Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет

Задание 1 #6324
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_7(11x^2+10)-\log_7(x^2+x+1)\geqslant \log_7\left(\dfrac{x}{x+8}+10\right)\]

 

(ЕГЭ 2018, основная волна)

Ограничения на \(x\) для логарифмов: \[\begin{cases} 11x^2+10>0\\ x^2+x+1>0\\ \dfrac x{x+8}+10>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\in \mathbb{R}, \text{ так как }x^2\geqslant 0\\ x\in \mathbb{R}, \text{ так как }D<0 \text{ и коэффициент при } x^2 \text{ больше 0}\\ x\in (-\infty;-8)\cup \left(-\dfrac{80}{11}; +\infty\right)\end{cases}\]

Решим неравенство при этих ограничениях.
Воспользуемся формулой \(\log_c a-\log_cb=\log_c\frac ab\): \[\begin{aligned} &\log_7\left(\dfrac{11x^2+10}{x^2+x+1}\right)\geqslant \log_7\left(\dfrac{x+10x+80}{x+8}\right)\quad\Rightarrow\\[2ex] &\dfrac{11x^2+10}{x^2+x+1}\geqslant\dfrac{x+10x+80}{x+8} \quad\Rightarrow\\[2ex] &\dfrac{-3x^2-81x}{(x+8)(x^2+x+1)}\geqslant 0\quad\Rightarrow\\[2ex] &\dfrac{x(x+27)}{(x+8)(x^2+x+1)}\leqslant 0 \end{aligned}\] Как уже говорилось выше, \(x^2+x+1>0\), следовательно, неравенство можно переписать в виде: \[\dfrac{x(x+27)}{x+8}\leqslant 0\] Решая полученное неравенство методом интервалов, получим \[x\in (-\infty; -27]\cup(-8; 0]\] Учитывая ограничения на \(x\), получим окончательный ответ: \[(-\infty; -27]\cup\left(-\frac{80}{11}; 0\right]\]

Ответ:

\((-\infty; -27]\cup\left(-\frac{80}{11}; 0\right]\)

Задание 2 #4029
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[2^{\lg(x^2-4)}\geqslant (x+2)^{\lg 2}\]

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} x^2-4>0\\ x+2>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x>2\] Решим неравенство на ОДЗ.
Пользуясь формулой \(a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\), неравенство можно записать в виде: \[2^{\lg(x^2-4)}\geqslant 2^{\lg(x+2)}\] Так как основания \(2>1\), то неравенство можно переписать так (знак неравенства не сменится):\[\lg (x^2-4) \geqslant \lg(x+2)\] Так как снова основания логарифмов \(10>1\), то неравенство на ОДЗ равносильно \[x^2-4\geqslant x+2\quad\Leftrightarrow\quad (x+2)(x-2)-(x+2)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x+2)(x-3)\geqslant 0\] Решением этого неравенства будут \(x\in (-\infty;-2]\cup[3;+\infty)\). Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим: \[x\in [3;+\infty)\]

Ответ:

\([3;+\infty)\)

Задание 3 #4010
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{(x+4)^2}\left(3x^2-x-1\right)\leqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

Выпишем ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} (x+4)^2>0\\ (x+4)^2\ne 1\\3x^2-x-1>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-5)\cup(-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left(-3;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;+\infty\right)\] Решим неравенство на ОДЗ. Воспользуемся методом рационализации: \[((x+4)^2-1)\cdot (3x^2-x-1-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)(x+5)(x-1)(3x+2)\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:

Следовательно, \[x\in [-5;-3]\cup\left[-\dfrac23;1\right]\] Пересечем полученный ответ с ОДЗ и найдем итоговый ответ: \[x\in (-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left[-\dfrac23;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;1\right]\]

Ответ:

\((-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left[-\dfrac23;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;1\right]\)

Задание 4 #3275
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{\log_3(9x)\cdot \log_4(64x)}{5x^2-|x|}\leqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Найдем ОДЗ логарифмов: \[\begin{cases} 9x>0\\ 64x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x>0\] Заметим, что на этом ОДЗ \(|x|=x\). Тогда на ОДЗ по методу рационализации неравенство равносильно: \[\dfrac{(3-1)(9x-1)(4-1)(64x-1)}{x(5x-1)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(9x-1)(64x-1)}{x(5x-1)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:



Следовательно, решением будут \(x\in \left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\).
Пересекая данный ответ с ОДЗ \(x>0\), получаем окончательный ответ: \[x\in \left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\]

Ответ:

\(\left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\)

 

Задание 5 #3247
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[{\large{4^{-x^2+6x-4}-34\cdot 2^{-x^2+6x-4}+64\geqslant 0}}\]

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

ОДЗ неравенства: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену: \(2^{-x^2+6x-4}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-34t+64\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-32)(t-2)\geqslant0 \quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;2]\cup[32;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^{-x^2+6x-4}\leqslant 2\\ &2^{-x^2+6x-4}\geqslant 32 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &-x^2+6x-4\leqslant 1\\[2ex] &-x^2+6x-4\geqslant 5 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-6x+5\geqslant 0\\ &x^2-6x+9\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), то получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(x-1)(x-5)\geqslant 0\\ &(x-3)^2\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in (-\infty;1]\cup[5;+\infty)\\ &x=3\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-\infty;1]\cup\{3\}\cup[5;+\infty)\)

Задание 6 #3235
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[9^{-x^2+4x-1}-36\cdot 3^{-x^2+4x-1}+243\geqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

ОДЗ неравенства: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену: \(3^{-x^2+4x-1}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-36t+243\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-9)(t-27)\geqslant0 \quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;9]\cup[27;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^{-x^2+4x-1}\leqslant 9\\ &3^{-x^2+4x-1}\geqslant 27 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &-x^2+4x-1\leqslant 2\\ &-x^2+4x-1\geqslant 3 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-4x+4\geqslant 1\\ &x^2-4x+4\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), то получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(x-2)^2\geqslant 1\\ &(x-2)^2\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in (-\infty;1]\cup[3;+\infty)\\ &x=2\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-\infty;1]\cup \{2\}\cup[3;+\infty)\)

Задание 7 #3270
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{\log_2x}{\log_2x-6} \geqslant 10\cdot \log_x2+\dfrac{35}{\log^2_2x-6\cdot \log_2x}\]

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Общее ОДЗ всех логарифмов: \(x>0,x\ne 1\). На этом ОДЗ \(\log_x2=\dfrac1{\log_2x}\). Сделаем замену \(\log_2x=t\): \[\dfrac{t}{t-6}\geqslant \dfrac{10}t+\dfrac{35}{t^2-6t} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-10t+25}{t(t-6)}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-5)^2}{t(t-6)}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ \[t\in (-\infty;0)\cup\{5\}\cup(6;+\infty)\] Сделаем обратную замену:
\(\bullet\) \(\log_2x<0\quad\Rightarrow\quad 0<x<1\)   \(\bullet\) \(\log_2x=5\quad\Rightarrow\quad x=2^5=32\)   \(\bullet\) \(\log_2x>6\quad\Rightarrow\quad x>2^6=64\).   Пересекая полученный ответ с ОДЗ, имеем: \[x\in (0;1)\cup\{32\}\cup(64;+\infty)\]

Ответ:

\((0;1)\cup\{32\}\cup(64;+\infty)\)