Математика
Русский язык

Теорема синусов и теорема косинусов

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Теорема синусов

В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла не зависит от выбора стороны и равно диаметру описанной окружности.

 

Доказательство


 

Пусть \(R\) – радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Проведём диаметр \(BA_1\) и рассмотрим треугольник \(A_1BC\) (случай, когда точки \(A_1\) и \(C\) совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол \(C\) этого треугольника прямой, поэтому \(BC = BA_1\cdot \sin\angle A_1\), но \(\sin\angle A = \sin\angle A_1\) так как углы \(A\) и \(A_1\) либо отличаются на угол, равный \(180^\circ\), либо совпадают.

 

Следовательно, \(BC = BA_1\cdot\sin\angle A\), то есть \(\dfrac{BC}{\sin\angle A} = 2R\). Так как в доказательстве мы не ограничивали общности, то равенства \(\dfrac{AC}{\sin\angle B} = 2R = \dfrac{AB}{\sin\angle C}\) показываются аналогично.

 

Теорема косинусов

В любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

Доказательство

Пусть в треугольнике \(ABC\) \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\), \(\angle C=\alpha\). Докажем, что \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\alpha\).

 

Проведем высоту \(BH=h\). Пусть она разбила сторону \(AC\) на отрезки длиной \(x\) и \(y\):


 

По теореме Пифагора из \(\triangle AHB: \ c^2=h^2+y^2\);
из \(\triangle CHB: \ a^2=x^2+h^2\).

Вычтем из первого равенства второе: \(c^2-a^2=y^2-x^2 \Rightarrow c^2=a^2+(y-x)(y+x)=a^2+b(y-x)\).

Заметим, что \(\cos\alpha=\dfrac xa \Rightarrow x=a\cos\alpha\). Тогда:

\[c^2=a^2+b(y+x-2x)=a^2+b(b-2x)=a^2+b(b-2a\cos\alpha)=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\]

Замечание

С помощью данных теорем можно легко найти все элементы треугольника, если известны, например, две стороны и угол, угол и две стороны, три стороны и т.д.

 

Пример

Найти стороны и углы треугольника, если медиана \(BM\), проведенная к стороне \(AC=4\), равна \(2\sqrt3\), а угол треугольника \(\angle A=60^\circ\).

 

Решение. Рассмотрим данный треугольник:


 

1) По теореме косинусов из \(\triangle ABM\):
\((2\sqrt3)^2=2^2+AB^2-2\cdot 2\cdot AB\cdot \cos60^\circ \Rightarrow AB^2-2AB-8=0 \Rightarrow AB=4\)

 

2) \(\triangle ABC\) – равнобедренный (\(AB=AC=4\)), следовательно, \(\angle B=\angle C=\frac12\left(180^\circ-\angle A\right)=60^\circ\).

 

Значит, \(\triangle ABC\) – правильный, значит, \(BC=4\).