Математика
Русский язык

Тригонометрия - подготовка к ЕГЭ

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим прямоугольную систему координат и в ней окружность с единичным радиусом и центром в начале координат.

 

Угол в \(1^\circ\) — это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна \(\dfrac1{360}\) длины всей окружности.

 

\(\blacktriangleright\) Будем рассматривать на окружности такие углы, у которых вершина находится в центре окружности, а одна сторона всегда совпадает с положительным направлением оси \(Ox\) (на рисунке выделено красным).
На рисунке таким образом отмечены углы \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\):


Заметим, что угол \(0^\circ\) — это угол, обе стороны которого совпадают с положительным направлением оси \(Ox\).

 

Точку, в которой вторая сторона такого угла \(\alpha\) пересекает окружность, будет называть \(P_{\alpha}\).
Положение точки \(P_{0}\) будем называть начальным положением.

Таким образом, можно сказать, что мы совершаем поворот по окружности из начального положения \(P_0\) до положения \(P_{\alpha}\) на угол \(\alpha\).

 

\(\blacktriangleright\) Поворот по окружности против часовой стрелки — это поворот на положительный угол. Поворот по часовой стрелке — это поворот на отрицательный угол.

Например, на рисунке отмечены углы \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\):

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим точку \(P_{30^\circ}\) на окружности. Для того, чтобы совершить поворот по окружности из начального положения до точки \(P_{30^\circ}\), необходимо совершить поворот на угол \(30^\circ\) (оранжевый). Если мы совершим полный оборот (то есть на \(360^\circ\)) и еще поворот на \(30^\circ\), то мы снова попадем в эту точку, хотя уже был совершен поворот на угол \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\) (голубой). Также попасть в эту точку мы можем, совершив поворот на \(-330^\circ\) (зеленый), на \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\) и т.д.


Таким образом, каждой точке на окружности соответствует бесконечное множество углов, причем отличаются эти углы друг от друга на целое число полных оборотов (\(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb{Z}\)).
Например, угол \(30^\circ\) на \(360^\circ\) больше, чем угол \(-330^\circ\), и на \(2\cdot 360^\circ\) меньше, чем угол \(750^\circ\).

 

Все углы, находящиеся в точке \(P_{30^\circ}\) можно записать в виде: \(\alpha=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \ n\in\mathbb{Z}\).

 

\(\blacktriangleright\) Угол в \(1\) радиан — это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу окружности:

 

Т.к. длина всей окружности радиусом \(R\) равна \(2\pi R\), а в градусной мере — \(360^\circ\), то имеем \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf{ рад}\), откуда \[180^\circ=\pi \textbf{ рад}\] Это основная формула, с помощью которой можно переводить градусы в радианы и наоборот.

 

Пример 1. Найти радианную меру угла \(60^\circ\).

 

Т.к. \(180^\circ = \pi \Rightarrow 1^\circ = \dfrac{\pi}{180} \Rightarrow 60^\circ=\dfrac{\pi}3\)

 

Пример 2. Найти градусную меру угла \(\dfrac34 \pi\).

 

Т.к. \(\pi=180^\circ \Rightarrow \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\).

 

Обычно пишут, например, не \(\dfrac{\pi}4 \text{ рад}\), а просто \(\dfrac{\pi}4\) (т.е. единицу измерения “рад” опускают). Обратим внимание, что обозначение градуса при записи угла не опускают. Таким образом, под записью “угол равен \(1\)” понимают, что “угол равен \(1\) радиану”, а не “угол равен \(1\) градусу”.

 

Т.к. \(\pi \thickapprox 3,14 \Rightarrow 180^\circ \thickapprox 3,14 \textbf{ рад} \Rightarrow 1 \textbf{ рад} \thickapprox 57^\circ\).
Такую приблизительную подстановку делать в задачах нельзя, но знание того, чему приближенно равен \(1\) радиан в градусах часто помогает при решении некоторых задач. Например, таким образом проще найти на окружности угол в \(5\) радиан: он примерно равен \(285^\circ\).

