Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень школьник

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень школьник. Тренировочный вариант №2

Задание 1

Пачка бумаги “Белее снега” стоит \(300\) рублей. Тимур пришёл в магазин за бумагой, имея в кармане \(10000\) рублей. Какое наибольшее количество пачек этой бумаги сможет купить Тимур?

По условию задачи надо найти наибольшее целое число, при умножении которого на \(300\) результат останется не больше \(10000\). Это число получается после округления в меньшую сторону результата от деления \(10000\) на \(300\) и равно \(33\).(Т.к. для покупки \(34\) пачек Тимуру необходимо уже \(10200\) рублей, а это превышает имеющуюся сумму денег.)

Ответ: 33

Задание 2

На диаграмме показано количество посетителей сайта Sport.ru во все дни первых двух недель ноября \(2010\) года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта Sport.ru было наибольшим за указанный период.



По диаграмме видно, что наибольшее количество посетителей было \(14\) числа.

Ответ: 14

Задание 3

В треугольнике \(ABC\): \(AD\) и \(BE\) – высоты, пересекающиеся в точке \(F\), \(\angle EFD = 104^{\circ}\). Найдите \(\angle C\). Ответ дайте в градусах.



\(\angle AFE = 180^{\circ} - \angle EFD = 76^{\circ}\), тогда \(\angle FAE = 90^{\circ} - \angle AFE = 14^{\circ}\) (так как \(\angle FEA = 90^{\circ}\)). Треугольник \(ADC\) – прямоугольный. \(\angle C = 90^{\circ} - \angle FAE = 76^{\circ}\).

Ответ: 76

Задание 4

В кинопрокате показывают \(3\) боевика и \(7\) мелодрам. Максим выбирает, на какой сеанс пойти, случайным образом. Какова вероятность того, что он пойдет на мелодраму?

Так как вероятности выбора любого фильма одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества мелодрам к общему количеству фильмов в прокате. Вероятность выбора мелодрамы равна \[\dfrac{7}{3 + 7} = 0,7.\]

Ответ: 0,7

Задание 5

Найдите корень уравнения \(\dfrac{2}{9}x = 4\dfrac{1}{9}\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на \(9\). После умножения: \(2x = 37\), что равносильно \(x = 18,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 18,5

Задание 6

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(AB = 10\), \(CO\) – медиана. Найдите длину \(CO\).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Покажем это.
Опишем около треугольника \(ABC\) окружность



\(\angle ACB = 90^{\circ}\) – вписанный, тогда он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, следовательно, градусная мера дуги \(AB\) равна \(180^{\circ}\), а значит, \(AB\) – диаметр и \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, тогда \(AO = OC\) как радиусы. \[OC = AO = 0,5 \cdot AB = 5.\]

Ответ: 5

Задание 7

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = 2t^2 - 8t\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени \(t = 2\, с\). Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 4t - 8\), тогда в момент \(t = 2\, с\):

\(x'(2) = 4\cdot 2 - 8 = 0\, м/с\).

Ответ: 0

Задание 8

\(ABCA_1B_1C_1\) – правильная треугольная призма, \(AB = \sqrt[4]{3}\), \(AA_1 = \sqrt[4]{27}\). Найдите площадь полной поверхности призмы.




 

Площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\), тогда

\[\begin{aligned} &S_{ABC} = S_{A_1B_1C_1} = \dfrac{(\sqrt[4]{3})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3}{4},\\ &S_{AA_1C_1C} = S_{CC_1B_1B} = S_{AA_1B_1B} = AA_1\cdot AB = \sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{81} = 3. \end{aligned}\]

Таким образом, площадь полной поверхности \(ABCA_1B_1C_1\) равна \[2\cdot\dfrac{3}{4} + 3\cdot 3 = 10,5.\]

Ответ: 10,5

Задание 9

Найдите значение выражения \(\dfrac{11\cdot (2x - 1)^2}{x - 1}\) при \(x = 0\).

