3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I
Прямоугольный треугольник – это треугольник, один из углов которого равен \(90^\circ\) (прямой).
Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (\(AB\)), а две другие стороны — катетами (\(AC\) и \(BC\)).
\(\bullet\) Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
Следовательно, если, например, \(\angle A=30^\circ\), то \(BC=\dfrac12AB\).
\(\bullet\) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\): \(\angle A+\angle B=90^\circ\).
Следовательно, если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен \(45^\circ\), то такой треугольник является равнобедренным.
\(\bullet\) Если в прямоугольном треугольнике \(ABC\) провести высоту \(CH\) из прямого угла, то \(\angle BAC=\angle BCH\) и \(\angle
ABC=\angle
ACH\):
\(\bullet\) Теорема Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: \[AB^2=AC^2+BC^2\]
\(\bullet\) \(\triangle ABC\sim \triangle AHC\sim \triangle BHC\)
\(\bullet\) Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой: \[CH=\sqrt{AH\cdot HB}\]
В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), угол \(A\) равен \(30^\circ\), \(AB=2\sqrt3\). Найдите высоту \(CH\).
Так как катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(BC=0,5AB=\sqrt3\).
По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle
A=30^\circ\), следовательно, из \(\triangle BCH\): \(HB=0,5
BC=\sqrt3:2\).
Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle BCH\): \[CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{\dfrac94}=1,5\]
Ответ: 1,5
В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH\) – высота, угол \(A\) равен \(30^\circ\). Найдите \(AH\), если \(AB=2\).
Так как катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(BC=0,5AB=1\).
Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ABC\): \[AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt3\] Из прямоугольного \(\triangle AHC\): \(HC=0,5AC=\sqrt3:2\). Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=1,5\]
Ответ: 1,5
В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH\) – высота, угол \(A\) равен \(30^\circ\). Найдите \(BH\), если \(AB=4\).
Так как катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(BC=0,5AB=2\).
По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle
A=30^\circ\), следовательно, из \(\triangle BCH\): \(HB=0,5
BC=1\).
Ответ: 1
В треугольнике \(ABC\) \( \ AB=BC=AC=2\sqrt3\). Найдите высоту \(CH\).
Так как \(AC=BC\), то \(CH\) также является медианой, следовательно, \(AH=0,5 AB=\sqrt3\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACH\): \[CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=3\]
Ответ: 3
В равностороннем треугольнике \(ABC\) высота \(CH\) равна \(2\sqrt3\). Найдите \(AB\).
Так как \(AC=BC\), то \(CH\) также является медианой. Следовательно, если \(AH=a\), то \(AB=AC=2a\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACH\): \[AC^2=AH^2+CH^2\quad\Rightarrow\quad 4a^2=a^2+12\quad\Rightarrow\quad a=2\quad\Rightarrow\quad AB=2a=4\]
Ответ: 4
В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC=4\), \(\angle C=30^\circ\). Найдите высоту \(AH\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(AH=0,5AC=2\).
Заметим, что условие \(BC=4\) в данной задаче является лишним.
Ответ: 2
В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC\), высота \(AH\) равна \(4\), угол \(C\) равен \(30^\circ\). Найдите \(BC\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(4=AH=0,5AC\), откуда \(8=AC=BC\).
Ответ: 8
