Решите неравенство \[\log_7(11x^2+10)-\log_7(x^2+x+1)\geqslant \log_7\left(\dfrac{x}{x+8}+10\right)\]
(ЕГЭ 2018, основная волна)
Ограничения на \(x\) для логарифмов: \[\begin{cases} 11x^2+10>0\\ x^2+x+1>0\\ \dfrac x{x+8}+10>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\in \mathbb{R}, \text{ так как }x^2\geqslant 0\\ x\in \mathbb{R}, \text{ так как }D<0 \text{ и коэффициент при } x^2 \text{ больше 0}\\ x\in (-\infty;-8)\cup \left(-\dfrac{80}{11}; +\infty\right)\end{cases}\]
Решим неравенство при этих ограничениях.
Воспользуемся формулой \(\log_c a-\log_cb=\log_c\frac ab\): \[\begin{aligned}
&\log_7\left(\dfrac{11x^2+10}{x^2+x+1}\right)\geqslant
\log_7\left(\dfrac{x+10x+80}{x+8}\right)\quad\Rightarrow\\[2ex]
&\dfrac{11x^2+10}{x^2+x+1}\geqslant\dfrac{x+10x+80}{x+8}
\quad\Rightarrow\\[2ex]
&\dfrac{-3x^2-81x}{(x+8)(x^2+x+1)}\geqslant 0\quad\Rightarrow\\[2ex]
&\dfrac{x(x+27)}{(x+8)(x^2+x+1)}\leqslant 0
\end{aligned}\] Как уже говорилось выше, \(x^2+x+1>0\), следовательно, неравенство можно переписать в виде: \[\dfrac{x(x+27)}{x+8}\leqslant 0\] Решая полученное неравенство методом интервалов, получим \[x\in (-\infty; -27]\cup(-8; 0]\] Учитывая ограничения на \(x\), получим окончательный ответ: \[(-\infty; -27]\cup\left(-\frac{80}{11}; 0\right]\]
Ответ:
\((-\infty; -27]\cup\left(-\frac{80}{11}; 0\right]\)