При \(x = 0\): \[\dfrac{11\cdot (2x - 1)^2}{x - 1} = \dfrac{11\cdot (2\cdot 0 - 1)^2}{0 - 1} = \dfrac{11\cdot (-1)^2}{-1} = \dfrac{11\cdot 1}{-1} = -11.\]

Ответ: -11

Задание 10

Антон метнул копьё под углом \(\phi\) к горизонтальной поверхности земли. Продолжительность полета копья в секундах можно найти по формуле \[t = \dfrac{2v_0\sin{\phi}}{g}.\] При каком наименьшем значении угла \(\phi\) в градусах время полета копья будет \(3,2\) секунды, если Антон метнул его с начальной скоростью \(v_0 = 32\, м/с\)? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\, м/с^2\).

Значение угла \(\phi\), при котором время полета копья будет \(3,2\) секунды, можно найти из уравнения \[3,2 = \dfrac{2\cdot 32\cdot\sin{\phi}}{10} \qquad\Leftrightarrow\qquad \sin{\phi} = 0,5.\] Наименьшее неотрицательное значение \(\phi\), при котором \(\sin{\phi} = 0,5\) равно \(30^{\circ}\).

Ответ: 30

Задание 11

Борис выехал в город из деревни Борисовка на мопеде со скоростью \(30\, км/ч\), но через \(90\, км\) его мопед сломался и он был вынужден пройти пешком \(10\, км\) до ближайшей деревни Ивановка. Это расстояние Борис шёл со скоростью \(5\, км/ч\). В Ивановке ему посчастливилось взять напрокат велосипед и оставшиеся до города \(65\, км\) он проехал со скоростью \(13\, км/ч\). Найдите среднюю скорость Бориса. Ответ дайте в км/ч.

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Бориса составляет \(90 + 10 + 65 = 165\, км\).

Время, которое Борис потратил на этот путь, равно \(90 : 30 + 10 : 5 + 65 : 13 = 10\, ч\). Тогда средняя скорость Бориса равна \(165 : 10 = 16,5\, км/ч\).

Ответ: 16,5

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции \(y = x^2 - 200x + 1\).

1) \(y' = 2x - 200\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x - 200 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 100.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 100\) – точка минимума функции \(y\).
\(y(100) = 100^2 - 200\cdot 100 + 1 = -10000 + 1 = -9999\).
Итого: наименьшее значение функции \(y\) равно \(-9999\).

Ответ: -9999

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin{(2x)} + \cos{(2x)} + 1 = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; \pi)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

 

а) Воспользуемся формулами для косинуса двойного угла и синуса двойного угла:

\[\begin{aligned} &2\sin{x}\cdot \cos{x} + 2\cos^2{x} - 1 + 1 = 0.\\ &2\cos{x}\cdot (\sin{x} + \cos{x}) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, или \(\cos{x} = 0\), или \(\sin{x} + \cos{x} = 0\).

 

В случае \(\cos{x} = 0\):
решениями будут \(x = \dfrac{\pi}{2} +\pi n\), где \(n\in\mathbb{Z}\).

 

В случае \(\sin{x} + \cos{x} = 0\):
равенство можно разделить на \(\cos{x}\) (так как при \(\cos{x} = 0\) в силу основного тригонометрического тождества \(\sin{x} + \cos{x} \neq 0\)).

После деления имеем: \(\mathrm{tg}\, x = -1\), откуда получаем \(x = -\dfrac{\pi}{4} +\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ.

 

б) \[0 < \dfrac{\pi}{2} + \pi n < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{2} < \pi n < \dfrac{\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{2} < n < \dfrac{1}{2},\] но \(n\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \((0; \pi)\) попадает только корень при \(n = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2}\).

\[0 < -\dfrac{\pi}{4} +\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{4} < \pi k < \pi + \dfrac{\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{4} < k < 1\dfrac{1}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \((0; \pi)\) попадает только корень при \(k = 1\): \(x = \dfrac{3\pi}{4}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi n\), \(-\dfrac{\pi}{4} + \pi k\), где \(n,k\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\)

Задание 14

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\), высота \(DO\) которой равна \(h\), а сторона основания \(a\). Найдите угол между основанием и боковой гранью пирамиды.



