Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на построение конструкций/примеров по заданным условиям

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли расположить \(12\) одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно

а) по \(2\) монеты;

б) по \(3\) монеты;

в) по \(4\) монеты;

г) по \(5\) монет;

д) по \(6\) монет;

е) по \(7\) монет?

(Разрешается класть монеты одну на другую).

Добавить задание в избранное

а) Заметим, что если вдоль каждой стенки будет стоять по две монеты, то всего монет будет не больше \(8\), а у нас их \(12\), значит нельзя.

б)–д) В этих пунктах можно расположить монеты требуемым образом. Примеры расстановки приведены на рисунках:

г) Заметим, что каждая монета может стоять максимум около двух стенок коробки, и даже если мы поставим по \(7\) монет одна на другую (оптимальная расстановка), то всего монет будет \(14\), а у нас их \(12\) – противоречие.

Ответ:

а), е) Нельзя; б), в), г), д) можно.

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

На доске записаны числа \(1; 2; 4; 8; 16; 32\). Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

Добавить задание в избранное

Вот как это можно сделать:

\[\begin{aligned} &1; 2; 4; 8; 16; 32\qquad\rightarrow\qquad 1; 2; (8-4); (32-16) \qquad\rightarrow\qquad 1; 2; 4; 16 \qquad\rightarrow\\ &\rightarrow\qquad 1; (4-2); 16 \qquad\rightarrow\qquad 1; 2; 16\qquad\rightarrow\qquad(2-1); 16\qquad\rightarrow\qquad 1; 16\qquad\rightarrow\qquad 15. \end{aligned}\]

Ответ:

Да

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Пусть \(a=b+1\), может ли при этом выполняться равенство \(a^4=b^4\)?

Добавить задание в избранное

Пусть \(a=\dfrac{1}{2}, а b=-\dfrac{1}{2}\), тогда \(a^4=b^4 = \dfrac{1}{16}\).

Ответ:

Да

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Составьте из цифр \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\) магический квадрат, то есть разместите их в квадратной таблице так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

Добавить задание в избранное

Вот способ расстановки:

8 1 6
3 5 7
4 9 3

Ответ:

Пример

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли расставить в квадрат \(8\times 8\) числа \(0\), \(1\), \(2\) так, чтобы суммы чисел по всем строкам и всем столбцам были различны?

Добавить задание в избранное

Сумма восьми каких-нибудь чисел из множества \(\{0, 1, 2\}\) может быть равна \(0\), \(1\), \(2\), ..., \(15\) или \(16\). Пусть \(a_i\) – сумма чисел в \(i\)-ой строке, \(b_j\) – сумма чисел в \(j\)-ом столбце, тогда среди чисел \(a_1\), ..., \(a_8\), \(b_1\), ..., \(b_8\) должны встретиться все числа из множества \(\{0, 1, ..., 16\}\), кроме одного.

При этом \(a_1 + ... + a_8 = b_1 + ... + b_8\), так как обе эти суммы есть просто сумма всех чисел в данной квадратной таблице. Тогда можно попробовать положить

\(a_1 = 16\), \(a_2 = 1\), \(b_1 = 15\), \(b_2 = 2\), \(a_3 = 14\), \(a_4 = 3\), \(b_3 = 13\), \(b_4 = 4\),..., \(a_7 = 10\), \(a_8 = 7\), \(b_7 = 9\), \(b_8 = 8\).
Соответствующий способ заполнения квадратной таблицы приведён ниже:

2 2 2 2 2 2 2 2
1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 2 2 2 2 2 2
2 0 1 0 0 0 0 0
2 0 2 0 2 2 2 2
2 0 2 0 1 0 0 0
2 0 2 0 2 0 2 2
2 0 2 0 2 0 1 0

Ответ:

Да

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Известно, что \(n\in\mathbb{N}\). Можно ли расставить в квадрат \(2n\times 2n\) числа \(0\), \(1\), \(2\) так, чтобы суммы чисел по всем строкам и всем столбцам были различны?

