Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

\(\blacktriangleright\) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой \(a\), которая является их общей границей.

 

\(\blacktriangleright\) Чтобы найти угол между плоскостями \(\xi\) и \(\pi\), нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями \(\xi\) и \(\pi\):

 

Шаг 1: пусть \(\xi\cap\pi=a\) (линия пересечения плоскостей). В плоскости \(\xi\) отметим произвольную точку \(F\) и проведем \(FA\perp a\);

Шаг 2: проведем \(FG\perp \pi\);

Шаг 3: по ТТП (\(FG\) – перпендикуляр, \(FA\) –наклонная, \(AG\) – проекция) имеем: \(AG\perp a\);

Шаг 4: угол \(\angle FAG\) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями \(\xi\) и \(\pi\).



Заметим, что треугольник \(AG\) – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость \(AFG\), построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям \(\xi\) и \(\pi\). Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) — это угол между двумя пересекающимися прямыми \(c\in \xi\) и \(b\in\pi\), образующими плоскость, перпендикулярную и \(\xi\), и \(\pi\).

Задание 1
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите \(6\cos \alpha\), где \(\alpha\) – угол между ее смежными боковыми гранями.

Добавить задание в избранное

Пусть \(SABCD\) – данная пирамида (\(S\) – вершина), ребра которой равны \(a\). Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями \(SAD\) и \(SCD\).



Проведем \(CH\perp SD\). Так как \(\triangle SAD=\triangle SCD\), то \(AH\) также будет высотой в \(\triangle SAD\). Следовательно, по определению \(\angle AHC=\alpha\) – линейный угол двугранного угла между гранями \(SAD\) и \(SCD\).
Так как в основании лежит квадрат, то \(AC=a\sqrt2\). Заметим также, что \(CH=AH\) – высота равностороннего треугольника со стороной \(a\), следовательно, \(CH=AH=\frac{\sqrt3}2a\).
Тогда по теореме косинусов из \(\triangle AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CH\cdot AH}=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Ответ: -2

Задание 2
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости \(\pi_1\) и \(\pi_2\) пересекаются под углом, косинус которого равен \(0,2\). Плоскости \(\pi_2\) и \(\pi_3\) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей \(\pi_1\) и \(\pi_2\) параллельна линии пересечения плоскостей \(\pi_2\) и \(\pi_3\). Найдите синус угла между плоскостями \(\pi_1\) и \(\pi_3\).

Добавить задание в избранное

Пусть линия пересечения \(\pi_1\) и \(\pi_2\) – прямая \(a\), линия пересечения \(\pi_2\) и \(\pi_3\) – прямая \(b\), а линия пересечения \(\pi_3\) и \(\pi_1\) – прямая \(c\). Так как \(a\parallel b\), то \(c\parallel a\parallel b\) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” \(\rightarrow\) “Введение в стереометрию, параллельность”).



Отметим точки \(A\in a, B\in b\) так, чтобы \(AB\perp a, AB\perp b\) (это возможно, так как \(a\parallel b\)). Отметим \(C\in c\) так, чтобы \(BC\perp c\), следовательно, \(BC\perp b\). Тогда \(AC\perp c\) и \(AC\perp a\).
Действительно, так как \(AB\perp b, BC\perp b\), то \(b\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Так как \(c\parallel a\parallel b\), то прямые \(a\) и \(c\) тоже перпендикулярны плоскости \(ABC\), а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой \(AC\).

 

Отсюда следует, что \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Получается, что \(\triangle ABC\) прямоугольный, а значит \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Ответ: 0,2

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Даны прямые \(a, b, c\), пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен \(60^\circ\). Найдите \(\cos^{-1}\alpha\), где \(\alpha\) – угол между плоскостью, образованной прямыми \(a\) и \(c\), и плоскостью, образованной прямыми \(b\) и \(c\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Пусть прямые пересекаются в точке \(O\). Так как угол между любыми двумя их них равен \(60^\circ\), то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой \(a\) точку \(A\) и проведем \(AB\perp b\) и \(AC\perp c\). Тогда \(\triangle AOB=\triangle AOC\) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, \(OB=OC\) и \(AB=AC\).
Проведем \(AH\perp (BOC)\). Тогда по теореме о трех перпендикулярах \(HC\perp c\), \(HB\perp b\). Так как \(AB=AC\), то \(\triangle AHB=\triangle AHC\) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, \(HB=HC\). Значит, \(OH\) – биссектриса угла \(BOC\) (так как точка \(H\) равноудалена от сторон угла).



Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми \(a\) и \(c\), и плоскостью, образованной прямыми \(b\) и \(c\). Это угол \(ACH\).

