два случая:

 

1) \(a=0\). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: \(-2x \geqslant 0 \Rightarrow x\leqslant 0\).

 

2) \(a\ne 0\). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

 

\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\).

 

Т.к. \(a^2 \geqslant 0 \Rightarrow D>0\) при любых значениях параметра.

 

Следовательно, уравнение \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) всегда имеет два корня \(x_1=-3a, x_2=\dfrac{2}{a}\). Таким образом, неравенство примет вид:

\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]

Если \(a>0\), то \(x_1<x_2\) и ветви параболы \(y=(ax-2)(x+3a)\) направлены вверх, значит, решением являются \(x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac{2}{a}; +\infty)\).

Если \(a<0\), то \(x_1>x_2\) и ветви параболы \(y=(ax-2)(x+3a)\) направлены вниз, значит, решением являются \(x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a]\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\leqslant 0; \\ a>0 \Rightarrow x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac{2}{a}; +\infty); \\ a<0 \Rightarrow x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a\big]\).

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких \(a\) множество решений неравенства \((a^2-3a+2)x -a+2\geqslant 0\) содержит полуинтервал \([2;3)\) ?

Добавить задание в избранное

Преобразуем неравенство: \((a-1)(a-2)x \geqslant a-2\). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:

 

1) \(a=2\). Тогда неравенство примет вид \(0 \geqslant 0\), что верно при любых значениях \(x\), следовательно, множество решений содержит полуинтервал \([2;3)\).

 

2) \(a=1\). Тогда неравенство примет вид \(0 \geqslant -1\), что верно при любых значениях \(x\), следовательно, множество решений содержит полуинтервал \([2;3)\).

 

3) \((a-1)(a-2)>0 \Leftrightarrow a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\). Тогда:

\(x\geqslant \dfrac{1}{a-1}\). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал \([2;3)\), необходимо, чтобы

 

\(\dfrac{1}{a-1} \leqslant 2 \Leftrightarrow \dfrac{3-2a}{a-1} \leqslant 0 \Rightarrow a\in (-\infty; 1)\cup [1,5; +\infty)\).

 

Учитывая условие \(a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\), получаем \(a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\).

 

4) \((a-1)(a-2)<0 \Leftrightarrow a\in (1;2)\). Тогда:

 

\(x\leqslant \dfrac{1}{a-1} \Rightarrow \dfrac{1}{a-1} \geqslant 3\).

Действуя аналогично случаю 3), получаем \(a\in (1; \dfrac{4}{3}\big]\).

Ответ:

\(a\in (-\infty;\dfrac{4}{3}\big]\cup [2;+\infty)\).

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Определить количество корней уравнения \(ax^2+(3a+1)x+2=0\) при всех значениях параметра \(a\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим два случая:

 

1) \(a=0\). Тогда уравнение является линейным: \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\). То есть уравнение имеет один корень.

 

2) \(a\ne 0\). Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: \(D=9a^2-2a+1\).

 

Рассмотрим уравнение \(9a^2-2a+1=0\): \(D'=4-36<0\), следовательно, уравнение \(9a^2-2a+1=0\) не имеет корней. Значит, выражение \((9a^2-2a+1)\) принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых \(a\) (в этом можно убедиться, подставив вместо \(a\) любое число).

 

Таким образом, \(D=9a^2-2a+1>0\) при всех \(a\ne 0\). Значит, уравнение \(ax^2+(3a+1)x+2=0\) всегда имеет два корня: \(x_{1,2}=\dfrac{-3a-1\pm \sqrt D}{2a}\)

Ответ:

\(a=0\Rightarrow\) один корень

 

\(a\ne 0 \Rightarrow\) два корня.

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решить уравнение \(\sqrt{x+2a}\cdot (3-ax-x)=0\) при всех значениях параметра \(a\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно системе:

\[\begin{cases} x\geqslant -2a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-2a \\ &3-(a+1)x=0 \qquad (*) \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Рассмотрим два случая:

 

1) \(a+1=0 \Rightarrow a=-1\). В этом случае уравнение \((*)\) равносильно \(3=0\), то есть не имеет решений.

 

Тогда вся система равносильна \( \begin{cases} x\geqslant 2\\ x=2 \end{cases} \Leftrightarrow x=2\)

 

2) \(a+1\ne 0 \Rightarrow a\ne -1\). В этом случае система равносильна: \[\begin{cases} x\geqslant -2a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=-2a \\ &x_2=\dfrac3{a+1} \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Данная система будет иметь одно решение, если \(x_2\leqslant -2a\), и два решения, если \(x_2>-2a\):

 

2.1) \(\dfrac3{a+1}\leqslant -2a \Rightarrow a<-1 \Rightarrow \) имеем один корень \(x=-2a\).

 

2.2) \(\dfrac3{a+1}>-2a \Rightarrow a>-1 \Rightarrow \) имеем два корня \(x_1=-2a, x_2=\dfrac3{a+1}\).

Ответ:

\(a\in(-\infty;-1) \Rightarrow x=-2a\\ a=-1 \Rightarrow x=2\\ a\in(-1;+\infty) \Rightarrow x\in\{-2a;\frac3{a+1}\}\)

1 2

Как показывает статистика, нахождение решения задач с параметром многие выпускники считают наиболее трудным при подготовке в ЕГЭ 2017 по математике. С чем это связано? Дело в том, что зачастую задачи с параметром требуют применения исследовательских методов решения, т. е. при вычислении правильного ответа понадобится не просто применять формулы, но и находить те параметрические значения, при которых выполнено определенное условие для корней. При этом сами корни порой искать вовсе не требуется.

Тем не менее справляться с решением заданий с параметрами должны все учащиеся, которые готовятся к сдаче ЕГЭ. Подобные задачи встречаются в аттестационном испытании регулярно. Образовательный портал «Школково» поможет вам восполнить пробелы в знаниях и научиться быстро находить решение заданий с параметром в ЕГЭ по математике. Наши специалисты подготовили и в доступной форме изложили весь базовый теоретический и практический материал по данной теме. С порталом «Школково» решение задач на подбор параметра будет даваться вам легко и не повлечет никаких затруднений.

Основные моменты

Важно понять, что единого алгоритма решения задач на подбор параметра попросту не существует. Способы нахождения правильного ответа могут быть различными. Решить математическую задачу с параметром в ЕГЭ — значит, найти, чему равна переменная при определенном значении параметра. Если исходное уравнение и неравенство можно упростить, это необходимо сделать в первую очередь. В некоторых задачах для этого можно использовать стандартные методы решения, как в случае, если бы параметр представлял собой обычное число.

Вы уже успели ознакомиться с теоретическим материалом по данной теме? Для окончательного усвоения информации при подготовке к ЕГЭ по математике рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий с параметром; для каждого упражнения мы представили полный разбор решения и правильный ответ. В соответствующем разделе вы найдете как простые, так и более сложные задачи. Попрактиковаться в решении упражнений с параметрами, построенных по примеру заданий в ЕГЭ, учащиеся могут в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.