Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Свойства квадратичной функции

\(\blacktriangleright\) Квадратичная функция – это функция вида \(f(x)=ax^2+bx+c, \ a\ne 0\).

 

\(\blacktriangleright\) Графиком данной функции является парабола. При \(a>0\) ветви параболы направлены вверх, при \(a<0\) – вниз.

 

\(\blacktriangleright\) Корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) – это абсциссы точек пересечения параболы с осью \(Ox\).

 

\(\blacktriangleright\) Ось \(Oy\) парабола пересекает в точке \((0;c)\).

 

\(\blacktriangleright\) Вершина параболы имеет координаты \(\left(-\dfrac b{2a};f\left(-\dfrac b{2a}\right)\right)\).

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые удобные равносильные переходы:

 

I. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх и она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\f\left(-\dfrac b{2a}\right)<0\end{cases}\]


 

II. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вниз и она имеет одну точку пересечения с осью \(Ox\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a<0\\D=0\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a<0\\f\left(-\dfrac b{2a}\right)=0\end{cases}\]


 

III. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх, она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\), причем необходимо, чтобы обе точки были меньше \(1\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}<1\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\D>0\\f(1)>0\\-\dfrac b{2a}<1 \end{cases}\]


 

IV. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх, она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\), причем необходимо, чтобы эти точки находились по разные стороны от \(1\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\\x_1<1\\x_2>1\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\D>0\\f(1)<0 \end{cases}\]

Задание 1 #3824
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[x^2+3ax-a^2+1=0\] имеет два корня из отрезка \([-3;0]\) ?

Т.к. уравнение квадратное, то для того, чтобы оно имело 2 корня, необходимо, чтобы его дискриминант был больше нуля: \(D=13a^2-4>0\).

 

Для того, чтобы оба корня были из отрезка \([-3;0]\), нужно, чтобы парабола \(y=x^2+3ax-a^2+1\) выглядела так:


 

Заметим, что \(x_0=-\dfrac{3a}{2}\) — вершина параболы.

 

Т.е. нужно выполнение сразу нескольких условий:

\[\begin{cases} D>0\\ y(-3)\geqslant 0\\ y(0)\geqslant 0\\ -3<x_0<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\in \left(-\infty; -\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\cup\left(\frac{2}{\sqrt{13}};+\infty\right)\\[2ex] -10\leqslant a\leqslant 1\\ -1\leqslant a\leqslant 1\\ 0<a<2 \end{cases}\]

\(\Rightarrow a\in\left(\frac{2}{\sqrt{13}};1\right]\).

Ответ:

\(a\in\left(\frac{2}{\sqrt{13}};1\right]\).

Задание 2 #1226
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых ровно один корень уравнения \[ax^2+4x+a+1=0\] больше \(1\).

Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). Тогда уравнение становится линейным и \(x=-\dfrac{1}{4}\). Это значения параметра нам не подходит.

 

2) \(a\ne 0\). Тогда уравнение является квадратным.Его дискриминант \(D=4(4-a^2-a)\).

 

а) Если \(D=0 \Rightarrow a=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{2} \Rightarrow\) уравнение \(ax^2+4x+a+1=0\) имеет один корень \(x=-\dfrac{2}{a}\).

 

При \(a=\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2}\) это корень \(x=-\dfrac{4}{\sqrt{17}-1}<0<1\), следовательно, это значение параметра не подходит.

 

При \(a=\dfrac{-1- \sqrt{17}}{2}\) это корень \(x=\dfrac{4}{\sqrt{17}+1}=\dfrac{4(\sqrt{17}-1)}{\sqrt{17}^2-1^2}=\dfrac{\sqrt{17}-1}{4}<1\),

 

следовательно, это значение параметра также не подходит.

 

б) Если \(D>0 \Rightarrow a\in \left(\dfrac{-1- \sqrt{17}}{2} ;\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2} \right) \Rightarrow\) уравнение \(ax^2+4x+a+1=0\) имеет два корня.

 

Графиком функции \(f(x)=ax^2+4x+a+1\) при каждом фиксированном \(a\) является парабола,

причем при \(a\in \left(0;\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2}\right)\) ветви направлены вверх, при \(a\in \left(\dfrac{-1- \sqrt{17}}{2};0\right)\) ветви направлены вниз:




 

Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень больше \(1\), нужно:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} 0<a<\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2}\\ f(1)<0 \end{cases}\\[5pt] &\begin{cases} \dfrac{-1- \sqrt{17}}{2}<a<0\\ f(1)>0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Longrightarrow \quad -\dfrac{5}{2}<a<0\]

Ответ:

\(a\in \left(-\dfrac{5}{2};0\right)\).