 

\(\blacktriangleright\) Из курса планиметрии (геометрии на плоскости) мы знаем, что для углов \(0<\alpha< 90^\circ\) определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
если дан прямоугольный треугольник со сторонами \(a, b, c\) и углом \(\alpha\), то:

 

Т.к. на единичной окружности определены любые углы \(\alpha\in(-\infty;+\infty)\), то нужно определить синус, косинус, тангенс и котангенс для любого угла.
Рассмотрим единичную окружность и на ней угол \(\alpha\) и соответствующую ему точку \(P_{\alpha}\):

 

Опустим перпендикуляр \(P_{\alpha}K\) из точки \(P_{\alpha}\) на ось \(Ox\). Мы получим прямоугольный треугольник \(\triangle OP_{\alpha}K\), из которого имеем: \[\sin\alpha=\dfrac{P_{\alpha}K}{P_{\alpha}O} \qquad \cos \alpha=\dfrac{OK}{P_{\alpha}O}\] Заметим, что отрезок \(OK\) есть не что иное, как абсцисса \(x_{\alpha}\) точки \(P_{\alpha}\), а отрезок \(P_{\alpha}K\) — ордината \(y_{\alpha}\). Заметим также, что т.к. мы брали единичную окружность, то \(P_{\alpha}O=1\) — ее радиус.
Таким образом, \[\sin\alpha=y_{\alpha}, \qquad \cos \alpha=x_{\alpha}\]

Таким образом, если точка \(P_{\alpha}\) имела координаты \((x_{\alpha}\,;y_{\alpha})\), то через соответствующий ей угол ее координаты можно переписать как \((\cos\alpha\,;\sin\alpha)\).

 

Определение: 1. Синусом угла \(\alpha\) называется ордината точки \(P_{\alpha}\), соответствующей этому углу, на единичной окружности.

 

2. Косинусом угла \(\alpha\) называется абсцисса точки \(P_{\alpha}\), соответствующей этому углу, на единичной окружности.

 

Поэтому ось \(Oy\) называют осью синусов, ось \(Ox\) — осью косинусов.

 

\(\blacktriangleright\) Окружность можно разбить на \(4\) четверти, как показано на рисунке.

Т.к. в \(I\) четверти и абсциссы, и ординаты всех точек положительны, то косинусы и синусы всех углов из этой четверти также положительны.
Т.к. во \(II\) четверти ординаты всех точек положительны, а абсциссы — отрицательны, то косинусы всех углов из этой четверти — отрицательны, синусы — положительны.
Аналогично можно определить знак синуса и косинуса для оставшихся четвертей.

 

Пример 3. Так как, например, точки \(P_{\frac{\pi}{6}}\) и \(P_{-\frac{11\pi}6}\) совпадают, то их координаты равны, т.е. \(\sin\dfrac{\pi}6=\sin \left(-\dfrac{11\pi}6\right),\ \cos \dfrac{\pi}6=\cos \left(-\dfrac{11\pi}6\right)\).

 

Пример 4. Рассмотрим точки \(P_{\alpha}\) и \(P_{\pi-\alpha}\). Пусть для удобства \(0<\alpha<\dfrac{\pi}2\).


Проведем перпендикуляры на ось \(Ox\): \(OK\) и \(OK_1\). Треугольники \(OKP_{\alpha}\) и \(OK_1P_{\pi-\alpha}\) равны по гипотенузе и углу (\(\angle P_{\alpha}OK=\angle P_{\pi-\alpha}OK_1=\alpha\)).   Следовательно, \(OK=OK_1, KP_{\alpha}=K_1P_{\pi-\alpha}\).   Т.к. координаты точки \(P_{\alpha}=(OK;KP_{\alpha})=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)\), а точки \(P_{\pi-\alpha}=(-OK_1;K_1P_{\pi-\alpha})=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\), следовательно, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]

Таким образом доказываются и другие формулы, называемые формулами приведения: \[{\large{\begin{array}{l|r} \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\[2ex] \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\[2ex] \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\[2ex] \sin \left(\dfrac{\pi}2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac{\pi}2\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha\\[2ex] \hline \end{array}}}\]

С помощью этих формул можно найти синус или косинус любого угла, сведя это значение к синусу или косинусу угла из \(I\) четверти.

 

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac{\pi}4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt] \hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt] \hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt] \hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt] \hline \end{array}}}\]

Заметим, что данные значения были выведены в разделе “Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II” в теме “Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе”.

