Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные тригонометрические выражения

\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:

 

Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin \longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm \alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

 

\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите \(\sin^2 \alpha + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha\), если \(\cos \alpha = 0,18\).

Добавить задание в избранное

Согласно основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), откуда \[\sin^2 \alpha + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2 \alpha +\cos^2\alpha + 2\cos\alpha = 1 + 2\cos\alpha,\] что при \(\cos \alpha = 0,18\) равно \(1 + 2\cdot 0,18 = 1,36\).

Ответ: 1,36

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\cos2\alpha\), если \(\sin\alpha = -0,6\).

Добавить задание в избранное

\[\cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2\cdot(-0,6)^2 = 1 - 2\cdot0,36 = 1 - 0,72 = 0,28\]

Ответ: 0,28

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите \(2\sin^2 \alpha + 2\sin\alpha + 2\cos^2\alpha\), если \(\sin \alpha = -0,5\).

Добавить задание в избранное

Согласно основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), откуда \[2\sin^2 \alpha + 2\sin\alpha + 2\cos^2\alpha = 2(\sin^2 \alpha + \cos^2\alpha + \sin\alpha) = 2(1 + \sin\alpha),\] что при \(\sin \alpha = -0,5\) равно \(2(1 - 0,5) = 1\).

Ответ: 1

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите \(2 \sin \alpha\), если \(\cos \alpha = -1\).

Добавить задание в избранное

Согласно основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), откуда при \(\cos\alpha = -1\) получаем: \[\sin^2\alpha + 1 = 1,\] то есть \(\sin^2\alpha = 0\), откуда \(\sin\alpha = 0\), следовательно, \(2 \sin \alpha = 0\).

Ответ: 0

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите \(|3 \cos \alpha|\), если \(\sin \alpha = 0\).

Добавить задание в избранное

Согласно основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), откуда при \(\sin\alpha = 0\) получаем: \[0 + \cos^2\alpha = 1,\] то есть \(\cos^2\alpha = 1\), откуда \(\cos\alpha = \pm 1\), следовательно, \(3 \cos \alpha = \pm 3\), тогда \(|3\cos\alpha| = |\pm 3| = 3\).

Ответ: 3

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите \(4 \cos \alpha\), если \(\sqrt{3}\sin \alpha = \dfrac{6\sqrt{2}}{5}\), \(\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)\).

Добавить задание в избранное

\(\sin \alpha = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\). Основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), откуда получаем: \[\dfrac{24}{25} + \cos^2 \alpha = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{25}\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos \alpha = \pm 0,2.\] С учётом условия \(\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)\) из двух возможных значений остаётся только \(\cos \alpha = 0,2\) (в первой четверти косинус неотрицателен).

Итого: \(4 \cos \alpha = 4 \cdot 0,2 = 0,8\).

Ответ: 0,8

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sin2\alpha\), если \(\cos\alpha = 0,8\), \(270^\circ < \alpha < 360^\circ\).

Добавить задание в избранное

\[\sin2\alpha = 2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha\] Так как угол \(\alpha\) расположен в четвертой четверти, то синус этого угла будет отрицательной величиной: \[\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - 0,8^2} = -\sqrt{1 - 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6\] Тогда искомая величина будет равна: \[2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha = 2\cdot(-0,6)\cdot0,8 = -0,96\]

Ответ: -0,96