ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
а) Воспользуемся формулами для косинуса двойного угла и синуса двойного угла:
\[\begin{aligned}
&2\sin{x}\cdot \cos{x} + 2\cos^2{x} - 1 + 1 = 0.\\
&2\cos{x}\cdot (\sin{x} + \cos{x}) = 0.
\end{aligned}\]
Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, или \(\cos{x} = 0\), или \(\sin{x} + \cos{x} = 0\).
В случае \(\cos{x} = 0\):
решениями будут \(x = \dfrac{\pi}{2} +\pi n\), где \(n\in\mathbb{Z}\).
В случае \(\sin{x} + \cos{x} = 0\):
равенство можно разделить на \(\cos{x}\) (так как при \(\cos{x} = 0\) в силу основного тригонометрического тождества \(\sin{x} + \cos{x} \neq 0\)).
После деления имеем: \(\mathrm{tg}\, x = -1\), откуда получаем \(x = -\dfrac{\pi}{4} +\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ.
б) \[0 < \dfrac{\pi}{2} + \pi n < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{2} < \pi n < \dfrac{\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{2} < n < \dfrac{1}{2},\] но \(n\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \((0; \pi)\) попадает только корень при \(n = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2}\).
\[0 < -\dfrac{\pi}{4} +\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{4} < \pi k < \pi + \dfrac{\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{4} < k < 1\dfrac{1}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \((0; \pi)\) попадает только корень при \(k = 1\): \(x = \dfrac{3\pi}{4}\).
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi n\), \(-\dfrac{\pi}{4} + \pi k\), где \(n,k\in\mathbb{Z}\)
б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\)