 

Пример 5. Найдите \(\sin{\dfrac{3\pi}4}\).

 

Преобразуем угол: \(\dfrac{3\pi}4=\dfrac{4\pi-\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}4\)

 

Таким образом, \(\sin{\dfrac{3\pi}4}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}4\right)=\sin\dfrac{\pi}4=\dfrac{\sqrt2}2\).

 

\(\blacktriangleright\) Для упрощения запоминания и использования формул приведения можно следовать следующему правилу.

 

Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\). \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\).

 

Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится. Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол \(\alpha\) находится в \(I\) четверти.

 

Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm\alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\). \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\).

 

Знак определяется таким же образом, как и в случае \(1\).

 

Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае — меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).

 

Пример 6. Найти \(\sin \dfrac{13\pi}{3}\).

 

Преобразуем угол: \(\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{12\pi+\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\sin \dfrac{13\pi}{3}=\sin \left(4\pi+\dfrac{\pi}3\right)=\sin\dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2\)

 

Пример 7. Найти \(\cos \dfrac{17\pi}{6}\).

 

Преобразуем угол: \(\dfrac{17\pi}{6}=\dfrac{18\pi-\pi}{6}=3\pi-\dfrac{\pi}6\), следовательно, \(\cos \dfrac{17\pi}{6}=\cos \left(3\pi-\dfrac{\pi}6\right)=-\cos\dfrac{\pi}6=-\dfrac{\sqrt3}2\)

 

\(\blacktriangleright\) Область значений синуса и косинуса.
Т.к. координаты \(x_{\alpha}\) и \(y_{\alpha}\) любой точки \(P_{\alpha}\) на единичной окружности находятся в пределах от \(-1\) до \(1\), а \(\cos\alpha\) и \(\sin\alpha\) — абсцисса и ордината соответственно этой точки, то \[{\large{-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1}}\]

 

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем: \(x^2_{\alpha}+y^2_{\alpha}=1^2\)
Т.к. \(x_{\alpha}=\cos\alpha,\ y_{\alpha}=\sin\alpha \Rightarrow\) \[{\large{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}} - \textbf{основное тригонометрическое тождество (ОТТ)}\]

\(\blacktriangleright\) Тангенс и котангенс.

 

Т.к. \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \cos\alpha\ne 0\)

 

\(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \sin\alpha\ne 0\), то:

 

1) \({\large{\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{ctg}\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0}}\)

 

2) тангенс и котангенс положительны в \(I\) и \(III\) четвертях и отрицательны в \(II\) и \(IV\) четвертях.

 

3) область значений тангенса и котангенса — все вещественные числа, т.е. \(\mathrm{tg}\,\alpha\in\mathbb{R}, \ \mathrm{ctg}\,\alpha\in\mathbb{R}\)

 

4) для тангенса и котангенса также определены формулы приведения.

 

Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\mathrm{tg}\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm{tg}\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак тангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\)). \[\mathrm{ctg}\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm{ctg}\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак котангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\)).

 

Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm\alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\mathrm{tg}\,(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm{ctg}\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак тангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\)). \[\mathrm{ctg}\,(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm{tg}\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак котангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\)).

 

5) ось тангенсов проходит через точку \((1;0)\) параллельно оси синусов, причем положительное направление оси тангенсов совпадает с положительным направлением оси синусов;
ось котангенсов — через точку \((0;1)\) параллельно оси косинусов, причем положительное направление оси котангенсов совпадает с положительным направлением оси косинусов.

Доказательство этого факта приведем на примере оси тангенсов.

 

\(\triangle OP_{\alpha}K \sim \triangle AOB \Rightarrow \dfrac{P_{\alpha}K}{OK}=\dfrac{BA}{OB} \Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{BA}1 \Rightarrow BA=\mathrm{tg}\,\alpha\).

 

Таким образом, если точку \(P_{\alpha}\) соединить прямой с центром окружности, то эта прямая пересечет линию тангенсов в точке, значение которой равно \(\mathrm{tg}\,\alpha\).