Добавить задание в избранное

Для наглядности решим сначала задачу в частном случае \(n = 4\), чтобы потом построить решение общей задачи по аналогии.

Сумма восьми каких-нибудь чисел из множества \(\{0, 1, 2\}\) может быть равна \(0\), \(1\), \(2\), ..., \(15\) или \(16\). Пусть \(a_i\) – сумма чисел в \(i\)-ой строке, \(b_j\) – сумма чисел в \(j\)-ом столбце, тогда среди чисел \(a_1\), ..., \(a_8\), \(b_1\), ..., \(b_8\) должны встретиться все числа из множества \(\{0, 1, ..., 16\}\), кроме одного.

При этом \(a_1 + ... + a_8 = b_1 + ... + b_8\), так как обе эти суммы есть просто сумма всех чисел в данной квадратной таблице. Тогда можно попробовать положить

\(a_1 = 16\), \(a_2 = 1\), \(b_1 = 15\), \(b_2 = 2\), \(a_3 = 14\), \(a_4 = 3\), \(b_3 = 13\), \(b_4 = 4\),..., \(a_7 = 10\), \(a_8 = 7\), \(b_7 = 9\), \(b_8 = 8\).
Соответствующий способ заполнения квадратной таблицы приведён ниже:

2 2 2 2 2 2 2 2
1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 2 2 2 2 2 2
2 0 1 0 0 0 0 0
2 0 2 0 2 2 2 2
2 0 2 0 1 0 0 0
2 0 2 0 2 0 2 2
2 0 2 0 2 0 1 0

Аналогично случаю \(n = 4\) получаем соответствующий способ заполнения квадратной таблицы в общем случае:

2 2 2 2 2 ... 2
1 0 0 0 0 ... 0
2 0 2 2 2 ... 2
2 0 1 0 0 ... 0
2 0 2 0 2 ... 2
...
2 0 2 0 ... 1 0

Ответ:

Да

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

У Игоря есть гири с массами \(4\, г\), \(5\, г\), \(6\, г\), \(7\, г\) ..., \(2017\, г\).

а) Может ли Игорь уравновесить чашечные весы, использовав все гири разом?

б) Сможет ли Игорь уравновесить чашечные весы, использовав все гири, которые у него будут, когда Тимур подарит ему гирю с массой \(1\, г\)?

Добавить задание в избранное

а) Сумма масс имеющихся у Игоря гирь: \(1 + 2 + ... + 2017 - 1 - 2 - 3 = \dfrac{2017\cdot (2017 + 1)}{2} - 6 = 2017\cdot 1009 - 6\) – нечётна, следовательно, имеющиеся у Игоря гири нельзя поставить на весы так, чтобы чаши уравновесились.

б) Так как теперь гирь \(2017 - 3 + 1 = 2015\), то их нельзя разбить на пары. Тогда возьмём и отложим в сторону гири с массами \(1\, г\), \(4\, г\) и \(5\, г\).

Разберёмся сначала с остальными гирями – их уже можно разбить на пары так, чтобы суммарные массы во всех парах были одинаковы: \((2017; 6)\), \((2016; 7)\), ..., \((1012; 1011)\) – всего \((2015 - 3) : 2 = 1006\) пар. Теперь можно на одну чашу весов положить все гири, которые попали в первые \(1006 : 2 = 503\) пары, а на другую чашу весов все остальные гири, кроме гирь с массами \(1\, г\), \(4\, г\) и \(5\, г\).

На данный момент весы находятся в равновесии, а не использовали мы только те самые гири с массами \(1\, г\), \(4\, г\) и \(5\, г\). Остаётся только гирю с массой \(5\, г\) положить на одну чашу весов (любую), а гири с массами \(1\, г\) и \(4\, г\) – на другую чашу весов.

Ответ:

а) Нет

б) Да