Математика
Русский язык

Тригонометрические формулы. Их вывод

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

 

\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin{array}{|l|l|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1 \\ &(\sin\alpha\ne 0, \cos\alpha\ne 0)\\[0.5ex] \hline &\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} &\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \\&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} & 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&\\ (\cos\alpha\ne 0)& (\sin\alpha\ne 0) \\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы сложения углов: \[\begin{array}{|l|r|} \hline &\\ \sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha & \cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &\\ \hline &\\ \mathrm{tg}\, (\alpha\pm \beta)=\dfrac{\mathrm{tg}\, \alpha\pm \mathrm{tg}\, \beta}{1 \mp \mathrm{tg}\, \alpha\cdot \mathrm{tg}\, \beta} & \mathrm{ctg}\, (\alpha\pm\beta)=-\dfrac{1\mp \mathrm{ctg}\, \alpha\cdot \mathrm{ctg}\, \beta}{\mathrm{ctg}\, \alpha\pm \mathrm{ctg}\, \beta}\\&\\ \cos\alpha\cos\beta\ne 0&\sin\alpha\sin\beta\ne 0\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы двойного и тройного углов: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha} && & \mathrm{ctg}\, 2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\, \alpha-1}{2\mathrm{ctg}\, \alpha}\\&&&\\ \cos\alpha\ne 0, \ \cos2\alpha\ne 0 &&& \sin\alpha\ne 0, \ \sin2\alpha\ne 0\\ \hline &&&\\ \sin {3\alpha}=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha && & \cos{3\alpha}=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы понижения степени: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos{2\alpha}}2 &&& \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos{2\alpha}}2\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы произведения функций: \[\begin{array}{|c|} \hline \\ \sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\bigg(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\sin{(\alpha-\beta)}+\sin{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы суммы/разности функций: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin{\dfrac{\alpha+\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}2} &&& \sin\alpha-\sin\beta=2\sin{\dfrac{\alpha-\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha+\beta}2}\\&&&\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos{\dfrac{\alpha+\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}2} &&& \cos\alpha -\cos\beta=-2\sin{\dfrac{\alpha-\beta}2}\sin{\dfrac{\alpha+\beta}2}\\&&&\\ \mathrm{tg}\, \alpha \pm \mathrm{tg}\, \beta=\dfrac{\sin{(\alpha\pm\beta)}}{\cos\alpha\cos\beta} &&& \mathrm{ctg}\, \alpha\pm \mathrm{ctg}\, \beta= - \dfrac{\sin{(\alpha\pm \beta)}}{\sin\alpha\sin\beta}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: \[\begin{array}{|l|r|} \hline &\\ \sin{2\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1+\mathrm{tg}^2\, \alpha} & \cos{2\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha}{1+\mathrm{tg}^2\, \alpha}\\&\\ \cos\alpha\ne 0 & \sin\alpha\ne 0\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формула вспомогательного аргумента: \[\begin{array}{|c|} \hline \text{Частный случай}\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}4\right)}\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}6\right)}\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin{\left(x\pm \dfrac{\pi}3\right)}\\\\ \hline \text{Общий случай}\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin{(\alpha\pm \phi)}, \ \ \cos\phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\phi=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \hline \end{array}\]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

 

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формулы косинуса разности углов \(\cos{(\alpha -\beta)}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

 

Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы \(\alpha\) и \(\beta\). Пусть этим углам соответствуют точки \(A\) и \(B\) соответственно. Тогда координаты этих точек: \(A(\cos\alpha;\sin\alpha), \ B(\cos\beta;\sin\beta)\).


 

Рассмотрим \(\triangle AOB: \ \angle AOB=\alpha-\beta\). По теореме косинусов:

 

\(AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cdot \cos(\alpha-\beta)=1+1-2\cos(\alpha-\beta) \ (1)\)  (т.к. \(AO=BO=R\) – радиус окружности)

 

По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

 

\(AB^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+\)

\(+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta=\big(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\big)+\big(\cos^2\beta+\sin^2\beta\big)-2\big(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\big)=\)

\(=1+1-2\big(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\big) \ (2)\)

 

Таким образом, сравнивая равенства \((1)\) и \((2)\):

\(1+1-2\big(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\big)=1+1-2\cos(\alpha-\beta)\)

 

Отсюда и получается наша формула.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод остальных формул суммы/разности углов:

 

Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения \(\sin x=\cos(90^\circ-x)\) и \(\cos x=\sin (90^\circ-x)\):

 

1) \(\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha-(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

 

2) \(\sin(\alpha+\beta)=\cos(90^\circ-(\alpha+\beta))=\cos((90^\circ-\alpha)-\beta)=\)

\(+\cos(90^\circ-\alpha)\cos\beta+\sin(90^\circ-\alpha)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)

 

3) \(\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+(-\beta))=\sin\alpha\cos(-\beta)+\sin(-\beta)\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\)

 

4) \(\mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\sin (\alpha\pm\beta)}{\cos (\alpha\pm\beta)}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}=\)

 

разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\)
(при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\mp \mathrm{ctg}\,\beta\), при \(\cos\beta=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\pm \mathrm{ctg}\,\alpha\)):

 

\(=\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{tg}\,\beta}{1\mp\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\beta}\)

 

Таким образом, данная формула верна только при \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\).