Задание 3 #4047
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при каждом из которых оба корня уравнения \[(1-a^2)x^2-2ax+1=0\] не меньше \(-3\).

Т.к. уравнение должно иметь два корня, то оно должно быть квадратным (т.е. \(1-a^2 \ne 0\)) и дискриминант \(D=4(2a^2-1)>0\).

 

Графиком функции \(f(x)=(1-a^2)x^2-2ax+1\) при каждом фиксированном \(a\) является парабола:

 

(1) \(1-a^2>0 \Rightarrow -1<a<1 \Rightarrow \) ветви направлены вверх.


 

(2) \(1-a^2<0 \Rightarrow a<-1 \text{ или } a>1 \Rightarrow \) ветви направлены вниз.


 

Таким образом (учитывая, что по условию нам нужны только положительные \(a\)):

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} D>0\\ 0<a<1\\ f(-3)\geqslant 0\\ x_o= \dfrac{2a}{2(1-a^2)}>-3 \end{cases}\\[5pt] &\begin{cases} D>0\\ a>1\\ f(-3)\leqslant 0 \\ x_o >-3 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Longrightarrow \quad a\in \left(\dfrac{1}{\sqrt2}; 1\right)\cup \left[\dfrac{1+\sqrt{11}}{3};+\infty\right)\]

 

Заметим, что условие \(x_o>-3\) важно. Без этого условия возможен еще один случай, который не удовлетворяет нашему условию. Например:

Ответ:

\(a\in \left(\dfrac{1}{\sqrt2}; 1\right)\cup \left[\dfrac{1+\sqrt{11}}{3};+\infty\right)\).

Задание 4 #13006
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых все решения неравенства \[a^2x^2-2a(a-3)x-18 \leqslant 0\] принадлежат отрезку \([-1;2]\).

Заметим, что при \(a^2=0\) неравенство принимает вид \(-18 \leqslant 0\), что верно при любом значении \(x\in \mathbb{R}\). Но \(\mathbb{R}\) не содержится в отрезке \([-1;2]\), следовательно, это значение параметра не подходит.

 

Далее будем считать, что \(a\ne 0\). Следовательно, \(a^2>0 \Rightarrow\) ветви параболы \(f(x)=a^2x^2-2a(a-3)x-18\) (при каждом фиксированном \(a\)) направлены вверх.
Если дискриминант \(D<0\), то данное неравенство не имеет решений. Следовательно, этот случай нам не подходит. Если \(D\geqslant 0\), то решением неравенства будет отрезок \([x_1;x_2]\), где \(x_1, x_2\) – корни уравнения \(a^2x^2-2a(a-3)x-18=0\) (при \(D=0\) решением неравенства будет “вырожденный” отрезок \([x_0;x_0]\), состоящий из одной точки \(x_0=x_1=x_2\) – абсциссы вершины параболы).


 

Заметим, что \(x_0=\dfrac{2a(a-3)}{2a^2}\) – абсцисса вершина параболы.

 

Для того, чтобы \([x_1; x_2] \subseteq [-1;2]\), нужно, чтобы:

\[\begin{cases} f(-1) \geqslant 0\\ f(2)\geqslant 0\\ -1\leqslant x_0\leqslant 2\\ D=4a^2((a-3)^2+18)\geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \quad a\in [1+\sqrt7;+\infty)\]

Ответ:

\(a\in [1+\sqrt7;+\infty)\).

Задание 5 #6905
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) неравенство \[\log_a{\left(\sqrt{1-x^2}+1\right)}+ \log_a{\left(\sqrt{1-x^2}+7\right)}<1\]

справедливо для каждого допустимого значения \(x\)?

 

Задача от подписчиков.

ОДЗ неравенства: \(|x|\leqslant 1\).
Заметим, что при всех \(x\) из ОДЗ аргументы обоих логарифмов положительны.
Пусть \(t=\sqrt{1-x^2}+1\). Так как \(|x|\leqslant 1\), то \(\sqrt{1-x^2}\in [0;1]\), следовательно, \(t\in [1;2]\). Тогда исходное неравенство относительно \(x\) будет иметь решения при всех \(x\) из ОДЗ, если полученное неравенство \[\log_at+\log_a(t+6)<1\] относительно \(t\) будет иметь решения при всех \(t\in [1;2]\). Полученное неравенство можно переписать в виде \[\log_a{t(t+6)}<1\]

1) Пусть \(a>1\). Тогда неравенство равносильно \[t^2+6t-a<0\] Графиком функции \(y=t^2+6t-a\) является парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, решением неравенства \(y<0\) может быть либо интервал (если \(D>0\)), либо пустое множество (если \(D\leqslant 0\)). Следовательно, нужно, чтобы решением неравенства \(y<0\) был интервал, который содержал в себе отрезок \([1;2]\). Нам подходит такая картинка:

То есть числа \(1\) и \(2\) должны находиться строго между корнями уравнения \(y=0\). Это задается следующими условиями: \[\begin{cases} y(1)<0\\ y(2)<0\\ D>0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 7-a<0\\ 16-a<0\\ 36+4a>0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad a>16\] Найденные \(a\) подходят под условие \(a>1\).