 

6) из основного тригонометрического тождества вытекают следующие формулы: \[1+\mathrm{tg}\,^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha},\cos\alpha\ne 0 \qquad \qquad 1+\mathrm{ctg}\,^2\alpha=\dfrac1{\sin^2\alpha}, \sin\alpha\ne 0\] Первую формулу получают делением правой и левой частей ОТТ на \(\cos^2\alpha\), вторую — делением на \(\sin^2\alpha\).

 

Обращаем внимание, что тангенс не определен в углах, где косинус равен нулю (это \(\alpha=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\));
котангенс не определен в углах, где синус равен нулю (это \(\alpha=\pi+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)).

 

\(\blacktriangleright\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса, котангенса.

 

Напомним, что функция \(f(x)\) называется четной, если \(f(-x)=f(x)\).

 

Функция называется нечетной, если \(f(-x)=-f(x)\).

 

По окружности видно, что косинус угла \(\alpha\) равен косинусу угла \(-\alpha\) при любых значениях \(\alpha\):

 

Таким образом, косинус — четная функция, значит, верна формула \[{\Large{\cos(-x)=\cos x}}\]

 

По окружности видно, что синус угла \(\alpha\) противоположен синусу угла \(-\alpha\) при любых значениях \(\alpha\):

 

Таким образом, синус — нечетная функция, значит, верна формула \[{\Large{\sin(-x)=-\sin x}}\]

Тангенс и котангенс также нечетные функции: \[{\Large{\mathrm{tg}\,(-x)=-\mathrm{tg}\,x}}\] \[{\Large{\mathrm{ctg}\,(-x)=-\mathrm{ctg}\,x}}\]

 

Т.к. \(\mathrm{tg}\,(-x)=\dfrac{\sin (-x)}{\cos(-x)}=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\mathrm{tg}\,x \qquad \mathrm{ctg}\,(-x)=\dfrac{\cos(-x)}{\sin(-x)}=-\mathrm{ctg}\,x\))

 

Как показывает практика, один из сложнейших разделов математики, который встречается школьникам в ЕГЭ, — тригонометрия. С наукой о соотношениях сторон в треугольниках начинают знакомиться в 8 классе. Уравнения данного типа содержат переменную под знаком тригонометрических функций. Несмотря на то, что простейшие из них: \(sin x = a\), \(cos x = a\), \(tgx x = a\), \(ctgx x = a\) — знакомы практически каждому школьнику, их выполнение зачастую вызывает сложности.

В ЕГЭ по математике профильного уровня правильно решенное задание по тригонометрии оценивается очень высоко. Школьник может получить до 4 первичных баллов за верно выполненную задачу из данного раздела. Для этого искать к ЕГЭ шпаргалки по тригонометрии практически бессмысленно. Наиболее разумное решение — хорошо подготовиться к экзамену.

Как это сделать?

Для того чтобы тригонометрия в ЕГЭ по математике вас не пугала, воспользуйтесь при подготовке нашим порталом. Это удобно, просто и эффективно. В данном разделе нашего образовательного портала, открытом для учащихся как Москвы, так и других городов, представлены доступно изложенный теоретический материал и формулы по тригонометрии для ЕГЭ. Также ко всем математическим определениям мы подобрали примеры с подробным описанием хода их решения.

После изучения теории по разделу «Тригонометрия» при подготовке к ЕГЭ рекомендуем перейти в «Каталог», для того чтобы полученные знания лучше усвоились. Здесь вы сможете выбрать задачи по выбранной теме и просмотреть их решения. Таким образом, повторение теории по тригонометрии в ЕГЭ будет максимально эффективным.

Что нужно знать?

Прежде всего необходимо выучить значения sin, cos, tgx, ctgx острых углов от \(0°\) до \(90°\). Также при подготовке к ЕГЭ в Москве стоит запомнить основные методы решения заданий по тригонометрии. Следует учесть, что, выполняя задачи, вы должны привести уравнение к простейшему виду. Сделать это можно следующим образом:

  • разложив уравнение на множители;
  • заменив переменную (сведение к алгебраическим уравнениям);
  • приведя к однородному уравнению;
  • перейдя к половинному углу;
  • преобразовав произведения в сумму;
  • введя вспомогательный угол;
  • использовав способ универсальной подстановки.

При этом чаще всего учащемуся приходится в ходе решения использовать несколько из перечисленных методов.