Математика
Русский язык

Площадь кругового сектора

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Определения

Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудалённых от некоторой точки (называемой центром окружности).

 

Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности и точку на окружности. Иногда радиусом окружности называют длину этого отрезка.

 

Дуга окружности – это часть окружности, заключённая между двумя точками на окружности.

 

Круг (радиуса \(R\,\)) – это множество всех точек плоскости, удалённых от некоторой точки на расстояние меньшее или равное \(R > 0\).

 

Круговой сектор – это часть круга, ограниченная дугой (называемой дугой сектора) и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

 

Теорема (рис. 1)

Длина окружности радиуса \(R\) равна \(C=2\pi R\).

Длина дуги окружности радиуса \(R\) равна \(C_{\alpha}=2\pi R\cdot\dfrac{\alpha}{360}\), где \(\alpha^\circ\) – градусная мера этой дуги.

 

Теорема (рис. 2)

Площадь круга радиуса \(R\) равна \(S=\pi R^{\,2}\).

Площадь кругового сектора круга радиуса \(R\) равна \(S_{\alpha}=\pi R^{\,2}\cdot\dfrac{\alpha}{360}\), где \(\alpha^\circ\) – градусная мера дуги сектора.


 

Доказательство

1) Т.к. градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то длина дуги в \(1^\circ\) равна \(\dfrac1{360}\) части от всей окружности: \[C_{1^\circ}=2\pi R\cdot \dfrac1{360}\]

Тогда длина дуги в \(\alpha^\circ\) равна \(C_{\alpha}=2\pi R\cdot\dfrac{\alpha}{360}\).

 

2) Аналогично.