Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Свойства квадратичной функции

\(\blacktriangleright\) Квадратичная функция – это функция вида \(f(x)=ax^2+bx+c, \ a\ne 0\).

 

\(\blacktriangleright\) Графиком данной функции является парабола. При \(a>0\) ветви параболы направлены вверх, при \(a<0\) – вниз.

 

\(\blacktriangleright\) Корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) – это абсциссы точек пересечения параболы с осью \(Ox\).

 

\(\blacktriangleright\) Ось \(Oy\) парабола пересекает в точке \((0;c)\).

 

\(\blacktriangleright\) Вершина параболы имеет координаты \(\left(-\dfrac b{2a};f\left(-\dfrac b{2a}\right)\right)\).

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые удобные равносильные переходы:

 

I. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх и она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\f\left(-\dfrac b{2a}\right)<0\end{cases}\]


 

II. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вниз и она имеет одну точку пересечения с осью \(Ox\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a<0\\D=0\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a<0\\f\left(-\dfrac b{2a}\right)=0\end{cases}\]


 

III. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх, она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\), причем необходимо, чтобы обе точки были меньше \(1\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}<1\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\D>0\\f(1)>0\\-\dfrac b{2a}<1 \end{cases}\]


 

IV. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх, она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\), причем необходимо, чтобы эти точки находились по разные стороны от \(1\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\\x_1<1\\x_2>1\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\D>0\\f(1)<0 \end{cases}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[x^2+3ax-a^2+1=0\] имеет два корня из отрезка \([-3;0]\) ?

Добавить задание в избранное

Т.к. уравнение квадратное, то для того, чтобы оно имело 2 корня, необходимо, чтобы его дискриминант был больше нуля: \(D=13a^2-4>0\).

 

Для того, чтобы оба корня были из отрезка \([-3;0]\), нужно, чтобы парабола \(y=x^2+3ax-a^2+1\) выглядела так:


 

Заметим, что \(x_0=-\dfrac{3a}{2}\) — вершина параболы.

 

Т.е. нужно выполнение сразу нескольких условий:

\[\begin{cases} D>0\\ y(-3)\geqslant 0\\ y(0)\geqslant 0\\ -3<x_0<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\in \left(-\infty; -\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\cup\left(\frac{2}{\sqrt{13}};+\infty\right)\\[2ex] -10\leqslant a\leqslant 1\\ -1\leqslant a\leqslant 1\\ 0<a<2 \end{cases}\]

\(\Rightarrow a\in\left(\frac{2}{\sqrt{13}};1\right]\).

Ответ:

\(a\in\left(\frac{2}{\sqrt{13}};1\right]\).

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых ровно один корень уравнения \[ax^2+4x+a+1=0\] больше \(1\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). Тогда уравнение становится линейным и \(x=-\dfrac{1}{4}\). Это значения параметра нам не подходит.

 

2) \(a\ne 0\). Тогда уравнение является квадратным.Его дискриминант \(D=4(4-a^2-a)\).

 

а) Если \(D=0 \Rightarrow a=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{2} \Rightarrow\) уравнение \(ax^2+4x+a+1=0\) имеет один корень \(x=-\dfrac{2}{a}\).

 

При \(a=\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2}\) это корень \(x=-\dfrac{4}{\sqrt{17}-1}<0<1\), следовательно, это значение параметра не подходит.

 

При \(a=\dfrac{-1- \sqrt{17}}{2}\) это корень \(x=\dfrac{4}{\sqrt{17}+1}=\dfrac{4(\sqrt{17}-1)}{\sqrt{17}^2-1^2}=\dfrac{\sqrt{17}-1}{4}<1\),

 

следовательно, это значение параметра также не подходит.

 

б) Если \(D>0 \Rightarrow a\in \left(\dfrac{-1- \sqrt{17}}{2} ;\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2} \right) \Rightarrow\) уравнение \(ax^2+4x+a+1=0\) имеет два корня.

 

Графиком функции \(f(x)=ax^2+4x+a+1\) при каждом фиксированном \(a\) является парабола,

причем при \(a\in \left(0;\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2}\right)\) ветви направлены вверх, при \(a\in \left(\dfrac{-1- \sqrt{17}}{2};0\right)\) ветви направлены вниз:




 

Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень больше \(1\), нужно:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} 0<a<\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2}\\ f(1)<0 \end{cases}\\[5pt] &\begin{cases} \dfrac{-1- \sqrt{17}}{2}<a<0\\ f(1)>0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Longrightarrow \quad -\dfrac{5}{2}<a<0\]

Ответ:

\(a\in \left(-\dfrac{5}{2};0\right)\).

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при каждом из которых оба корня уравнения \[(1-a^2)x^2-2ax+1=0\] не меньше \(-3\).

Добавить задание в избранное

Т.к. уравнение должно иметь два корня, то оно должно быть квадратным (т.е. \(1-a^2 \ne 0\)) и дискриминант \(D=4(2a^2-1)>0\).

 

Графиком функции \(f(x)=(1-a^2)x^2-2ax+1\) при каждом фиксированном \(a\) является парабола:

 

(1) \(1-a^2>0 \Rightarrow -1<a<1 \Rightarrow \) ветви направлены вверх.

 


 

(2) \(1-a^2<0 \Rightarrow a<-1 \text{ или } a>1 \Rightarrow \) ветви направлены вниз.