 

Найдем этот угол. Так как точку \(A\) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что \(OA=2\). Тогда в прямоугольном \(\triangle AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac{AC}{OA} \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=1.\] Так как \(OH\) – биссектриса, то \(\angle HOC=30^\circ\), следовательно, в прямоугольном \(\triangle HOC\): \[\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{HC}{OC}\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1{\sqrt3}.\] Тогда из прямоугольного \(\triangle ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^{-1}\alpha=3.\]

Ответ: 3

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости \(\pi_1\) и \(\pi_2\) пересекаются по прямой \(l\), на которой лежат точки \(M\) и \(N\). Отрезки \(MA\) и \(MB\) перпендикулярны прямой \(l\) и лежат в плоскостях \(\pi_1\) и \(\pi_2\) соответственно, причем \(MN = 15\), \(AN = 39\), \(BN = 17\), \(AB = 40\). Найдите \(3\cos\alpha\), где \(\alpha\) – угол между плоскостями \(\pi_1\) и \(\pi_2\).

Добавить задание в избранное



Треугольник \(AMN\) прямоугольный, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), откуда \[AM^2 = 39^2 - 15^2 = 36^2.\] Треугольник \(BMN\) прямоугольный, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), откуда \[BM^2 = 17^2 - 15^2 = 8^2.\] Запишем для треугольника \(AMB\) теорему косинусов: \[AB^2 = AM^2 + MB^2 - 2\cdot AM\cdot MB\cdot\cos\angle AMB.\] Тогда \[40^2 = 36^2 + 8^2 - 2\cdot 36\cdot 8\cdot\cos\angle AMB\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos\angle AMB = -\dfrac{5}{12}\] Так как угол \(\alpha\) между плоскостями – это острый угол, а \(\angle AMB\) получился тупым, то \(\cos\alpha=\dfrac5{12}\). Тогда \[3\cos\alpha = \dfrac54=1,25.\]

Ответ: 1,25

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, \(ABCD\) – квадрат со стороной \(a\), точка \(M\) – основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A_1\) на плоскость \((ABCD)\), кроме того \(M\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\). Известно, что \(A_1M = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\). Найдите угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Построим \(MN\) перпендикулярно \(AB\) как показано на рисунке.


 

Так как \(ABCD\) – квадрат со стороной \(a\) и \(MN\perp AB\) и \(BC\perp AB\), то \(MN\parallel BC\). Так как \(M\) – точка пересечения диагоналей квадрата, то \(M\) – середина \(AC\), следовательно, \(MN\) – средняя линия и \(MN =\frac12BC= \frac{1}{2}a\).
\(MN\) – проекция \(A_1N\) на плоскость \((ABCD)\), причем \(MN\) перпендикулярен \(AB\), тогда по теореме о трех перпендикулярах \(A_1N\) перпендикулярен \(AB\) и угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) есть \(\angle A_1NM\).
\[\mathrm{tg}\, \angle A_1NM = \dfrac{A_1M}{NM} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{1}{2}a} = \sqrt{3}\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^{\circ}\]

Ответ: 60

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате \(ABCD\): \(O\) – точка пересечения диагоналей; \(S\) – не лежит в плоскости квадрата, \(SO \perp ABC\). Найдите угол между плоскостями \(ASD\) и \(ABC\), если \(SO = 5\), а \(AB = 10\).



Добавить задание в избранное

Прямоугольные треугольники \(\triangle SAO\) и \(\triangle SDO\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\), т.к. \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата, \(SO\) – общая сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) – равнобедренный. Точка \(K\) – середина \(AD\), тогда \(SK\) – высота в треугольнике \(\triangle ASD\), а \(OK\) – высота в треугольнике \(AOD\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOK\) перпендикулярна плоскостям \(ASD\) и \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.


 

В \(\triangle SKO\): \(OK = \frac{1}{2}\cdot AB = \frac{1}{2}\cdot 10 = 5 = SO\) \(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – равнобедренный прямоугольный треугольник \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\).

Ответ: 45

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате \(ABCD\): \(O\) – точка пересечения диагоналей; \(S\) – не лежит в плоскости квадрата, \(SO \perp ABC\). Найдите угол между плоскостями \(ASD\) и \(BSC\), если \(SO = 5\), а \(AB = 10\).

Добавить задание в избранное

Прямоугольные треугольники \(\triangle SAO\), \(\triangle SDO\), \(\triangle SOB\) и \(\triangle SOC\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), т.к. \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата, \(SO\) – общая сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) и \(\triangle BSC\) – равнобедренные. Точка \(K\) – середина \(AD\), тогда \(SK\) – высота в треугольнике \(\triangle ASD\), а \(OK\) – высота в треугольнике \(AOD\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOK\) перпендикулярна плоскости \(ASD\). Точка \(L\) – середина \(BC\), тогда \(SL\) – высота в треугольнике \(\triangle BSC\), а \(OL\) – высота в треугольнике \(BOC\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOL\) (она же плоскость \(SOK\)) перпендикулярна плоскости \(BSC\). Таким образом получаем, что \(\angle KSL\) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.


 

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\) \(\Rightarrow\) \(OL = 5\); \(SK = SL\) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Можно заметить, что \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\) \(\Rightarrow\) для треугольника \(\triangle KSL\) выполняется обратная теорема Пифагора \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – прямоугольный треугольник \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\circ\).

Ответ: 90

Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Основные нюансы

  • Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.

  • Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.

  • Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.

  • Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.

  • Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.

Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.