Математика
Русский язык

Пирамида

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Определение

Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника \(A_1A_2...A_n\) и \(n\) треугольников с общей вершиной \(P\) (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: \(PA_1A_2...A_n\).
Пример: пятиугольная пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\).


 

Треугольники \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки \(PA_1, PA_2\) и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5\)основанием, точка \(P\)вершиной.

 

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

 

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром.

 

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

 

\((a)\) боковые ребра пирамиды равны;

 

\((b)\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

 

\((c)\) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

 

\((d)\) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

 

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

 

Теорема

Условия \((a), (b), (c), (d)\) эквивалентны.

 

Доказательство

Проведем высоту пирамиды \(PH\). Пусть \(\alpha\) – плоскость основания пирамиды.


 

1) Докажем, что из \((a)\) следует \((b)\). Пусть \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\).

 

Т.к. \(PH\perp \alpha\), то \(PH\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету \(PH\) и гипотенузам \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\). Значит, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\). Значит, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) находятся на одинаковом расстоянии от точки \(H\), следовательно, лежат на одной окружности с радиусом \(A_1H\). Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника \(A_1A_2...A_n\).

 

2) Докажем, что из \((b)\) следует \((c)\).

 

Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

 

3) Докажем, что из \((c)\) следует \((a)\).

 

Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\).

 

4) Докажем, что из \((b)\) следует \((d)\).

 

Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то \(H\) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки \(H\) на стороны основания: \(HK_1, HK_2\) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП (\(PH\) – перпендикуляр на плоскость, \(HK_1, HK_2\) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные \(PK_1, PK_2\) и т.д. перпендикулярны сторонам \(A_1A_2, A_2A_3\) и т.д. соответственно. Значит, по определению \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники \(PK_1H, PK_2H, ...\) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) равны.

 

5) Докажем, что из \((d)\) следует \((b)\).

 

Аналогично четвертому пункту треугольники \(PK_1H, PK_2H, ...\) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\). Значит, по определению, \(H\) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то \(H\) – центр описанной окружности. Чтд.

 

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

 

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

 

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

 

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

 

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

 

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.  

Определение

Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.


 

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть \(SR\) – высота.

 

2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно любой прямой из основания, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\) – прямоугольные треугольники.

 

3. Треугольники \(\triangle SRN, \triangle SRK\) – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.  

\[{\Large{\text{Объем и площадь поверхности пирамиды}}}\]

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \[V_{\text{пирамиды}}=\dfrac13 S_{\text{осн}}\cdot h\]

Следствия

Пусть \(a\) – сторона основания, \(h\) – высота пирамиды.

 

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.треуг.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2h\),

 

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.четыр.пир.}}=\dfrac13a^2h\).

 

3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.шест.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h\).

 

4. Объем правильного тетраэдра равен \(V_{\text{прав.тетр.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3\).

 

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.  

\[{\Large{\text{Усеченная пирамида}}}\]

Определение

Рассмотрим произвольную пирамиду \(PA_1A_2A_3...A_n\). Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида (\(PB_1B_2...B_n\)), а другой называется усеченная пирамида (\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\)).


 

Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники \(A_1A_2...A_n\) и \(B_1B_2...B_n\), которые подобны друг другу.

 

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.

 

Важные замечания

1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

 

2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.