Математика
Русский язык

Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Определения

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\sin \alpha=\dfrac ac\)

 

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\cos \alpha=\dfrac bc\)


 

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету: \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac ab\)

 

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету: \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac ba\)

 

Утверждение

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов соответственно равны.

 

Теорема

Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса вытекают следующие формулы:

\[{\large{\begin{array}{|lcl|} \hline &&\\ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&\qquad& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}}}\]

Утверждение

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(\angle C\):

 

\(\sin \angle A=\cos \angle B\)

 

\(\mathrm{tg}\,\angle A=\mathrm{ctg}\,\angle B\)


 

Доказательство

Утверждение следует непосредственно из определения синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике.

 

Теорема

Для углов \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) верна следующая таблица:

\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \phantom{000}30^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 45^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 60^\circ \phantom{000} \\[2pt] \hline &&&\\ \sin &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2\\[4pt] \cos &\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12\\[4pt] \mathrm{tg} &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3\\[4pt] \mathrm{ctg}&\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3\\[4pt] \hline \end{array}}}\]

Доказательство

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\): \(\angle C=90^\circ, \angle A=60^\circ, \angle B=30^\circ\).


 

На стороне \(BC\) построим равный ему треугольник \(A'BC\), как показано на рисунке.

Полученный треугольник \(A'BA\) является правильным, т.к. \(\angle A'=\angle A=\angle A'BA=60^\circ\).
Следовательно, \(A'A=2b=AB=c\), откуда \(b=\dfrac12c\).

Тогда по теореме Пифагора \(a^2+b^2=c^2 \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt3}2c\).

Теперь по определению \(\sin \angle A=\sin 60^\circ =\dfrac ac=\dfrac{\sqrt3}2\)

Т.к. по предыдущему утверждению \(\sin \angle A=\cos \angle B\), то \(\cos 30^\circ =\dfrac{\sqrt3}2\).

Т.к. \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), то \(\mathrm{tg}\,30^\circ=\mathrm{ctg}\,60^\circ=\dfrac{\sqrt3}3\), а \(\mathrm{tg}\,60^\circ=\mathrm{ctg}\,30^\circ=\sqrt3\).

 

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\): \(\angle C=90^\circ, \angle A=45^\circ, \angle B=45^\circ\).


 

Этот треугольник равнобедренный, следовательно, \(BC=AC=a\).

Тогда по теореме Пифагора \(a^2+a^2=c^2 \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt2}2c\).

Следовательно, \(\sin \angle A=\cos\angle A=\sin\angle B=\cos \angle B=\dfrac{\sqrt2}2\).

Из определения следует, что \(\mathrm{tg}\,45^\circ=\mathrm{ctg}\,45^\circ=1\).

 

Замечание

Для простоты запоминания таблицы можно записать ее в следующем виде:

\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \phantom{000}30^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 45^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 60^\circ \phantom{000} \\[2pt] \hline &&&\\ \sin &\frac{\sqrt1}2&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2\\[4pt] \cos &\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt1}2\\[4pt] \mathrm{tg} &\frac1{\sqrt3}&1&\sqrt3\\[4pt] \mathrm{ctg}&\sqrt3&1&\frac1{\sqrt3}\\[4pt] \hline \end{array}}}\]

То есть для синуса и косинуса число выглядит как \(\dfrac{\sqrt{\phantom{0}}}2\), где у синуса под корнем пишется \(1, 2, 3\), у косинуса – наоборот.

 

\[{\Large{\text{Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла}}}\]

Теорема

Справедливы следующие формулы приведения:

\[\begin{aligned} \sin(180^\circ-\alpha)&=\sin\alpha\\ \cos(180^\circ-\alpha)&=-\cos\alpha\\ \mathrm{tg}\,(180^\circ-\alpha)&=-\mathrm{tg}\,\alpha\\ \mathrm{ctg}\,(180^\circ-\alpha)&=-\mathrm{ctg}\,\alpha \end{aligned}\]

Таким образом, если \(\alpha\) – острый угол, то с помощью этих формул можно найти синус, косинус, тангенс или котангенс тупого угла, смежного с \(\alpha\).

 

Пример

\(\sin 135^\circ=\sin(180^\circ-45^\circ)=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2\)

Учащиеся, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение конкурентных баллов по итогам его прохождения, непременно должны повторить теорию о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе. Как показывает практика, задания по данной тематике ежегодно встречаются в аттестационном испытании. Таким образом, если одним из ваших слабых мест являются формулы и теоремы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, рекомендуем освежить в памяти базовую теорию. В этом вам поможет образовательный портал «Школково». В соответствующем разделе представлена теория о синусах, косинусах, тангенсах и котангенсах, которая позволит вам подготовиться к сдаче экзамена. Весь базовый материал составлен нашими специалистами на основе многолетнего опыта и представлен в максимально доступной форме. Ознакомившись с теорией, выпускник сможет грамотно объяснять решение задач ЕГЭ на синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. В этом состоит половина успеха при прохождении аттестационного испытания.

Для того чтобы учащиеся из Москвы или другого населенного пункта России, посетившие наш ресурс, смогли легко и качественно подготовиться к ЕГЭ, мы не только в понятной форме изложили теорию косинусов, синусов, тангенсов и котангенсов, но и подобрали соответствующие упражнения. Для каждого из них наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и правильный ответ. Выполняя такие задачи при подготовке к ЕГЭ по математике, выпускники смогут лучше закрепить изученную теорию синусов и косинусов в треугольнике. Выбрать простые и более сложные упражнения вы можете в разделе «Каталог».

Изучив теорию о синусах, косинусах, тангенсах и котангенсах и попрактиковавшись в решении задач по данной теме при подготовке к ЕГЭ, учащиеся имеют возможность сохранить любое задание в «Избранное», чтобы при необходимости обсудить его с преподавателем.