Найдем, например, угол между основанием \(ABC\) и гранью \(DAB\). Проведем \(CK\perp AB\). Т.к. пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, \(CK\) также является и медианой. Также все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники, следовательно, \(DK\) – медиана, а значит, и высота. Таким образом, по определению \(\angle DKC\) является линейным углом двугранного угла между основанием \(ABC\) и гранью \(DAB\).

 

Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку пересечения медиан основания, следовательно, \(OK=\dfrac{1}{3}CK=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}a=\dfrac{\sqrt3a}{6}\).

 

Тогда из прямоугольного треугольника \(DOK\) имеем \(\mathrm{tg}\, \angle DKC=\dfrac{DO}{OK}=\dfrac{2\sqrt3h}{a} \Rightarrow \angle DKC=\mathrm{arctg}\,\dfrac{2\sqrt3h}{a}\).

Ответ:

\(\mathrm{arctg}\,\dfrac{2\sqrt3h}{a}\).

Задание 15

Решите неравенство \[\log_{8-4x}(16x^2 - 8x + 1) \leqslant 2.\]

ОДЗ:

\[\begin{cases} 8 - 4x > 0\\ 8 - 4x \neq 1\\ 16x^2 - 8x + 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in \left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{7}{4}\right) \cup \left(\dfrac{7}{4}; 2\right).\]

\[\log_{8-4x}(16x^2 - 8x + 1) - \log_{8-4x}(8-4x)^2\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{8-4x}\dfrac{16x^2 - 8x + 1}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(8 - 4x - 1)\left(\dfrac{16x^2 - 8x + 1}{(8 - 4x)^2} - 1\right)\leqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (7 - 4x)\cdot\dfrac{16x^2 - 8x + 1 - (64 - 64x + 16x^2)}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(7 - 4x)(56x - 63)}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{(4x - 7)(8x - 9)}{(4x - 8)^2}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left(-\infty; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left[\dfrac{7}{4}; 2\right)\cup(2; +\infty)\).  

Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\).  

Окончательный ответ \[x \in\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\,.\]

Ответ:

\(\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\)

Задание 16

\(AA_1\) и \(BB_1\) – высоты в треугольнике \(ABC\), \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности.

а) Докажите, что треугольники \(A_1B_1C\) и \(ABC\) подобны.

б) Найдите угол между \(OC\) и \(A_1B_1\).

а) Рассмотрим треугольники \(AA_1C\) и \(BB_1C\): \(\angle BCA\) – общий, \(\angle AA_1C = 90^\circ = \angle BB_1C\), тогда треугольники \(AA_1C\) и \(BB_1C\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(AA_1C\) и \(BB_1C\): \[\dfrac{A_1C}{B_1C} = \dfrac{AC}{BC}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{A_1C}{AC} = \dfrac{B_1C}{BC}.\]

Рассмотрим треугольники \(A_1B_1C\) и \(ABC\): \[\dfrac{A_1C}{AC} = \dfrac{B_1C}{BC},\qquad\qquad \angle ACB\ \text{— общий},\] тогда треугольники \(A_1B_1C\) и \(ABC\) подобны (по пропорциональности сторон и равенству углов между ними).


 

б) Построим к описанной около \(ABC\) окружности касательную \(l\), проходящую через точку \(C\). Из подобия треугольников \(A_1B_1C\) и \(ABC\): \(\angle BAC = \angle B_1A_1C\).

По теореме об угле между касательной и хордой, угол между прямыми \(l\) и \(BC\) равен половине меньшей из дуг \(BC\), но \(\angle BAC\) – вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, тогда \(\angle BAC\) тоже равен половине меньшей из дуг \(BC\), следовательно, \[\angle (BC; l) = \angle BAC = \angle B_1A_1C,\] но \(\angle (BC; l)\) и \(\angle B_1A_1C\) – внутренние накрест лежащие при прямых \(A_1B_1\), \(l\) и секущей \(A_1C\), откуда \(l\parallel A_1B_1\).

Так как \(l\) – касательная к окружности в точке \(C\), то \(OC\perp l\), но \(l\parallel A_1B_1\), тогда \(OC\perp A_1B_1\), следовательно, угол между \(OC\) и \(A_1B_1\) равен \(90^\circ\).