 

5) Аналогично, только делением на \(\sin\alpha\sin\beta\ne 0\), выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул двойного и тройного углов:

 

Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:

 

1) \(\sin 2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)

 

2) \(\cos2\alpha=\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)

 

Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), получим еще две формулы для косинуса двойного угла:

 

2.1) \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)=2\cos^2\alpha-1\)

 

2.2) \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha\)

 

3) \(\mathrm{tg}\,2\alpha=\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\)

 

разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,2\alpha=0\)):

 

\(=\mathrm{tg}\,2\alpha=\dfrac{2\mathrm{tg}\,\alpha}{1-\mathrm{tg}^2\,\alpha}\)

 

Таким образом, эта формула верна только при \(\cos\alpha\ne 0\), а также при \(\cos2\alpha\ne 0\) (чтобы существовал сам \(\mathrm{tg}\,2\alpha\)).

 

4) \(\mathrm{ctg}\,2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{\mathrm{ctg}^2\,\alpha-1}{2\mathrm{ctg}\,\alpha}\)

 

По тем же причинам при \(\sin\alpha\ne 0, \sin2\alpha\ne 0\).

 

5) \(\sin3\alpha=\sin(\alpha+2\alpha)=\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+\cos\alpha\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=\)

\(=\sin\alpha-2\sin^3\alpha+2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\)

 

6) Аналогично выводится, что \(\cos3\alpha=\cos(\alpha+2\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул понижения степени:

 

Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:

 

1) \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}2\)

 

2) \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}2\)

 

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна \(2\) в левой части, а в правой части степень косинуса равна \(1\).

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул произведения функций:

 

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

 

\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

 

\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

 

Получим: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta \Rightarrow \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\Big)\)

 

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

 

\(\sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\Big)\)

 

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

 

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\)

 

\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\)

 

Получим: \(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\Big)\)

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул суммы/разности функций:

 

Обозначим \(\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y\). Тогда: \(\alpha=\dfrac{x+y}2, \ \beta=\dfrac{x-y}2\). Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

 

1) \(2\cos{\dfrac{x+y}2}\cos{\dfrac{x-y}2}=\cos x+\cos y\)

 

Получили формулу суммы косинусов.

 

2) \(2\sin {\dfrac{x+y}2}\sin {\dfrac{x-y}2}=\cos y-\cos x\)

 

Получили формулу разности косинусов.

 

3) \(2\sin {\dfrac{x+y}2}\cos {\dfrac{x-y}2}=\sin y+\sin x\)

 

Получили формулу суммы синусов.

 

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

 

\(\sin x-\sin y=\sin x+\sin(-y)=2\sin {\dfrac{x-y}2}\cos {\dfrac{x+y}2}\)

 

5) \(\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\pm\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\)

 

Аналогично выводится формула суммы котангенсов.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

 

1) \(\sin2\alpha=\dfrac{\sin2\alpha}1=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\)

 

(разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0\) и \(\sin2\alpha=0\)):)

 

\(=\dfrac{2\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\,\alpha}\)

 

2) Так же, только делением на \(\sin^2\alpha\), выводится формула для косинуса.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул вспомогательного угла:

 

Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.

 

Рассмотрим выражение \(a\sin x+b\cos x\). Домножим и разделим это выражение на \(\sqrt{a^2+b^2}\,\):

 

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+ \dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)=\sqrt{a^2+b^2}\big(a_1\sin x+b_1\cos x\big)\)

 

Заметим, что таким образом мы добились того, что \(a_1^2+b_1^2=1\),   т.к. \(\left(\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1\)

 

Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол \(\phi\), для которого, например, \(\cos \phi=a_1, \ \sin \phi=b_1\). Тогда наше выражение примет вид:

 

\(\sqrt{a^2+b^2}\,\big(\cos \phi \sin x+\sin \phi\cos x\big)=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin (x+\phi)\) (по формуле синуса суммы двух углов)

 

Значит, формула выглядит следующим образом: \[{\large{a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin (x+\phi),}} \quad \text{где } \cos \phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\] Заметим, что мы могли бы, например, принять за \(\cos \phi=b_1, \ \sin \phi=a_1\) и тогда формула выглядела бы как \[a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos (x-\phi)\]

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

 

\(a) \ \sin x\pm\cos x=\sqrt2\,\left(\dfrac1{\sqrt2}\sin x\pm\dfrac1{\sqrt2}\cos x\right)=\sqrt2\, \sin \left(x\pm\dfrac{\pi}4\right)\)

 

\(b) \ \sqrt3\sin x\pm\cos x=2\left(\dfrac{\sqrt3}2\sin x\pm \dfrac12\cos x\right)=2\, \sin \left(x\pm\dfrac{\pi}6\right)\)

 

\(c) \ \sin x\pm\sqrt3\cos x=2\left(\dfrac12\sin x\pm\dfrac{\sqrt3}2\cos x\right)=2\,\sin\left(x\pm\dfrac{\pi}3\right)\)