 


 

Таким образом (учитывая, что по условию нам нужны только положительные \(a\)):

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} D>0\\ 0<a<1\\ f(-3)\geqslant 0\\ x_o= \dfrac{2a}{2(1-a^2)}>-3 \end{cases}\\[5pt] &\begin{cases} D>0\\ a>1\\ f(-3)\leqslant 0 \\ x_o >-3 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Longrightarrow \quad a\in \left(\dfrac{1}{\sqrt2}; 1\right)\cup \left(\dfrac{1+\sqrt{11}}{3};+\infty\right)\]

 

Заметим, что условие \(x_o>-3\) важно. Без этого условия возможен еще один случай, который не удовлетворяет нашему условию. Например:

 



Ответ:

\(a\in \left(\dfrac{1}{\sqrt2}; 1\right)\cup \left(\dfrac{1+\sqrt{11}}{3};+\infty\right)\).

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[\dfrac{3}{4}x^2-(a+1)x-a^2-a+1<0\] содержит отрезок \([-2;2]\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим функцию \(f(x)=\frac{3}{4}x^2-(a+1)x-a^2-a+1\). При каждом фиксированном \(a\) графиком \(f(x)\) является парабола, причем ветви параболы направлены вверх.

 

Дискриминант уравнения \(\dfrac{3}{4}x^2-(a+1)x-a^2-a+1=0\): \(D=4a^2+5a-2>0\) при всех значениях \(a\).

 

Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\). Таким образом, график \(f(x)\) выглядит следующим образом:

 


 

Следовательно, решением неравенства \(\frac{3}{4}x^2-(a+1)x-a^2-a+1<0\) будет являться интервал \((x_1;x_2)\). Для того, чтобы этот интервал содержал отрезок \([-2;2]\), нужно:

\[\begin{cases} f(-2)<0\\ f(2)<0 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad a\in \left(-\infty; -\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\cup (3;+\infty)\]

Ответ:

\(a\in \left(-\infty; -\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\cup (3;+\infty)\).

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[a^2x^2-2a(a-3)x-18 \leqslant 0\] принадлежит отрезку \([-1;2]\).

Добавить задание в избранное

Заметим, что при \(a^2=0\) неравенство принимает вид \(-18 \leqslant 0\), что верно при любом значении \(x\in \mathbb{R}\). Но \(\mathbb{R}\) не содержится в отрезке \([-1;2]\), следовательно, это значение параметра не подходит.

 

Далее будем считать, что \(a\ne 0\). Следовательно, \(a^2>0 \Rightarrow\) ветви параболы \(f(x)=a^2x^2-2a(a-3)x-18\) (при каждом фиксированном \(a\)) направлены вверх.



 

Значит, решением неравенства будет отрезок \([x_1;x_2]\), где \(x_1, x_2\) – корни уравнения \(a^2x^2-2a(a-3)x-18=0\).

 

Заметим, что \(x_o=\dfrac{2a(a-3)}{2a^2}\) – вершина параболы.

 

Для того, чтобы \([x_1; x_2] \subset [-1;2]\), нужно, чтобы:

\[\begin{cases} f(-1) \geqslant 0\\ f(2)\geqslant 0\\ -1<x_o<2 \end{cases} \Rightarrow a\in [1+\sqrt7;+\infty)\]

Ответ:

\(a\in [1+\sqrt7;+\infty)\).

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) число \(3\) заключено между корнями уравнения

\[x^2-(2a-1)x+4-a=0\]

Добавить задание в избранное

Графиком \(y=x^2-(2a-1)x+4-a\) является парабола, ветви которой направлены вверх и которая должна пересекать ось абсцисс в двух точках. Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы парабола выглядела так:


 

Значит, необходимо: \[y(3)<0 \quad \Rightarrow \quad a>\dfrac{16}7\]

Ответ:

\(a\in \left(\frac{16}7;+\infty\right)\)

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) решением неравенства

\[x^2-(a^2-2a-3)x+a^2+2\leqslant 0\]

является отрезок \([2;3]\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим множество функций \(f_a(x)=x^2-(a^2-2a-3)x+a^2+2\). При каждом фиксированном \(a\) это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх, которая может выглядеть как \((1)\) (\(D=0\)), \((2)\) (\(D>0\)) или \((3)\) (\(D<0\)):


 

Для того, чтобы решением неравенства являлся отрезок \([2;3]\), необходимо, чтобы парабола выглядела как \((2)\), то есть необходимо выполнение следующих условий:

\(\begin{cases} (a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\\ f_a(2)=0\\ f_a(3)=0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} (a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\\ a^2-4a-12=0\\ a^2-3a-10=0 \end{cases} \quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad \begin{cases} (a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\\ a=-2 \end{cases}\)

 

Заметим, что при \(a=-2\) неравенство \((a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\) выполняется, т.к. оно равносильно \(1>0\). Следовательно, \(a\in \{-2\}\).

Ответ:

\(a\in \{-2\}\)

Выпускники, которые планируют сдавать ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение достойных баллов по итогам его прохождения, непременно должны научиться справляться с задачами на нахождение квадратичной функции. Как показывает практика, подобные задания ежегодно встречаются в аттестационном испытании. Если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на квадратичную функцию, вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

«Прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Мы подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.

Для того чтобы школьники могли оперативно находить правильные ответы в задачах, ориентируясь на график квадратичной функции, мы предлагаем прежде всего повторить основные понятия и правила. Сделать это вы можете в разделе «Теоретическая справка». Там представлены определение графика квадратичной функции и базовые формулы, необходимые для решения задач по данной теме.

Чтобы получить практические навыки и закрепить полученные знания, предлагаем выполнить упражнения, подобранные нашими специалистами. Для каждой задачи на квадратичную функцию на портале вы найдете правильный ответ и описание алгоритма решения. Практиковаться можно как с простыми упражнениями, так и с более сложными.

Тренироваться в решении задач на квадратичную функцию, которые встречаются в ЕГЭ, школьники могут в режиме онлайн как в Москве, так и в любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.