 

2) Пусть \(0<a<1\). Тогда неравенство равносильно \[t^2+6t-a>0\] В этом случае решением неравенства \(y>0\) может быть либо объединение двух лучей (\(D\geqslant 0\)), либо все \(\mathbb{R}\) (\(D<0\)). Заметим, что абсцисса вершины параболы \(t_0=-3\). Следовательно, для того, чтобы неравенство выполнялось при всех \(t\in [1;2]\), нам подходят следующие положения параболы \(y=t^2+6t-a\):
Первые два положения задаются условием \(D\leqslant 0\), в этом случае отрезок \([1;2]\) содержится в решении неравенства \(y>0\).
Третье положение задается условием \(D>0\), и чтобы отрезок \([1;2]\) содержался в решении, нужно, чтобы число \(1\) находилось правее правого корня, следовательно, \(y(1)>0\) (левее левого корня \(1\) располагаться не может, так как абсцисса вершины параболы равна \(-3\)). Следовательно: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &D\leqslant 0\\ &\begin{cases} D>0\\ y(1)>0\end{cases}\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad a<7\]

Так как этот случай был возможен при \(a\in (0;1)\), то, пересекая эти значения с \(a\in (-\infty;7)\), получим \(a\in (0;1)\).

 

Объединяя найденные \(a\) в обоих пунктах, получим окончательный ответ

\[a\in (0;1)\cup(16;+\infty)\]

Ответ:

\(a\in (0;1)\cup(16;+\infty)\)

Задание 6 #3287
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) число \(3\) заключено между корнями уравнения

\[x^2-(2a-1)x+4-a=0\]

Графиком \(y=x^2-(2a-1)x+4-a\) является парабола, ветви которой направлены вверх и которая должна пересекать ось абсцисс в двух точках. Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы парабола выглядела так:


 

Значит, необходимо: \[y(3)<0 \quad \Rightarrow \quad a>\dfrac{16}7\]

Ответ:

\(a\in \left(\frac{16}7;+\infty\right)\)

Задание 7 #3162
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) решением неравенства

\[x^2-(a^2-2a-3)x+a^2+2\leqslant 0\]

является отрезок \([2;3]\).

Рассмотрим множество функций \(f_a(x)=x^2-(a^2-2a-3)x+a^2+2\). При каждом фиксированном \(a\) это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх, которая может выглядеть как \((1)\) (\(D=0\)), \((2)\) (\(D>0\)) или \((3)\) (\(D<0\)):


 

Для того, чтобы решением неравенства являлся отрезок \([2;3]\), необходимо, чтобы парабола выглядела как \((2)\), то есть необходимо выполнение следующих условий:

\(\begin{cases} (a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\\ f_a(2)=0\\ f_a(3)=0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} (a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\\ a^2-4a-12=0\\ a^2-3a-10=0 \end{cases} \quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad \begin{cases} (a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\\ a=-2 \end{cases}\)

 

Заметим, что при \(a=-2\) неравенство \((a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\) выполняется, т.к. оно равносильно \(1>0\). Следовательно, \(a\in \{-2\}\).

Ответ:

\(a\in \{-2\}\)

Выпускники, которые планируют сдавать ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение достойных баллов по итогам его прохождения, непременно должны научиться справляться с задачами на нахождение квадратичной функции. Как показывает практика, подобные задания ежегодно встречаются в аттестационном испытании. Если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на квадратичную функцию, вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

«Прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Мы подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.

Для того чтобы школьники могли оперативно находить правильные ответы в задачах, ориентируясь на график квадратичной функции, мы предлагаем прежде всего повторить основные понятия и правила. Сделать это вы можете в разделе «Теоретическая справка». Там представлены определение графика квадратичной функции и базовые формулы, необходимые для решения задач по данной теме.

Чтобы получить практические навыки и закрепить полученные знания, предлагаем выполнить упражнения, подобранные нашими специалистами. Для каждой задачи на квадратичную функцию на портале вы найдете правильный ответ и описание алгоритма решения. Практиковаться можно как с простыми упражнениями, так и с более сложными.

Тренироваться в решении задач на квадратичную функцию, которые встречаются в ЕГЭ, школьники могут в режиме онлайн как в Москве, так и в любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.