Преобразуем неравенство: \((a-1)(a-2)x \geqslant a-2\). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:
1) \(a=2\). Тогда неравенство примет вид \(0 \geqslant 0\), что верно при любых значениях \(x\), следовательно, множество решений содержит полуинтервал \([2;3)\).
2) \(a=1\). Тогда неравенство примет вид \(0 \geqslant -1\), что верно при любых значениях \(x\), следовательно, множество решений содержит полуинтервал \([2;3)\).
3) \((a-1)(a-2)>0 \Leftrightarrow a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\). Тогда:
\(x\geqslant \dfrac{1}{a-1}\). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал \([2;3)\), необходимо, чтобы
\(\dfrac{1}{a-1} \leqslant 2 \Leftrightarrow \dfrac{3-2a}{a-1}
\leqslant 0
\Rightarrow a\in (-\infty; 1)\cup [1,5; +\infty)\).
Учитывая условие \(a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\), получаем \(a\in
(-\infty;1)\cup (2;+\infty)\).
4) \((a-1)(a-2)<0 \Leftrightarrow a\in (1;2)\). Тогда:
\(x\leqslant \dfrac{1}{a-1} \Rightarrow \dfrac{1}{a-1} \geqslant 3\).
Действуя аналогично случаю 3), получаем \(a\in (1;
\dfrac{4}{3}\big]\).
Ответ:
\(a\in (-\infty;\dfrac{4}{3}\big]\cup [2;+\infty)\).