Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Свойства квадратичной функции

\(\blacktriangleright\) Квадратичная функция – это функция вида \(f(x)=ax^2+bx+c, \ a\ne 0\).

 

\(\blacktriangleright\) Графиком данной функции является парабола. При \(a>0\) ветви параболы направлены вверх, при \(a<0\) – вниз.

 

\(\blacktriangleright\) Корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) – это абсциссы точек пересечения параболы с осью \(Ox\).

 

\(\blacktriangleright\) Ось \(Oy\) парабола пересекает в точке \((0;c)\).

 

\(\blacktriangleright\) Вершина параболы имеет координаты \(\left(-\dfrac b{2a};f\left(-\dfrac b{2a}\right)\right)\).

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые удобные равносильные переходы:

 

I. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх и она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\f\left(-\dfrac b{2a}\right)<0\end{cases}\]


 

II. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вниз и она имеет одну точку пересечения с осью \(Ox\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a<0\\D=0\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a<0\\f\left(-\dfrac b{2a}\right)=0\end{cases}\]


 

III. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх, она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\), причем необходимо, чтобы обе точки были меньше \(1\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}<1\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\D>0\\f(1)>0\\-\dfrac b{2a}<1 \end{cases}\]


 

IV. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх, она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\), причем необходимо, чтобы эти точки находились по разные стороны от \(1\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\\x_1<1\\x_2>1\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\D>0\\f(1)<0 \end{cases}\]

Задание 1 #3824
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[x^2+3ax-a^2+1=0\] имеет два корня из отрезка \([-3;0]\) ?

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 02.02.2020 в 12:00

Задание 2 #1226
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых ровно один корень уравнения \[ax^2+4x+a+1=0\] больше \(1\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 02.02.2020 в 12:00

Задание 3 #4047
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при каждом из которых оба корня уравнения \[(1-a^2)x^2-2ax+1=0\] не меньше \(-3\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 02.02.2020 в 12:00

Задание 4 #1229
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[a^2x^2-2a(a-3)x-18 \leqslant 0\] принадлежит отрезку \([-1;2]\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 02.02.2020 в 12:00

Задание 5 #3287
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) число \(3\) заключено между корнями уравнения

\[x^2-(2a-1)x+4-a=0\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 02.02.2020 в 12:00

Задание 6 #3162
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) решением неравенства

\[x^2-(a^2-2a-3)x+a^2+2\leqslant 0\]

является отрезок \([2;3]\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 02.02.2020 в 12:00

Задание 7 #1834
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) графики функций

\[y=|x^2+ax| \qquad \text{и} \qquad y=2a\]

имеют три общие точки.

Графиком функции \(y_1=x^2+ax\) является парабола, ветви которой направлены вверх, и которая имеет либо одну точку пересечения с осью абсцисс (если \(a=0\)), либо две точки пересечения с осью абсцисс: \((a;0)\) и \((0;0)\) (если \(a \ne 0\)).

 

При \(a=0\) функции принимают вид: \(y=|x^2|=x^2\) и \(y=0\). Для того, чтобы найти точки пересечения графиков функций, можно решить уравнение \(x^2=0\). Это уравнение имеет один корень, следовательно, \(a=0\) не подходит.

 

Пусть \(a\ne 0\). Значит, графиком \(y=|x^2+ax|\) является:


 

Для того, чтобы графики функций имели три общие точки, необходимо, чтобы прямая \(y=2a\) выглядела, как показано на рисунке, то есть проходила через вершину \((x_0;y_2(x_0))\) параболы \(y_2=-(x^2+ax)\). Значит:

\[x_0=-\dfrac a2 \quad \Rightarrow \quad y_2(x_0)=\dfrac{a^2}4 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{a^2}4=2a\quad \Rightarrow\quad a=8\]

Ответ:

\(a\in \{8\}\)

Выпускники, которые планируют сдавать ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение достойных баллов по итогам его прохождения, непременно должны научиться справляться с задачами на нахождение квадратичной функции. Как показывает практика, подобные задания ежегодно встречаются в аттестационном испытании. Если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на квадратичную функцию, вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

«Прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Мы подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.

Для того чтобы школьники могли оперативно находить правильные ответы в задачах, ориентируясь на график квадратичной функции, мы предлагаем прежде всего повторить основные понятия и правила. Сделать это вы можете в разделе «Теоретическая справка». Там представлены определение графика квадратичной функции и базовые формулы, необходимые для решения задач по данной теме.

Чтобы получить практические навыки и закрепить полученные знания, предлагаем выполнить упражнения, подобранные нашими специалистами. Для каждой задачи на квадратичную функцию на портале вы найдете правильный ответ и описание алгоритма решения. Практиковаться можно как с простыми упражнениями, так и с более сложными.

Тренироваться в решении задач на квадратичную функцию, которые встречаются в ЕГЭ, школьники могут в режиме онлайн как в Москве, так и в любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.