Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на проценты

\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), нужно найти \({\large{\dfrac{A}{B}\cdot 100 \%}}\).

 

\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, на сколько процентов число \(A\) больше (меньше) числа \(B\), нужно найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), а затем из этого количества процентов отнять \(100\%\) (из \(100\%\) отнять найденное количество процентов).

 

Заметим, что складывать проценты можно только в том случае, если они взяты от одной и той же величины!

 

Пример:

 

В \(2015\) году население составляло \(115\%\) по сравнению с предыдущим годом, а в \(2016\)\(110\%\) по сравнению с предыдущим. Сколько процентов составило население в \(2016\) году по сравнению с \(2014\) годом?

 

Т.к. в \(2015\) году задан процент относительно \(2014\), а в \(2016\) – относительно \(2015\), то нельзя сказать, что в \(2016\) году население составило \(115\%+110\%\).
Решим задачу правильно. Пусть \(x\) – количество людей в \(2014\) году.
в \(2015\): \(1,15x\) человек
в \(2016\): \(1,1\cdot(1,15x)=1,265x\).
Т.е. население в \(2016\) составило \(126,5\%\) по сравнению с \(2014\) годом.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В государстве \(\pi\) в 2012 году ЕГЭ по математике не сдали 20000 выпускников. В 2013 году число не сдавших уменьшилось на 5\(\%\), а в 2014 году – увеличилось на 17\(\%\) по сравнению с 2013 годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по математике в 2014 году в государстве \(\pi\)?

Добавить задание в избранное

В 2013 году число не сдавших составило \(100\%-5\%=95\%\) от числа не сдавших в 2012 году, тогда в 2013 году не сдали ЕГЭ по математике \[20000 \cdot \dfrac{95}{100} = 19000 \ \text{выпускников}.\] В 2014 году число не сдавших составило \(100\%+17\%=117\%\) от числа не сдавших в 2013 году, тогда в 2014 не сдали ЕГЭ по математике \[19000 \cdot \dfrac{117}{100} = 22230\ \text{выпускника}.\]

Ответ: 22230

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В государстве \(\nabla\) в 2014 году ЕГЭ по физике не сдали 1500 выпускников. В 2015 году число не сдавших выросло на 10\(\%\), а в 2016 году – увеличилось на 34\(\%\) по сравнению с 2015 годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по физике в 2016 году в государстве \(\nabla\)?

Добавить задание в избранное

В 2015 году число не сдавших составило \(100\%+10\%=110\%\) от числа не сдавших в 2014 году, тогда в 2015 году не сдали ЕГЭ по физике \[1500 \cdot \dfrac{110}{100} = 1650\ \text{выпускников}.\] В 2016 году число не сдавших составило \(100\%+34\%=134\%\) от числа не сдавших в 2015 году, тогда в 2016 не сдали ЕГЭ по физике \[1650 \cdot \dfrac{134}{100} = 2211\ \text{выпускников}.\]

Ответ: 2211

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Три шоколадных батончика дороже шоколадки на \(11\%\). На сколько процентов четыре батончика дороже шоколадки?

Добавить задание в избранное

Пусть \(b\) – цена батончика,

пусть \(s\) – цена шоколадки, тогда

 

\(\dfrac{111}{100}\cdot s = 3b\), откуда находим \(b = \dfrac{37}{100}s\), значит, \(4b = \dfrac{148}{100}s = s\left(1 + \dfrac{48}{100}\right)\),

 

то есть четыре батончика дороже шоколадки на \(48\%\).

Ответ: 48

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два шоколадных батончика дешевле пирожного на \(10\%\). На сколько процентов три батончика дороже пирожного?

Добавить задание в избранное

Пусть \(b\) – цена батончика,

пусть \(p\) – цена пирожного, тогда

 

\(\dfrac{90}{100}\cdot p = 2b\), откуда находим \(b = \dfrac{45}{100}p\), значит, \(3b = \dfrac{135}{100}p = p\left(1 + \dfrac{35}{100}\right)\),

 

то есть три батончика дороже пирожного на \(35\%\).

Ответ: 35

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два квадрокоптера дешевле 3-D принтера на \(70\%\). На сколько процентов пять квадрокоптеров дешевле 3-D принтера?

Добавить задание в избранное

Пусть \(k\) – цена квадрокоптера,

пусть \(p\) – цена 3-D принтера, тогда

\[p(1 - 0,7) = 2k,\] откуда находим \(k = 0,15p\), значит, \[5k = 0,75p = p(1 - 0,25),\] то есть пять квадрокоптеров дешевле 3-D принтера на \(25\%\).

Ответ: 25

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Кофта во вторник подорожала на \(25\%\). На сколько процентов она должна была подешеветь в среду (относительно цены вторника), чтобы её цена стала первоначальной (как до повышения во вторник).

Добавить задание в избранное

Пусть до вторника цена кофты была \(R\) рублей, \(R > 0\), тогда во вторник она стала \(1,25R\) рублей. Пусть в среду цена кофты уменьшилась на \(x\%\), тогда \[1,25R\cdot \left(1 - \dfrac{x}{100}\right) = R\quad\Leftrightarrow\quad x = 20\,,\] то есть кофта должна была подешеветь на \(20\%\).

Ответ: 20

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В среду молоко подорожало на \(x\) процентов, а в четверг подешевело на \(x\) процентов. В результате молоко стало стоить на \(1\%\) дешевле, чем стоило во вторник (до подорожания). На сколько процентов дешевле стало бы молоко по сравнению со вторником, если бы оно сначала в среду подешевело на \(x\) процентов, а в четверг подорожало на \(x\) процентов?

Добавить задание в избранное

Пусть молоко стоило во вторник \(S\) рублей.

После подорожания в среду молоко стало стоить \[\dfrac{100 + x}{100}\cdot S,\] после подешевения в четверг молоко стало стоить \[\dfrac{100 - x}{100}\cdot\left(\dfrac{100 + x}{100}\cdot S\right).\]

Если бы молоко сначала в среду подешевело на то же самое число процентов, а в четверг подорожало, то по аналогии оно стало бы стоить \[\dfrac{100 + x}{100}\cdot\left(\dfrac{100 - x}{100}\cdot S\right),\] то есть столько же, сколько оно стало стоить в первом сценарии. Значит, при втором сценарии оно стало бы дешевле тоже на \(1\%\).

Ответ: 1