Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет

Задание 1 #4029
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[2^{\lg(x^2-4)}\geqslant (x+2)^{\lg 2}\]

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

Добавить задание в избранное

ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} x^2-4>0\\ x+2>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x>2\] Решим неравенство на ОДЗ.
Пользуясь формулой \(a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\), неравенство можно записать в виде: \[2^{\lg(x^2-4)}\geqslant 2^{\lg(x+2)}\] Так как основания \(2>1\), то неравенство можно переписать так (знак неравенства не сменится):\[\lg (x^2-4) \geqslant \lg(x+2)\] Так как снова основания логарифмов \(10>1\), то неравенство на ОДЗ равносильно \[x^2-4\geqslant x+2\quad\Leftrightarrow\quad (x+2)(x-2)-(x+2)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x+2)(x-3)\geqslant 0\] Решением этого неравенства будут \(x\in (-\infty;-2]\cup[3;+\infty)\). Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим: \[x\in [3;+\infty)\]

Ответ:

\([3;+\infty)\)

Задание 2 #4010
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{(x+4)^2}\left(3x^2-x-1\right)\leqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

Добавить задание в избранное

Выпишем ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} (x+4)^2>0\\ (x+4)^2\ne 1\\3x^2-x-1>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-5)\cup(-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left(-3;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;+\infty\right)\] Решим неравенство на ОДЗ. Воспользуемся методом рационализации: \[((x+4)^2-1)\cdot (3x^2-x-1-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)(x+5)(x-1)(3x+2)\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:

Следовательно, \[x\in [-5;-3]\cup\left[-\dfrac23;1\right]\] Пересечем полученный ответ с ОДЗ и найдем итоговый ответ: \[x\in (-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left[-\dfrac23;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;1\right]\]

Ответ:

\((-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left[-\dfrac23;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;1\right]\)

Задание 3 #3275
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{\log_3(9x)\cdot \log_4(64x)}{5x^2-|x|}\leqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Добавить задание в избранное

Найдем ОДЗ логарифмов: \[\begin{cases} 9x>0\\ 64x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x>0\] Заметим, что на этом ОДЗ \(|x|=x\). Тогда на ОДЗ по методу рационализации неравенство равносильно: \[\dfrac{(3-1)(9x-1)(4-1)(64x-1)}{x(5x-1)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(9x-1)(64x-1)}{x(5x-1)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:



Следовательно, решением будут \(x\in \left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\).
Пересекая данный ответ с ОДЗ \(x>0\), получаем окончательный ответ: \[x\in \left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\]

Ответ:

\(\left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\)

 

Задание 4 #3247
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[{\large{4^{-x^2+6x-4}-34\cdot 2^{-x^2+6x-4}+64\geqslant 0}}\]

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

ОДЗ неравенства: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену: \(2^{-x^2+6x-4}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-34t+64\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-32)(t-2)\geqslant0 \quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;2]\cup[32;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^{-x^2+6x-4}\leqslant 2\\ &2^{-x^2+6x-4}\geqslant 32 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &-x^2+6x-4\leqslant 1\\[2ex] &-x^2+6x-4\geqslant 5 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-6x+5\geqslant 0\\ &x^2-6x+9\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), то получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(x-1)(x-5)\geqslant 0\\ &(x-3)^2\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in (-\infty;1]\cup[5;+\infty)\\ &x=3\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-\infty;1]\cup\{3\}\cup[5;+\infty)\)

Задание 5 #3235
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[9^{-x^2+4x-1}-36\cdot 3^{-x^2+4x-1}+243\geqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

ОДЗ неравенства: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену: \(3^{-x^2+4x-1}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-36t+243\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-9)(t-27)\geqslant0 \quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;9]\cup[27;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^{-x^2+4x-1}\leqslant 9\\ &3^{-x^2+4x-1}\geqslant 27 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &-x^2+4x-1\leqslant 2\\ &-x^2+4x-1\geqslant 3 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-4x+4\geqslant 1\\ &x^2-4x+4\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), то получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(x-2)^2\geqslant 1\\ &(x-2)^2\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in (-\infty;1]\cup[3;+\infty)\\ &x=2\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-\infty;1]\cup \{2\}\cup[3;+\infty)\)

Задание 6 #3270
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{\log_2x}{\log_2x-6} \geqslant 10\cdot \log_x2+\dfrac{35}{\log^2_2x-6\cdot \log_2x}\]

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Общее ОДЗ всех логарифмов: \(x>0,x\ne 1\). На этом ОДЗ \(\log_x2=\dfrac1{\log_2x}\). Сделаем замену \(\log_2x=t\): \[\dfrac{t}{t-6}\geqslant \dfrac{10}t+\dfrac{35}{t^2-6t} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-10t+25}{t(t-6)}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-5)^2}{t(t-6)}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ \[t\in (-\infty;0)\cup\{5\}\cup(6;+\infty)\] Сделаем обратную замену:
\(\bullet\) \(\log_2x<0\quad\Rightarrow\quad 0<x<1\)   \(\bullet\) \(\log_2x=5\quad\Rightarrow\quad x=2^5=32\)   \(\bullet\) \(\log_2x>6\quad\Rightarrow\quad x>2^6=64\).   Пересекая полученный ответ с ОДЗ, имеем: \[x\in (0;1)\cup\{32\}\cup(64;+\infty)\]

Ответ:

\((0;1)\cup\{32\}\cup(64;+\infty)\)

Задание 7 #3282
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{8^{x+1}-40}{2\cdot 64^x-32}\leqslant 1\]

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену: \(8^x=t\). Тогда: \[\dfrac{8t-40}{2t^2-32}\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{4t-20}{t^2-16}-1\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-4t+4}{t^2-16}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-2)^2}{(t-4)(t+4)}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получаем: \[t\in (-\infty;-4)\cup\{2\}\cup(4;+\infty)\] Следовательно:
\(\bullet\) \(8^x<-4\) — данное неравенство не имеет решений (так как \(8^x>0\) при всех \(x\))

\(\bullet\) \(8^x=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac13\)   \(\bullet\) \(8^x>4\quad\Rightarrow\quad x>\dfrac23\)

Ответ:

\(\left\{\frac13\right\}\cup \left(\frac23;+\infty\right)\)