Ответ:

б) \(90^\circ\).

Задание 17

Павлу банком был предложен кредит на следующих условиях:
– сумма кредита не должна превышать \(150\,000\) рублей;
– раз в месяц банк начисляет на остаток долга \(22\%\);
– после начисления процентов Павел вносит в банк некоторый платеж, причем весь кредит должен быть выплачен тремя платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно.
Помогите посчитать Павлу, сколько процентов от первоначального долга составит переплата по данному кредиту?

Т.к. долг должен уменьшаться равномерно, то схема выплаты кредита – дифференцированные платежи. Т.к. платежей должно быть \(3\), значит, кредит дается на \(3\) месяца, следовательно, долг каждый месяц должен уменьшаться на \(\frac{1}{3}\) часть. Составим таблицу, обозначив за \(A\) – сумму кредита:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до} & \text{Долг после} & \text{Сумма}& \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\%& \text{начисления }\% &\text{платежа}& \text{платежа} \\ \hline &&&&\\ 1& A&A+0,22\cdot A &0,22\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A& \dfrac{2}{3}\cdot A\\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 2&\dfrac{2}{3}\cdot A & \dfrac{2}{3}\cdot A+0,22\cdot \dfrac{2}{3}\cdot A&0,22\cdot \dfrac{2}{3}\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A&\dfrac{1}{3}\cdot A \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 3&\dfrac{1}{3}\cdot A &\dfrac{1}{3}\cdot A+0,22\cdot \dfrac{1}{3}\cdot A &0,22\cdot \dfrac{1}{3}\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A&0 \\ &&&&\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, переплата по кредиту составит:

 

\(\left(0,22\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A+0,22\cdot \dfrac{2}{3}\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A+0,22\cdot \dfrac{1}{3}\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A\right) - A=\)

 

\(=0,22\cdot A\cdot \left(1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\right)=0,44A\)

 

Следовательно, процент, который составит переплата относительно первоначального долга, равен:

 

\(\dfrac{0,44A}{A}\cdot 100\% = 44 \%\).

Ответ:

\(44 \%\).

Задание 18

При каких значениях параметра \(a\) неравенства

\[|x-1|\geqslant 2 \qquad \text{и} \qquad x^2-ax-a\geqslant 1\]

равносильны.

Для того, чтобы два неравенства были равносильны, нужно, чтобы они имели одинаковые решения.

 

Решим первое неравенство:

\[|x-1|\geqslant 2 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x-1\geqslant 2\\ &x-1\leqslant -2 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-\infty;-1]\cup[3;+\infty)\]

Значит, \(x\in (-\infty;-1]\cup[3;+\infty)\) должно являться решением второго неравенства. Это значит, что дискриминант уравнения \(x^2-ax-a-1=0\) должен быть больше нуля и числа \(-1\) и \(3\) должны являться его корнями:

\[\begin{cases} a^2+4(a+1)>0\\ (-1)^2+a-a-1=0\\ 3^2-3a-a-1=0\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad a=2\]

Ответ:

\(a\in \{2\}\)

Задание 19

Шесть пчёлок прилетели опылять два разных цветочка. Они договорились, что один цветочек будет опылять ровно одна пчёлка. Им предстоит решить, кому достанутся эти два цветочка на опыление. Сколькими способами они могут распределить двух пчёлок по двум разным цветочкам?

На первый цветочек может претендовать любая из \(6\) пчёлок. Как только выбрана пчёлка, которая будет опылять первый цветочек, на второй цветочек может претендовать любая из \(5\) оставшихся пчёлок.

Какую бы пчёлку не назначили на первый цветочек, после этого назначения остаётся \(5\) различных возможных вариантов назначить пчёлку на второй цветочек. То есть, каждый из \(6\) вариантов для первого цветочка даёт \(5\) различных вариантов для второго цветочка.

Получаем, что всего вариантов – “шесть раз по пять”\( \), то есть \(6\cdot 5 = 30\).

Ответ:

\(30\)